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Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mi 31.12.2014
Autor: canyakan95

Aufgabe
gegeben sind die Vektoren v1=(1,1,1,1) v2= (0,2,-3,0) v3=(1,2,-1,0)           v4= (1,2,2,-1) im [mm] \IR^4. [/mm]
zeigen sie, dass die Vektoren v1,v2,v3 und v4 linear unabhängig ist.

Hallo
mein Ansatz wäre ein LGS aufzustellen.
I)x1+x3=1
II)x1+2x2+2x3=2
III)x1-3x2-x3=2
IV)x1=-1

dann erhalte ich für x1=-1 x3=2 und bei II) bekomme ich ein anderes x2 als bei III).Warum bekomme ich zweimal was anderes raus und woran erkenne ich von meinen Lösungen, dass es linear unabhängig ist.
mfg

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mi 31.12.2014
Autor: M.Rex

Hallo
> gegeben sind die Vektoren v1=(1,1,1,1) v2= (0,2,-3,0)
> v3=(1,2,-1,0) v4= (1,2,2,-1) im [mm]\IR^4.[/mm]
> zeigen sie, dass die Vektoren v1,v2,v3 und v4 linear
> unabhängig ist.
> Hallo
> mein Ansatz wäre ein LGS aufzustellen.

Das ist ok, die Gleichung
[mm] x_{1}\cdot\vec{v}_{1}+x_{2}\cdot\vec{v}_{2}+x_{3}\cdot\vec{v}_{3}+x_{4}\cdot\vec{v}_{4}=\vec{0} [/mm] muss andere Lösungen, als die sogenannte triviale Lösung [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 [/mm] haben


Das führt zu
[mm] x_{1}\cdot\vektor{1\\1\\1\\1}+x_{2}\cdot\vektor{0\\2\\-3\\0}+x_{3}\cdot\vektor{1\\2\\-1\\0}+x_{4}\cdot\vektor{1\\2\\2\\-1}=\vektor{0\\0\\0\\0} [/mm]

> I)x1+x3=1
> II)x1+2x2+2x3=2
> III)x1-3x2-x3=2
> IV)x1=-1

Din LGS kommt mir seltsam vor, ich bekomme:

[mm] \begin{vmatrix}x_{1}+x_{3}=0\\x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=0\\x_{1}-3x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0\\x_{1}-x_{4}=0\end{vmatrix} [/mm]

Nun macht es Sinn, [mm] x_{4} [/mm] als Parameter [mm] \lambda [/mm] zu setzen, dann bekommst du

[mm] \begin{vmatrix}x_{1}+x_{3}=0\\x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-2\lambda\\x_{1}-3x_{2}-x_{3}=-2\lambda\\x_{1}=\lambda\end{vmatrix} [/mm]

I-II und I-III

[mm] \begin{vmatrix}x_{1}+x_{3}=0\\-2x_{2}-x_{3}=2\lambda\\3x_{2}+2x_{3}=2\lambda\\x_{1}=\lambda\end{vmatrix} [/mm]

Aus Gleichung IV folgt nun [mm] x_{1}=\lambda [/mm] damit dann aus Gleichugen 1 auch [mm] x_{3}=-\lambda [/mm]

Versuche nun, ob Gleichungen II und III mit diesen Werten denselben Wert für [mm] x_{2} [/mm] liefern, wenn ja, gibt es eine andere Lösung als [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 [/mm] und die Vektoren sind linear abhängig.

Wenn du bei den beiden Gleichungen verschiedene Werte für [mm] x_{2} [/mm] bekommst, gibt es nur die Lösung [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 [/mm]
Das bedeutet, die Vektoren sind linear abhängig.

