Lineare Mehrschrittverfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Sa 23.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
| Aufgabe | Satz:
Sei f glatt genug; es gelte
| f(x,y) - f(x,z) | [mm] \le [/mm] L|y - z| [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [x_{0} [/mm] , [mm] x_{E}] [/mm] y,z reellwertig
Sei unser lineares Mehrschrittverfahren (LMSV) konsisten und sabil mit Konsistenzordnung p;
sei [mm] y_{h} [/mm] eine Lösung des LMSV mit
[mm] |y_{h}(x_{j}) [/mm] - [mm] y(x_{j})| \le \varepsilon_{0} [/mm] j=0,...,m-1 [mm] x_{j} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] + jh
Dann gibt es zu jedem [mm] x_{E} [/mm] > 0 Konstanten [mm] h_{0}, [/mm] c > 0, so dass
[mm] |y_{h}(x_{j}) [/mm] - [mm] y(x_{j})| \le c(\varepsilon_{0} [/mm] + [mm] h^p) \forall [/mm] h [mm] \le h_{0} \text{ }\forall [/mm] x [mm] \in \Delta_{h} \cap [x_{0} [/mm] , [mm] x_{E}] [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wobei
[mm] \Delta_{h} [/mm] := [mm] \left \{ x_{0}+jh | j \in \IN \right \}
[/mm]
Lineares MSV:
[mm] y_{n+m}+\summe_{j=0}^{m-1}a_{j}y_{n+j}=h\summe_{i=0}^{m}b_{j}f(x_{n+j},y_{n+j})
[/mm]
Hallo alle zusammen,
ich habe bald eine mündliche Prüfung in Numerik und ich bin der einzige in der uni, der sich jetzt auf diese Prüfung ebenfalls vorbereitet. Ich habe sonst keine Möglichkeit jemanden zu fragen. Bitte helft mir.
Bei Numerik der gewöhnlichen DGL's wird ja ein Verfahren vorgestellt und danach überprüft man ja die Konsistenz, Stabilität und Konvergenz.
Die Konsistenz des linearen MSV habe ich verstanden die Stabilität noch nicht ganz. Was mich hier Probleme bereitet ist die Konvergenz. In der Vorlesung sagt der Dozent, "ja wir möchten gerne Konvergenz haben". Und am Ende des Kapitels Konvergenz von LMSV steht der Satz, den ich oben aufgeschrieben habe.
An dieser Aussage sehe ich aber nicht, dass das Verfahren Konvergiert oder sowas.
Den Knvergenz hier heißt ja, gleichmäßige Konvergenz der Lösung des Verfahrenz gegen die exakte Lösung für h gegen Null. Die obere Schranke der Abschätzung geht aber nicht gegen Null für h gegen Null.
wie sehe ich die Konvergenz des LMSV an dem obigen Satz???
oder steht die Aussage für etwas anderes??
bitte helft mir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Sa 23.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Sergej,
zunächst mal ein paar Sachen, die mir merkwürdig vorkommen:
> Satz:
>
> Sei f glatt genug; es gelte
>
> | f(x,y) - f(x,z) | [mm]\le[/mm] L|y - z| [mm]\forall[/mm] x [mm]\in [x_{0}[/mm] ,
> [mm]x_{E}][/mm] y,z reellwertig
> Sei unser lineares Mehrschrittverfahren (LMSV) konsisten
> und sabil mit Konsistenzordnung p;
> sei [mm]y_{h}[/mm] eine Lösung des LMSV mit
> [mm]|y_{h}(x_{j})[/mm] - [mm]y(x_{j})| \le \varepsilon_{0}[/mm] j=0,...,m-1
> [mm]x_{j}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] + jh
>
> Dann gibt es zu jedem [mm]x_{E}[/mm] > 0 Konstanten [mm]h_{0},[/mm] c > 0, so
Wieso wird hier [mm] x_{E} [/mm] verwendet, das ist doch oben das Intervallende der Lipschitzbedingung und wieso > 0, schliesslich kann das Intervall ja komplett im Negativen liegen?
> dass
>
> [mm]|y_{h}(x_{j})[/mm] - [mm]y(x_{j})| \le c(\varepsilon_{0}[/mm] + [mm]h^p) \forall[/mm]
Wieso hier [mm] y_{h}(x_{j}) [/mm] bzw. [mm] y(x_{j}), [/mm] ich hätte [mm] y_{h}(x) [/mm] und y(x) erwartet mit Bezug auf das x [mm] \in \Delta_{h} \cap [/mm] ...
