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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und u,v,w [mm] \in \IQ^n [/mm] linear unabhängige Vektoren. Beweisen Sie die folgenden beiden Aussagen.
a)u+v, u+w, v+w sind linear unabhängig.
b)u-v+w, u+v-w, 5u+v+w sind linear unabhängig. |
Hallo,
was rationale zahlen sind ist mir klar, aber was ist mit hoch n gemeint? Allgemein bin ich mir auch nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe. Soll ich mir einfach Vektoren aus [mm] \IQ^n [/mm] ausdenken und die Aussage prüfen?
D.h. zum Beispiel bei a:
u+v=a
u+w=b
und v+w=c
(Wobei ich mir für u,v und w Vektoren aus [mm] \IQ [/mm] ausdenke)
jetzt schreib ich das auf als:
[mm] \lambda\vektor{a_1 \\ a_2}+\lambda\vektor{b_1 \\ b_2}+\lambda\vektor{c_1 \\ c_2}=\vektor{0\\0}
[/mm]
und überprüfe?
Lg Melisa
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> Seien n [mm]\in \IN[/mm] und u,v,w [mm]\in \IQ^n[/mm] linear unabhängige
> Vektoren. Beweisen Sie die folgenden beiden Aussagen.
>
> a)u+v, u+w, v+w sind linear unabhängig.
> b)u-v+w, u+v-w, 5u+v+w sind linear unabhängig.
> Hallo,
>
> was rationale zahlen sind ist mir klar, aber was ist mit
> hoch n gemeint?
Hallo,
[mm] \IQ^n [/mm] ist sowas wie [mm] \IR^n, [/mm] bloß daß die Einträge in den Vektoren eben aus [mm] \IQ [/mm] sind.
> Allgemein bin ich mir auch nicht sicher, ob
> ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe. Soll ich
> mir einfach Vektoren aus [mm]\IQ^n[/mm] ausdenken und die Aussage
> prüfen?
Bloß nicht! Da steht doch nicht: "prüfe an einigen Beispielen, ob die Aussage stimmt und diskutiere mit Deinem Nachbarn", sondern: "beweise".
Das, was Du tust, muß hieb- und stichfest sein - wenn man den Wahrheitsgehalt der Aussage zuvor mal für sich allein auf einem Zettelchen testest, ist dies aber gewiß kein Fehler.
Vorausgesetzt ist hier, daß u,v,w linear unabhängig sind.
Was weiß ich dann, wenn ich die Gleichung q_1u+q_2v+q_3w=0 mit [mm] q_i\in \IQ [/mm] vorliegen habe?
Die Lösung einer welchen Gleichung mußt Du untersuchen, wenn Du erfahren willst, ob die drei Vektoren u':=u+v, v':=u+w, v':=v+w linear unabhängig sind?
Wenn Du die Gleichung hast, sortiere nach Vielfachen von u,v,w.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
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> Vorausgesetzt ist hier, daß u,v,w linear unabhängig
> sind.
> Was weiß ich dann, wenn ich die Gleichung
> q_1u+q_2v+q_3w=0 mit [mm]q_i\in \IQ[/mm] vorliegen habe?
>
[mm] q_1=q_2=q_3=0
[/mm]
> Die Lösung einer welchen Gleichung mußt Du untersuchen,
> wenn Du erfahren willst, ob die drei Vektoren u':=u+v,
> v':=u+w, v':=v+w linear unabhängig sind?
q_1u'+q_2v'+q_3w'=0
Lg Melisa
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> Hallo,
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> >
> > Vorausgesetzt ist hier, daß u,v,w linear unabhängig
> > sind.
> > Was weiß ich dann, wenn ich die Gleichung
> > q_1u+q_2v+q_3w=0 mit [mm]q_i\in \IQ[/mm] vorliegen habe?
> >
>
>
>
> [mm]q_1=q_2=q_3=0[/mm]
>
>
> > Die Lösung einer welchen Gleichung mußt Du untersuchen,
> > wenn Du erfahren willst, ob die drei Vektoren u':=u+v,
> > v':=u+w, v':=v+w linear unabhängig sind?
>
>
> q_1u'+q_2v'+q_3w'=0
Hallo,
ja, und nun mach weiter.
Gruß v. Angela
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
q_1u'+q_2v'+q_3w'=0
[mm] \gdw q_1(u+v)+q_2(u+w)+q_3(v+w)=0
[/mm]
aber, weiter weiß ich leider nicht was ich machen soll :-S
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> q_1u'+q_2v'+q_3w'=0
>
> [mm]\gdw q_1(u+v)+q_2(u+w)+q_3(v+w)=0[/mm]
>
> aber, weiter weiß ich leider nicht was ich machen soll
> :-S
Hallo,
dann liest Du Dir vielleicht mal meine erste Antwort richtig durch...