>

> dann erhalte ich für x1=-1 x3=2 und bei II) bekomme ich
> ein anderes x2 als bei III).Warum bekomme ich zweimal was
> anderes raus und woran erkenne ich von meinen Lösungen,
> dass es linear unabhängig ist.
> mfg

Lies dir aber auch mal das Kapitel 7.1.3 bei []poenitz-net durch, dann sollte es auch klarer sein. Diese Seite ist die meiner Meinung nach zur Zeit beste, die du im Netz bezüglich der Vektorrechnung finden kannst.

Marius

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Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 31.12.2014
Autor: canyakan95

hey habe als Lösung jetzt für II) [mm] -1/2\lambda [/mm] und für III) [mm] 4/3\lambda [/mm] rausbekommen.
ich glaube du hast dich einmal verschrieben.du hast zweimal bei deiner Antwort linear abhängig geschrieben.
aber z.Z war ja, dass v1,v2,v3 und v4 linear unabhängig sind.
und müsste den die erste Zeile der lgs nicht [mm] x1+x3=-\lambda [/mm] lauten.
mfg

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Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mi 31.12.2014
Autor: Steffi21

Hallo, dein Gleichungssystem ist noch nicht korrekt

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -3 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 } [/mm]

bilde neue 2. Zeile: Zeile 1 minus Zeile 2
bilde neue 3. Zeile: Zeile 1 minus Zeile 3
bilde neue 4. Zeile: Zeile 1 minus Zeile 4

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 } [/mm]

bilde neue 3. Zeile: 3 mal Zeile 2 plus 2 mal Zeile 3

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 } [/mm]

bilde neue 4. Zeile: Zeile 3 minus Zeile 4

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 0 } [/mm]

den Rest überlasse ich dir

Steffi



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Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Mi 31.12.2014
Autor: canyakan95

Hey ich weis net ganz genau wohin du mit der matrix hinauswillst und
Ist der ansatz den von m.rex denn net richtig, denn wenn ich das richtig verstanden habe , wenn mind 2 variablen gleich sind ist es linear abhängig und wenn alle variablen unterschiedlich sind ist es linear unabhängig.
Mfg

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Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mi 31.12.2014
Autor: angela.h.b.


> Hey ich weis net ganz genau wohin du mit der matrix
> hinauswillst

Hallo,

Steffi hat die Koeffizientenmatrix des zu lösenden LGS aufgestellt und mit dem Gaußalgorithmus bearbeitet.

> und
> Ist der ansatz den von m.rex denn net richtig,

Richtig ist dies:

wenn Du zeigen möchtest, daß [mm] \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4} [/mm] linear unabhängig sind, mußt Du zeigen, daß

[mm] x_{1}\cdot\vec{v}_{1}+x_{2}\cdot\vec{v}_{2}+x_{3}\cdot\vec{v}_{3}+x_{4}\cdot\vec{v}_{4}=\vec{0} [/mm]

nur die Lösung [mm] x_1=x_2=x_3=x_4=0 [/mm] hat.

Willst Du zeigen, daß sie linear abhängig sind, müßt Du zeigen, daß es eine von der obigen Lösung verschiedene Lösung gibt.



> denn wenn
> ich das richtig verstanden habe , wenn mind 2 variablen
> gleich sind ist es linear abhängig und wenn alle variablen
> unterschiedlich sind ist es linear unabhängig.

Das hast Du falsch verstanden.

LG Angela

P.S.: Ist es eine Aufgabe aus der Schule oder von der Uni?

> Mfg


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Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mi 31.12.2014
Autor: Steffi21

Hallo M.Rex, dir fehlt in der 1. Zeile [mm] +x_4 [/mm]

$ [mm] \begin{vmatrix}x_{1}+x_{3}+x_{4}=0\\x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=0\\x_{1}-3x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0\\x_{1}-x_{4}=0\end{vmatrix} [/mm] $

Steffi

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Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Mi 31.12.2014
Autor: leduart

Hallo
Doppelpost mit
http://www.onlinemathe.de/forum/Lineare-Unabhaengigkeit-von-4-vektoren-6
wenn du doppelt postest, sag es bitte, so steht es in den Forenregeln!
Gruß leduart

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