Lineare Hülle - Teilraum von V < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und M eine Teilmenge von V. Zeigen Sie: Lin(M) ist der kleinste Teilraum von V, der die Menge M enthält. |
Guten Abend,
Hierzu die Definition aus der Vorlesung:
Für M eine Teilmenge eines Vektorraums V über den Körper K bezeichnet Lin(M):={ [mm] \vec{v} \in [/mm] V , [mm] \vec{v} [/mm] ist Linearkombination von Vektoren aus M} mit [mm] Lin(\phi) [/mm] ={ [mm] \vec{0} [/mm] } die lineare Hülle von M in V.
Meine Gedanken: Somit ist Lin(M) also eine Menge derjenigen Vektoren aus V, die sich mittels einer Linearkombination von Vektoren aus M darstellen lassen. Doch was bedeutet dies für die Aufgabe?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Hinweis bzw. ein paar Hilfestellungen zur Bearbeitung dieser Aufgabe geben könnte.
Viele Grüße,
Commotus
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Hallo und guten Abend,
also der kleinste Teilraum, der M enthaelt, sollte ja
[mm] \bigcap_{M\subseteq U} [/mm] U
sein, wobei der Schnitt ueber alle Unterräume U von V geht, die M enthalten.
Da aber per Def. von Unterraum zu M auch Lin(M) in allen diesen U enthalten sein muss,
gilt Gleichheit (Def. Unterraum: Teilmenge, die die 0 enthaelt und unter Addition und skalarer Multipl. abgeschl ist).
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
(als kleine Ergänzung bzw andere Vorgehensweise)
Wenn ihr dies nicht schon in der Vorlesung getan habt, muss hier auch bewiesen werden, dass dein Lin(M) ein Teilraum von V ist..
(Axiome nachweisen)
ansonsten würde ich es per Widerspruch machen:
Angenommen man hat einen kleineren Teilraum T, kann dieser M aber nicht Lin(M) enthalten ?!?
(Eigenschaften von Teilräumen nutzen..)
viele Grüße
DaMenge
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