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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Sind die folgenden Vektoren linear abhängig oder unabhängig?
[mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vec{b}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}, \vec{c}=\vektor{7 \\ 8 \\ 9} [/mm] |
Hallo Zusammen
Irgendwie verstehe ich was zu tun ist, und doch steht mir etwas auf der Leitung. Ich denke ich brauche nur einen kleinen Anstoss oder eine andere Erklärung.
Am besten sage ich mal, was ich meine zu wissen :D
Um zu zeigen, dass diese Vektoren linear unabhängig sind, müssen die linear Kombinationen der Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] eindeutig sein.
Das heisst es darf nur eine Linear Kombination geben, welche zum beispiel den 0-Vektor gibt!
[mm] \alpha*\vec{a} [/mm] + [mm] \beta*\vec{b} [/mm] + [mm] \gamma*\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 0 (das ist die triviale Lösung um den 0 Vektor zu erhalten)
jetzt überprüfe ich mit einem lineare Gleichungssystem, ob ich auch mit anderen Werten als 0 für [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] auf den 0-Vektor kommen kann?
Das LGS würde nun so aussehen:
i) [mm] 1*\alpha [/mm] + [mm] 4*\beta [/mm] + [mm] 7*\gamma [/mm] = 0
ii) [mm] 2*\alpha [/mm] + [mm] 5*\beta [/mm] + [mm] 8*\gamma [/mm] = 0
iii) [mm] 3*\alpha [/mm] + [mm] 6*\beta [/mm] + [mm] 9*\gamma [/mm] = 0
Jetzt schreibe ich dass in eine Matrix und forme die Koeffizienten-Matrix mit dem Gauss-Algorithmus auf Zeilen-Stufen-Form um:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9} [/mm] * [mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Nach dem Umformen komme ich auf
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Mir war nicht klar wieso dass diese Vektoren nun linear abhängig sind, wenn eine Zeile komplett zu Null wird. Aber ich glaube, mir wurde es beim aufschreiben der Frage nun klar.
Wenn ich das jetzt wieder umforme zu
i) [mm] 1*\alpha [/mm] + [mm] 4*\beta [/mm] + [mm] 0*\gamma [/mm] = 0
ii) [mm] 0*\alpha -3*\beta -0*\gamma [/mm] = 0
iii) [mm] 0*\alpha [/mm] + [mm] 0*\beta [/mm] + [mm] 0*\gamma [/mm] = 0
AHHHH schh.. ich versteh das nicht, ich hatte erwarte das in jeder Gleichung nun [mm] \gamma [/mm] *0 ist und daher es egal ist was man für [mm] \gamma [/mm] einsetzt und es deshalbt unendlich viele lösungen gibt und die Vektoren deshalb linear abhängig sind wenn eine Zeile komplett zu Nullen wird!!
Kann mir das jemand erklären? oder habe ich einfach die Vektoren verkehrt in die Matrix eingetragen?
Vielen Dank für eure Hilfe und sorry für die lange Frage!
Gruss Franhu
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Hallo Franhu,
> Sind die folgenden Vektoren linear abhängig oder
> unabhängig?
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> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vec{b}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}, \vec{c}=\vektor{7 \\ 8 \\ 9}[/mm]
>
> Hallo Zusammen
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> Irgendwie verstehe ich was zu tun ist, und doch steht mir
> etwas auf der Leitung. Ich denke ich brauche nur einen
> kleinen Anstoss oder eine andere Erklärung.
>
> Am besten sage ich mal, was ich meine zu wissen :D
>
> Um zu zeigen, dass diese Vektoren linear unabhängig sind,
> müssen die linear Kombinationen der Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm]
> eindeutig sein.
>
> Das heisst es darf nur eine Linear Kombination geben,
> welche zum beispiel den 0-Vektor gibt!
>
> [mm]\alpha*\vec{a}[/mm] + [mm]\beta*\vec{b}[/mm] + [mm]\gamma*\vec{c}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = [mm]\gamma[/mm] = 0 (das ist die triviale Lösung
> um den 0 Vektor zu erhalten)
>
> jetzt überprüfe ich mit einem lineare Gleichungssystem,
> ob ich auch mit anderen Werten als 0 für [mm]\alpha, \beta[/mm] und
> [mm]\gamma[/mm] auf den 0-Vektor kommen kann?
