Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (K^n,+,*) [/mm] sei ein K-Vektorraum und (v1,...,vn) ein System von Vektoren aus [mm] (K^n,+,*). [/mm] Zeigen sie: Das System (v1,...,vn) ist genau dann linear unabhängig, wenn Systeme (v1,...,vr) und (vr+1,...,vn) linear unabhängig sind und Lin(v1,...,vr)geschnittenLin(vr+1,...,vn)={0} für alle 1 kleiner gleich r kleiner gleich n-1. |
Im Grunde ist mit der Behauptung ja gemeint, dass eine Familie genau dann linear unabhängig ist wenn jede Teilfamilie linear unabhängig ist.
Diese Aussage habe ich zumindest als unbewiesene Definition in vielen Skripten gefunden; nur im eigenen nicht.
Mir ist leider vollkommen unklar, wie ich hier vorgehen soll. Das einzige was ich festgestellt habe ist, dass Lin(...) per Vorraussetzung Unterräume von [mm] (K^n,+,*) [/mm] und der Schnitt deren direkte Summe.
Habe ich das soweit richtig verstanden ? Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, ich bange nämlich um meine Klausurzulassung.
Gruß Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 04.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Komisch....
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FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Vairus666 |
Ich hatte die Frage ausversehen im falschen Unterforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Do 05.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Max,
> [mm](K^n,+,*)[/mm] sei ein K-Vektorraum und (v1,...,vn) ein System
> von Vektoren aus [mm](K^n,+,*).[/mm] Zeigen sie: Das System
> (v1,...,vn) ist genau dann linear unabhängig, wenn Systeme
> (v1,...,vr) und (vr+1,...,vn) linear unabhängig sind und
> Lin(v1,...,vr)geschnittenLin(vr+1,...,vn)={0} für alle 1
> kleiner gleich r kleiner gleich n-1.
> Im Grunde ist mit der Behauptung ja gemeint, dass eine
> Familie genau dann linear unabhängig ist wenn jede
> Teilfamilie linear unabhängig ist.
nein, das ist nicht ganz eine Umformulierung der Behauptung. Hier steht etwas davon, dass der Raum auch eine direkte Summe zweier Unterräume ist.
> Diese Aussage habe ich zumindest als unbewiesene
> Definition in vielen Skripten gefunden; nur im eigenen
> nicht.
Was ist eine unbewiesene Definition? Definitionen sind Definitionen, sie muss man nicht beweisen - maximal die Korrektheit (Wohldefiniertheit) einer Definition. Also dass das, was man definiert hat, nichts unsinniges ist!
> Mir ist leider vollkommen unklar, wie ich hier vorgehen
> soll. Das einzige was ich festgestellt habe ist, dass
> Lin(...) per Vorraussetzung Unterräume von [mm](K^n,+,*)[/mm] und
> der Schnitt deren direkte Summe.
> Habe ich das soweit richtig verstanden ? Ich hoffe, dass
> mir jemand helfen kann, ich bange nämlich um meine
> Klausurzulassung.
Na, Du hast zwei Richtungen zu zeigen:
Bei der Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist klar, dass, wenn ein System von Vektoren linear unabhängig ist, auch jedes Teilsystem davon linear unabhängig ist. Das ist einfaches Aufschreiben:
Sei [mm] $J:=\{i_1,...,i_m\}$ [/mm] mit $m [mm] \le [/mm] n$ eine [mm] $m\,$-elementige [/mm] Teilmenge von [mm] $\{1,...,n\}$ [/mm] und seien [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] linear unabhängig. Für [mm] $p_j \in [/mm] K$ ($j=1,...,n$) sei
[mm] $$\sum_{\ell=1}^m p_{i_\ell}v_{i_\ell}=0\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\sum_{j \in J} p_{j}v_{j}=0\,,$$
[/mm]
Dann ist auch
[mm] $$\sum_{k=1}^n p_k v_k=0\,,$$
[/mm]
wenn man [mm] $p_k:=0 \in [/mm] K$ für $k [mm] \in \{1,...,n\} \setminus [/mm] J$ definiert. Aus der linearen Unabhängigkeit von [mm] $v_1,...,v_k$ [/mm] folgt dann...