> h [mm]\le h_{0} \text{ }\forall[/mm] x [mm]\in \Delta_{h} \cap [x_{0}[/mm]
> , [mm]x_{E}][/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> wobei
>
> [mm]\Delta_{h}[/mm] := [mm]\left \{ x_{0}+jh | j \in \IN \right \}[/mm]
>
> Lineares MSV:
>
> [mm]y_{n+m}+\summe_{j=0}^{m-1}a_{j}y_{n+j}=h\summe_{i=0}^{m}b_{j}f(x_{n+j},y_{n+j})[/mm]
>
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe bald eine mündliche Prüfung in Numerik und ich bin
> der einzige in der uni, der sich jetzt auf diese Prüfung
> ebenfalls vorbereitet. Ich habe sonst keine Möglichkeit
> jemanden zu fragen. Bitte helft mir.
>
> Bei Numerik der gewöhnlichen DGL's wird ja ein Verfahren
> vorgestellt und danach überprüft man ja die Konsistenz,
> Stabilität und Konvergenz.
>
> Die Konsistenz des linearen MSV habe ich verstanden die
> Stabilität noch nicht ganz. Was mich hier Probleme bereitet
> ist die Konvergenz. In der Vorlesung sagt der Dozent, "ja
> wir möchten gerne Konvergenz haben". Und am Ende des
> Kapitels Konvergenz von LMSV steht der Satz, den ich oben
> aufgeschrieben habe.
>
> An dieser Aussage sehe ich aber nicht, dass das Verfahren
> Konvergiert oder sowas.
> Den Knvergenz hier heißt ja, gleichmäßige Konvergenz der
> Lösung des Verfahrenz gegen die exakte Lösung für h gegen
> Null. Die obere Schranke der Abschätzung geht aber nicht
> gegen Null für h gegen Null.
>
> wie sehe ich die Konvergenz des LMSV an dem obigen Satz???
> oder steht die Aussage für etwas anderes??
>
> bitte helft mir
Die Frage nach der Konvergenz für h gegen 0 beantwortet sich wohl so, dass wegen der ohnehin vorliegenden [mm] \epsilon_{0} [/mm] - Differenz von [mm] y_{h} [/mm] und y in den Stützstellen [mm] x_{j} [/mm] der Startwerte (die betragliche Differenz ist ja nur <= [mm] \epsilon_{0}) [/mm] ein Nullwerden dieser Differenz an den weiteren, berechneten x [mm] \in \Delta_{h} [/mm] mit j >= m gar nicht zu erwarten ist. Vielmehr kann man lediglich, so muss man den Satz wohl verstehen, einen minimalen Abstand von [mm] c*\epsilon_{0} [/mm] erreichen, wenn h gegen 0 geht. Immerhin geschieht dies aber in [mm] [x_{0}, x_{E}] [/mm] gleichmäßig (bei festem [mm] x_{E}).
[/mm]
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
Hi,
danke, dass du dir die Mühe gegeben hast meine Frage zu beantworten.
Also, die erste Frage kann ich dir nicht beantworten. Habe in der Vorlesung keinen
Anhaltspunkt bzgl. [mm] x_{E} [/mm] gefunden. Ich denkemal wenn es für positive Intervalle gilt, dann auch für negative, falls wir die Differentialgleichung geeignet transformieren. Wir wollen ja auch eigentlich "nur" die Konvergenz betrachten.
Zu der Zweiten Frage:
ich habe mich das gleiche gefragt und ich denke mal, formal wäre es besser die Indizien wegzulassen.
Ok jetzt zu deiner Antwort:
ich habe es mir durchgelesen und denkemal verstanden :))
Ich habe mir am Anfange fast das gleiche vorgestellt.
Aber danach habe ich mir gedacht, dass man den [mm] \varepsilon_{0} [/mm] eigentlich
beliebig klein wählen kann für h gegen null.
Denn:
die ersten m-1 Startwerte durch ein anderes Verfahren bestimmt werden.
Naja und wenn das Verfahren Konsistent ist mit KO p ist, so wird das [mm] \varepsilon_{0} [/mm] denke ich mal ebenfalls gegen null gehen für h gegen Null
Ich bin mir aber nicht sicher
kannst du damit etwas anfangen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 25.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Sergej,
[mm] \epsilon_{0} [/mm] ist in der Numerik und auch in diesem Zusammenhang eine obere Grenze für den Rundungsfehler, der bei der Eingabe und Berechnung mit Gleitpunktarithmetik zwangsläufig auftritt und der demnach auch in der (Konvergenz-)Theorie linearer Mehrschrittverfahren zu berücksichtigen ist. Deshalb wird [mm] \epsilon_{0} [/mm] nur theoretisch, aber nicht praktisch Null werden. Insoweit erreicht die Abschätzung ein bestmögliches Ergebnis, zumal der anfängliche (maximale) Rundungsfehler nicht wesentlich verstärkt wird (höchstens mit einem konstanten Faktor c).