Und wenn Du getan hast, was ich dort gesagt habe, dann überlegst Du sinnigerweise mal ein bißchen, statt hier im Minutentakt nachzufragen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
multipliziere das ganze einfach mal aus und sortiere wieder nach u, v und w und wende dann die Unabhängigkeit an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo ullim,
danke nochmal für deinen Hinweis, dass war die Bestätigung für mich, dass ich das mit dem Vielfachen richtig verstanden habe 
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
ok ich habe jetzt:
q_1u'+q_2v'+q_3w'=0
[mm] \gdw q_1(u+v)+q_2(u+w)+q_3(v+w)=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] q_1u+q_2u+q_1v+q_3v+q_2w+q_3w=0
[mm] \gdw u(q_1+q_2)+v(q_1+q_3)+w(q_2+q_3)=0
[/mm]
Dadurch das u,v und w linear unabhängig sind müssen [mm] q_1=q_2 [/mm] = [mm] q_3=0 [/mm] sein und dadurch auch [mm] (q_1+q_2)=(q_1+q_3)=(q_2+q_3)=0
[/mm]
und somit ist die lineara unabhängigkeit bei der a bewiesen.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> ok ich habe jetzt:
>
>
> [mm] q_1{u'}+q_2v'+q_3w'=0
[/mm]
>
> [mm] \gdw q_1(u+v)+q_2(u+w)+q_3(v+w)=0
[/mm]
>
> [mm] \gdw q_1{u}+q_2u+q_1v+q_3v+q_2w+q_3w=0
[/mm]
>
> [mm] \gdw u(q_1+q_2)+v(q_1+q_3)+w(q_2+q_3)=0
[/mm]
>
> Dadurch das u,v und w linear unabhängig sind müssen
> [mm]q_1=q_2[/mm] = [mm]q_3=0[/mm] sein und dadurch auch
> [mm](q_1+q_2)=(q_1+q_3)=(q_2+q_3)=0[/mm]
Nein, es ist umgekehrt, es gilt
[mm] q_1+q_2=0
[/mm]
[mm] q_1+q_3=0 [/mm] und
[mm] q_2+q_3=0
[/mm]
und Du musst zeigen das daraus folgt, das [mm] q_1=q_2=q_3=0 [/mm] gilt.
Tipp: Du hast für [mm] q_1, q_2 [/mm] und [mm] q_3 [/mm] ein lineares Gleichungssystem. Löse es und zeige das nur [mm] q_1=q_2=q_3=0 [/mm] die Lösung ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
I. [mm] q_1+q_2=0
[/mm]
II. [mm] q_1+q_3=0 [/mm] und
III. [mm] q_2+q_3=0
[/mm]
aus I folgt:
[mm] q_1=-q_2 [/mm]
einsetzen in II ergibt eine neue Gleichung
IV [mm] -q_2+q_3
[/mm]
IV+III ergibt
[mm] 2q_3=0
[/mm]
[mm] q_3=0
[/mm]
durch einsetzen kommt bei [mm] q_2 [/mm] und [mm] q_1 [/mm] auch null.
zu b)
der anfang ist wieder gleich wie bei a)
u'=u-v+w v'=u+v-w w'=5u+v+w
q_1u'+q_2v'+q_3w'=0
[mm] \gdw q_1(u-v+w)+q_2(u+v-w)+q_3(5u+v+w)=0
[/mm]
[mm] \gdw u(q_1+q_2+5q_3)+v(-q_1+q_2+q_3)+w(q_1-q_2+q_3)=0
[/mm]
da u, v und w linear sind folgt:
I [mm] q_1+q_2+5q_3=0
[/mm]
II [mm] -q_1+q_2+q_3=0
[/mm]
III [mm] q_1-q_2+q_3=0
[/mm]
aus II+III folgt: [mm] 2q_3=0 [/mm] -> [mm] q_3=0
[/mm]
einsetzen in I und II ergibt:
[mm] q_1+q_2=0
[/mm]
[mm] -q_1+q_2=0
[/mm]
addiert man beide ergibt sich: [mm] 2q_2=0 [/mm] -> [mm] q_2=0 [/mm]
Setzt man [mm] q_3 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] in die erste ein ergibt sich daraus das [mm] q_1=0 [/mm]
Lg Melisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 So 12.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe für die Determinaten -2 und 4 raus also beides ist [mm] \not= [/mm] 0 danke für die Hilfe!
Lg Melisa
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