>
> Das LGS würde nun so aussehen:
>
> i) [mm]1*\alpha[/mm] + [mm]4*\beta[/mm] + [mm]7*\gamma[/mm] = 0
> ii) [mm]2*\alpha[/mm] + [mm]5*\beta[/mm] + [mm]8*\gamma[/mm] = 0
> iii) [mm]3*\alpha[/mm] + [mm]6*\beta[/mm] + [mm]9*\gamma[/mm] = 0
>
> Jetzt schreibe ich dass in eine Matrix und forme die
> Koeffizienten-Matrix mit dem Gauss-Algorithmus auf
> Zeilen-Stufen-Form um:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9}[/mm] *
> [mm]\vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Nach dem Umformen komme ich auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] *
> [mm]\vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Mir war nicht klar wieso dass diese Vektoren nun linear
> abhängig sind, wenn eine Zeile komplett zu Null wird. Aber
> ich glaube, mir wurde es beim aufschreiben der Frage nun
> klar.
>
> Wenn ich das jetzt wieder umforme zu
>
> i) [mm]1*\alpha[/mm] + [mm]4*\beta[/mm] + [mm]0*\gamma[/mm] = 0
Hier muss es doch lauten:
[mm]1*\alpha +4*\beta + \blue{7}*\gamma = 0[/mm]
> ii) [mm]0*\alpha -3*\beta -0*\gamma[/mm] = 0
Ebenso hier:
[mm]0*\alpha -3*\beta -\blue{6}*\gamma = 0[/mm]
> iii) [mm]0*\alpha[/mm] + [mm]0*\beta[/mm] + [mm]0*\gamma[/mm] = 0
>
> AHHHH schh.. ich versteh das nicht, ich hatte erwarte das
> in jeder Gleichung nun [mm]\gamma[/mm] *0 ist und daher es egal ist
> was man für [mm]\gamma[/mm] einsetzt und es deshalbt unendlich
> viele lösungen gibt und die Vektoren deshalb linear
> abhängig sind wenn eine Zeile komplett zu Nullen wird!!
>
Es muss nicht in jeder Gleichung [mm]\gamma *0[/mm] stehen.
Es reicht wenn es eine Nullzeile gibt.
> Kann mir das jemand erklären? oder habe ich einfach die
> Vektoren verkehrt in die Matrix eingetragen?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe und sorry für die lange
> Frage!
>
> Gruss Franhu
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ah stimmt, habe ich falsch umgeformt.
Die Gleichungen sehen demnach so aus:
i) [mm] 1*\alpha [/mm] + [mm] 4*\beta [/mm] + [mm] 7*\gamma [/mm] = 0
ii) [mm] 0*\alpha [/mm] - [mm] 3*\beta [/mm] - [mm] 6*\gamma [/mm] = 0
iii) [mm] 0*\alpha [/mm] + [mm] 0*\beta [/mm] + [mm] 0*\gamma [/mm] = 0
Aber wieso sind jetzt diese drei Vektoren linear abhängig?
Ich möchte einfach genauer verstehen, wieso eine Nullzeile = lineare Abhängigkeit?
Dass diese 3 Vektoren nun linear abhängig sind bedeutet doch auch dass ich für [mm] \alpha \beta, \gamma [/mm] andere Werte als 0 einsetzten kann und auch auf den Nullvektor komme oder?
Danke und Gruss
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Hallo Franhu,
> Ah stimmt, habe ich falsch umgeformt.
>
> Die Gleichungen sehen demnach so aus:
>
> i) [mm]1*\alpha[/mm] + [mm]4*\beta[/mm] + [mm]7*\gamma[/mm] = 0
> ii) [mm]0*\alpha[/mm] - [mm]3*\beta[/mm] - [mm]6*\gamma[/mm] = 0
> iii) [mm]0*\alpha[/mm] + [mm]0*\beta[/mm] + [mm]0*\gamma[/mm] = 0
>
> Aber wieso sind jetzt diese drei Vektoren linear abhängig?
> Ich möchte einfach genauer verstehen, wieso eine Nullzeile
> = lineare Abhängigkeit?
>
Aus dem Gleichungssystem ist ersichtlich,
daß nur 2 Parameter bestimmt werden können.
Diese 2 Parameter sind abhängig vom 3. Parameter,
daher sind die Vektoren linear abhängig.
> Dass diese 3 Vektoren nun linear abhängig sind bedeutet
> doch auch dass ich für [mm]\alpha \beta, \gamma[/mm] andere Werte
> als 0 einsetzten kann und auch auf den Nullvektor komme
> oder?
>
Ganz so ist das nicht.
2 Parameter z.B. [mm]\alpha, \beta[/mm] sind vom 3. Parameter (hier: [mm]\gamma[/mm]) abhängig.
> Danke und Gruss
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ahh vielen Dank, ich glaub jetzt ist es mir klarer!
Ich kann natürlich nicht irgendwelche beliebige Werte einsetzten, in diesem Fall muss ich sie abhängig vom /gamma Wert berechnen!
Danke und noch schönes Weekend!
Franhu
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