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Di 26.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
erstmal danke,
erste Frage:
dann sag mir doch bitte, ob ich mit dem Satz den globalen Fehler oder oder den
lokalen abgeschätzt habe??
zweite Frage:
In der Praxis lässt man auch nicht das h gegen null laufen.
Deswegen denke ich mal, dass konvergenz rein theoretisches Problem ist,
um zu sehen ob das Verfahren wenigstens theoretisch funktioniert.
Dieser Satz kommt aus dem Kapitel "Konvergenz von Lienearen MSV"
und er ist der letzte und der einzig brauchbarer (bzgl. der Konvergenz) Satz aus dem Kapitel. Mal abgesehen von den Rundungsfehlern, möchte ich nur wissen ob ich aus dem obigen Satz entnehmen kann, dass die Lösung des Verfahren gleichmäßig gegen die exakte Lösung konvergiert. Falls ja, dann wie??
wenn du dir folgende Voraussetzung des Satzes angugst
[mm] |y_{h}(x_{j})-y(x_{j})| \le \varepsilon_{0} [/mm] j=0,...,m-1 [mm] x_{j}=x_{0}+hj
[/mm]
was passiert dann mit [mm] \varepsilon_{0}, [/mm] falls ich das h kleiner mache.
Kann er dann auch bel. klein gewählt werden???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 27.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Sergej,
> erstmal danke,
>
> erste Frage:
> dann sag mir doch bitte, ob ich mit dem Satz den globalen
> Fehler oder oder den
> lokalen abgeschätzt habe??
Wenn Du mir sagst, was Du in diesem Zusammenhang unter global oder lokal verstehst!
Tatsache ist doch, dass die Abschätzung auf dem Intervall [mm] [x_{0}, x_{E}] [/mm] gilt (wie schon gesagt für festes [mm] x_{E}), [/mm] für ein anderes [mm] x_{E} [/mm] können nach dieser Aussage c und [mm] h_{0} [/mm] variieren.
>
> zweite Frage:
> In der Praxis lässt man auch nicht das h gegen null
> laufen.
> Deswegen denke ich mal, dass konvergenz rein theoretisches
> Problem ist,
> um zu sehen ob das Verfahren wenigstens theoretisch
> funktioniert.
Das sehe ich auch so, jede Konvergenzaussage hat diesen theoretischen Charakter.
>
> Dieser Satz kommt aus dem Kapitel "Konvergenz von Lienearen
> MSV"
> und er ist der letzte und der einzig brauchbarer (bzgl.
> der Konvergenz) Satz aus dem Kapitel. Mal abgesehen von den
> Rundungsfehlern, möchte ich nur wissen ob ich aus dem
> obigen Satz entnehmen kann, dass die Lösung des Verfahren
> gleichmäßig gegen die exakte Lösung konvergiert. Falls ja,
> dann wie??
>
Offenbar hat Dein Professor in der Vorlesung ja noch nicht einmal eine Definition der Konvergenz linearer MSV angegeben, erst recht nicht die einer gleichmäßigen Konvergenz. Die Definition der gleichmässigen Konvergenz von Funktionenfolgen gegen eine Grenzfunktion aus der Analysis läßt sich hierauf nicht ohne weiteres übertragen.
> wenn du dir folgende Voraussetzung des Satzes angugst
>
> [mm]|y_{h}(x_{j})-y(x_{j})| \le \varepsilon_{0}[/mm] j=0,...,m-1
> [mm]x_{j}=x_{0}+hj[/mm]
>
>
>
> was passiert dann mit [mm]\varepsilon_{0},[/mm] falls ich das h
> kleiner mache.
> Kann er dann auch bel. klein gewählt werden???
>
>
Dazu macht Deine Vorlesung nun leider keine Aussage (zumindest in dem Teil, den Du zitiert hast). Allerdings gibt es andere Autoren, die tatsächlich einen Konvergenzbegriff für MSV definieren und die tun dies unter der Voraussetzung, das [mm] \epsilon_{0} [/mm] mit h gegen Null geht. Siehe dazu z.B. Stoer Bulirsch, Einführung in die numerische Mathematik II, Heidelberger Taschenbücher, Seite 124.
Aber man kann Deinen Professor ja nicht dazu zwingen ...
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
du hast genau das problem was ich habe auf den Punkt gebracht :))
danke, ich gehe mal in die Bücher gucken
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