Damit ist schon der eine Teil von [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bewiesen. Und nun nehme mal für $1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] n-1$ ein Element aus [mm] $\text{Lin}(v_1,...,v_r) \cap \text{Lin}(v_{r+1},...,v_n)$ [/mm] her. Dann steht da, dass eine Linearkombination des linken Teilraums sich auch schreiben läßt als eine Linearkombination des rechten. Wenn Du das umsortierst, hast Du eine Linearkombination, die den Nullvektor darstellt - und [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] sind linear abhängig, also folgt, dass alle "Skalare" in den beiden Linearkombinationen verschwinden. Daher kann das Element aus dem Schnitt nur der Nullvektor gewesen sein - und der liegt auch immer im Schnitt zweier Unterräume.
Wenn Du das ordentlich aufschreibst, ist die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] schon erledigt.
Zu [mm] $\Leftarrow$: [/mm] Nimm' an, [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] seien nicht linear unabhängig, also linear abhängig. Ist auch nur ein [mm] $v_j=0$ [/mm] für ein $j [mm] \in \{1,...,n-1\}\,,$ [/mm] so ist [mm] $(v_1,...,v_{j-1},v_j)$ [/mm] linear abhängig. Ist [mm] $v_n=0\,,$ [/mm] so ist [mm] $(v_n)$ [/mm] linear abhängig.
Ohne Einschränkung seien also alle [mm] $v_j \not=0$:
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] $j_0 \in \{1,...,n\}$ [/mm] so, dass $0 [mm] \not=v_{j_0}$ [/mm] sich als Linearkombination der anderen schreiben läßt:
[mm] $$(\*)\;\;\;v_{j_0}=\sum_{k=1}^{j_0-1}p_k v_k [/mm] + [mm] \sum_{\ell=j_0+1}^n p_\ell v_\ell\,.$$
[/mm]
(Die leere Summe sei dabei gleich dem Nullvektor.)
Ist [mm] $j_0=n\,,$ [/mm] so folgt, dass [mm] $v_n \not=0$ [/mm] sowohl in [mm] $\text{Lin}(v_n)$ [/mm] als auch in [mm] $\text{Lin}(v_1,...,v_{n-1})$ [/mm] liegt und damit ist der Schnitt der beiden letztgenannten Unterräume nicht nur der Nullvektorraum, da der Schnitt eben [mm] $v_n$ [/mm] enthält mit [mm] $v_n \not=0\,.$
[/mm]
Wir betrachten nun also $1 [mm] \le j_0 \le n-1\,:$
[/mm]
Sei [mm] $j_0 \in \{1,...,n-1\}$ [/mm] minimal so, dass [mm] $(\*)$ [/mm] gilt. Den Fall [mm] $j_0=1$ [/mm] kannst Du analog wie eben betrachten, also o.E. nehmen wir doch sogar [mm] $j_0 \in \{2,...,n-1\}$ [/mm] minimal so an, dass [mm] $(\*)$ [/mm] gilt. Dann ist [mm] $v_{j_0}-\sum_{k=1}^{j_0-1}p_k v_k$ [/mm] in [mm] $\text{Lin}(v_1,...,v_{j_0})$ [/mm] und wegen [mm] $(\*)$ [/mm] dann auch in [mm] $\text{Lin}(v_{j_0+1},...,v_n)\,.$ [/mm] Wenn [mm] $(v_{j_0+1},...,v_n)$ [/mm] linear abhängig ist, so ist nichts zu zeigen. Wenn aber [mm] $(v_{j_0+1},...,v_n)$ [/mm] linear unabhängig ist, so erkennen wir [mm] $v_{j_0} \in \text{Lin}(v_1,...,v_{j_0-1})\,,$ [/mm] falls wir [mm] $\text{Lin}(v_1,...,v_{j_0-1},j_0) \cap \text{Lin}(v_{j_0+1},...,v_n)=\{0\}$ [/mm] annehmen. (Wenn wir letzteres nicht annehmen, so wäre wieder nichts zu zeigen!) Dann wäre [mm] $(v_1,...,v_{j_0})$ [/mm] linear abhängig. Fertig!
Gruß,
Marcel
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