Lineare Iterationsverfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Do 06.11.2008 | | Autor: | esel |
| Aufgabe | Konvergiert das lineare Iterationsverfahren
[mm] x^{(i+1)} [/mm] = [mm] Ax^{(i)}+c, [/mm] i = 0,1,2,...
mit
[mm] A=\bruch{1}{4}\pmat{ 2 & 0 &0 \\ -4 & -2 & 0 \\ -2& -1 & 0}, [/mm] c = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
für jeden Startwert [mm] x^{(0)}? [/mm] |
Spektralradius der iterationsmatrix ist doch konvergenzkriterium, heiß: ich muss nur diesen ausrechnen, und wenn dieser <1 ist dann konvergiert das Iterationsverfahren, oder?
Liebe Grüße
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Fr 07.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja.
Wie groß ist denn der Spektralradius ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Fr 07.11.2008 | | Autor: | esel |
Beim Berechnen des Spektralradius bin ich jetzt auf ein Problem gestoßen. Den Radius davon erhalte ich ja doch durch Eigenwertberechnung der Iterationsmatrix. Nur ist die gleich die Nullmatrix??
[mm] x^{i+1}= -(L+D)^{-1}R [/mm] * [mm] x^{i} [/mm] + [mm] (L+D)^{-1} [/mm] * c
[mm] -(L+D)^{-1}R= [/mm] - ( [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{4} & 0} [/mm] + [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -\bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0} ^{-1})*\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
es ist der Spektralradius Deiner Matrix $A$ gemeint und der ist
[mm] $\rho(A)=\frac{1}{2}<1$
[/mm]
da $A$ die Eigenwerte [mm] $-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}$ [/mm] besitzt. Damit konvergiert Dein Verfahren für alle Startwerte.
Gruß Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Konvergiert das lineare Iterationsverfahren
> [mm]x^{(i+1)}[/mm] = [mm]Ax^{(i)}+c,[/mm] i = 0,1,2,...
> mit
> [mm]A=\bruch{1}{4}\pmat{ 2 & 0 &0 \\ -4 & -2 & 0 \\ -2& -1 & 0},[/mm]
> c = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> für jeden Startwert [mm]x^{(0)}?[/mm]
Ja.
> Spektralradius der iterationsmatrix ist doch
> konvergenzkriterium, heiß: ich muss nur diesen ausrechnen,
> und wenn dieser <1 ist dann konvergiert das
> Iterationsverfahren, oder?
Das ist korrekt. Deine Iterationsmatrix ist $A$. Berechne den Spektralradius.
>
> Liebe Grüße
> Anna
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Aber wozu wurde dann der Vektor c gegeben, wenn ich den zum Berechnen nicht verwenden muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Ich bin zwar auch nicht so fit darin, aber siehe mal zum Beispiel bei Splitting-Verfahren auf der Seite:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Spektralradius
Die Spektralradiusbedingung bezieht sich nur auf die Matrix vor dem [mm] $x^{(k)}$ [/mm] (bei Dir die Matrix $A$) und nicht auf die Inhomogenität. Du weist mit dem Spektralradius von $A$, dass das Iterationsverfahren
[mm] $x^{(k+1)}=Ax^{(k)}$
[/mm]
für jeden Startwert [mm] $x^{(0)}$ [/mm] konvergiert, d.h. es konvergiert gegen einen Vektor $x$ mit
$x=Ax$
Wenn Du von diesem Iterationsverfahren weist, dass es für jeden Startwert [mm] $x^{(0)}$ [/mm] konvergiert, dann weist Du auch von dem Iterationsverfahren
[mm] $x^{(k+1)}=Ax^{(k)}+c$
[/mm]
dass es für jeden Startwert [mm] $x^{(0)}$ [/mm] konvergiert. Denn wenn [mm] $Ax^{(k)}$ [/mm] gegen $x$ kovergiert, dann konvergiert [mm] $Ax^{(k)}+c$ [/mm] gegen $x+c$. Mache Dir mal darüber Gedanken.
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
DANKE!!!! ^^ Das war super hilfreich für mich
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