Lineare Gleichungen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige, das für M= [mm] \IR [/mm] die Abb. f: [mm] M^2 \to M^2 [/mm] : (x,y) [mm] \to [/mm] (2x+3y,4x+5y) bijektiv ist. Gilt dies auch für M= [mm] \IZ? [/mm] |
Also damit eine Abbildung bijektiv ist muss ich zeigen das sie injektiv und surjektiv ist.
Um zu zeigen, dass sie injetkiv ist zeige ich das aus f(x)=f(y) folgt das x=y ist
Um zu zeigen, dass sie surjektiv ist muss ich zeigen, das f(x)=y ist
aber ich weiß nicht genau wie ich das bei der Funktion jetzt machen muss ich hab das bis jetzt nur bei funktionen wie z.B [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \to [/mm] -x gemacht
da musste ich dann zeigen das wenn f(X) =f(y) darsu folgt das x=y also
f(x)=f(y) [mm] \gdw [/mm] -x= -y [mm] \gdw [/mm] x=y darasufolgt dann das f injektiv ist aber wie mach ich das bei der?
Für surjektiv muss ich ja zeigen das f(x)=y also -x=y [mm] \gdw [/mm] x=-y und drasufolgt dann das f surjektiv ist
kann mir vllt jmd sagen wie das hioerbei geht?
Ich hab mal angesetzte, dass aus f((x,y)) = f((u,v)) [mm] \gdw [/mm] (2x+3y,4x+5y) = (2v+3u, 4v+5u) wird aber jetzt weiß ich nicht wie ich von nach (x,y)=(v,u) werden soll
Und für die Surjektivität ist der ansatz f((x,y)= (v,u) oder?
|
|
| |
|
Hallo sunnygirl26,
> Zeige, das für M= [mm]\IR[/mm] die Abb. f: [mm]M^2 \to M^2[/mm] : (x,y) [mm]\to[/mm]
> (2x+3y,4x+5y) bijektiv ist. Gilt dies auch für M= [mm]\IZ?[/mm]
> Also damit eine Abbildung bijektiv ist muss ich zeigen das
> sie injektiv und surjektiv ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Um zu zeigen, dass sie injetkiv ist zeige ich das aus
> f(x)=f(y) folgt das x=y ist
Wobei hier [mm]x=(x_1,y_1)[/mm] und [mm]y=(x_2,y_2)[/mm] aus [mm]M^2[/mm] sind!
>
> Um zu zeigen, dass sie surjektiv ist muss ich zeigen, das
> f(x)=y ist
Für jedes [mm]y=(u,v)\in M^2[/mm] musst du ein [mm](x,y)\in M^2[/mm] finden können mit [mm]f(x,y)=(u,v)[/mm]
>
> aber ich weiß nicht genau wie ich das bei der Funktion
> jetzt machen muss ich hab das bis jetzt nur bei funktionen
> wie z.B [mm]\IR \to \IR[/mm] : x [mm]\to[/mm] -x gemacht
>
> da musste ich dann zeigen das wenn f(X) =f(y) darsu folgt
> das x=y also
> f(x)=f(y) [mm]\gdw[/mm] -x= -y [mm]\gdw[/mm] x=y darasufolgt dann das f
> injektiv ist aber wie mach ich das bei der?
Nun, sei [mm]f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)[/mm], dh. [mm](2x_1+3y_1,4x_1+5y_1)=(2x_2+3y_2,4x_2+5y_2)[/mm]
Daraus musst du folgern, dass [mm](x_1,y_1)=(x_2,y_2)[/mm] ist.
Bedenke, dass zwei Vektoren gleich sind, wenn sie in jeder Komponente übereinstimmen ...
Damit bekommst du aus der Gleichheit [mm](2x_1+3y_1,4x_1+5y_1)=(2x_2+3y_2,4x_2+5y_2)[/mm] zwei Gleichungen ...
>
> Für surjektiv muss ich ja zeigen das f(x)=y also -x=y [mm]\gdw[/mm]
> x=-y und drasufolgt dann das f surjektiv ist
> kann mir vllt jmd sagen wie das hioerbei geht?
>
> Ich hab mal angesetzte, dass aus f((x,y)) = f((u,v)) [mm]\gdw[/mm]
> (2x+3y,4x+5y) = (2v+3u, 4v+5u) wird aber jetzt weiß ich
> nicht wie ich von nach (x,y)=(v,u) werden soll
Das ist bis auf einen Dreher in [mm](u,v)[/mm] - es sollte konsequent [mm](v,u)[/mm] heißen - schonmal gut und deckt sich mit dem, was ich oben geschrieben habe ...
Aus der Gleichheit folgt:
(1) [mm]2x+3y=2v+3u[/mm]
(2) [mm]4x+5y=4v+5u[/mm]
Addiere mal das [mm](-2)[/mm]-fache von Gleichung (1) auf Gleichung (2)
Hinaus willst du auf [mm]x=v[/mm] und [mm]y=u[/mm], damit dann [mm](x,y)=(v,u)[/mm]
> Und für die Surjektivität ist der ansatz f((x,y)= (v,u)
> oder?
Ja, du erhältst wieder 2 Gleichungen und musst [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] in Abhängigkeit von [mm]v[/mm] und [mm]u[/mm] ausdrücken ...
Löse nach x und y auf ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
