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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Lineare Gleichung oder nicht?
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Lineare Gleichung oder nicht?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 So 29.07.2018
Autor: Cellschock

Hallo zusammen,

ich habe zwei Fragen:

1.) Ist die Gleichung

y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b13 * x1 *x3

eine lineare Gleichung?

b1*x1, b2*x2 und b3*x3 sind linear. Das ist mir klar

Was ist mit b0? Kann man das als linear bezeichnen?

Und was ist mit b13*x1*x3? Ich meine es ist ja nicht quadratisch. Aber ob es linear ist, da bin ich mir auch nicht ganz sicher

2.) Wie stehts mit e-Funktionen? Diese sind nichtlinear oder?

y = b0 + [mm] b1*e^x [/mm]

Danke und Grüße
Marcel

        
Bezug
Lineare Gleichung oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 So 29.07.2018
Autor: Fulla

Hallo Cellschock,

ich habe deine Formeln im Zitat ein bisschen besser lesbar gemacht. Klicke auf eine Formel, um den zugrundeliegenden LaTeX-Code zu sehen.

> Hallo zusammen,

>

> ich habe zwei Fragen:

>

> 1.) Ist die Gleichung

>

> [mm]y = b_0 + b_1*x_1 + b_2*x_2 + b_3*x_3 + b_{13} * x_1 *x_3[/mm]

>

> eine lineare Gleichung?

>

> [mm]b_1*x_1[/mm], [mm]b_2*x_2[/mm] und [mm]b_3*x_3[/mm] sind linear. Das ist mir klar

Das stimmt. [ok]

> Was ist mit [mm]b_0[/mm]? Kann man das als linear bezeichnen?

Ja.

> Und was ist mit [mm]b_{13}*x_1*x_3[/mm]? Ich meine es ist ja nicht
> quadratisch. Aber ob es linear ist, da bin ich mir auch
> nicht ganz sicher

Dieser Term ist nicht linear. (Ich nehme, dass weder [mm]x_1[/mm] noch [mm]x_3[/mm] konstant ist.)

> 2.) Wie stehts mit e-Funktionen? Diese sind nichtlinear
> oder?

>

> [mm]y = b_0 + b_1*e^x[/mm]

Richtig, die Gleichung ist nicht linear. (Gleiches gilt für Logarithmus, Sinus, Kosinus, etc.)


Gleichungen (oder Terme) heißen linear, wenn die (veränderlichen) Variablen (hier: die [mm]x_i[/mm] bzw [mm]x[/mm]) ausschließlich in der ersten Potenz vorkommen und diese nicht miteinander mutlipliziert werden. Das heißt pro Summand darf mur ein "[mm]x[/mm]" als Faktor auftauchen.
Konstanten (hier: die [mm]b_i[/mm]) als Faktoren und Summanden sind erlaubt.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Lineare Gleichung oder nicht?: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 So 29.07.2018
Autor: Cellschock

Super, danke für die hilfreiche Antwort. Eine Frage hätte ich aber noch.

Ich dachte eigentlich, dass durch logarithmieren eine nichtlineare Regression linearisiert werden kann. Zumindest steht das so in unserem Skript. Als Beispiel wird die Arrhenius-Gleichung angegeben:

k = [mm] k_{0} [/mm] * [mm] e^{-EA/RT} [/mm]

log(k) = [mm] log(k_{0}) [/mm] - (EA/RT)

Ist diese Gleichung wirklich nicht linear?

Grüße
Marcel

Bezug
                        
Bezug
Lineare Gleichung oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:01 Mo 30.07.2018
Autor: Fulla

Hallo Marcel,


> Super, danke für die hilfreiche Antwort. Eine Frage hätte
> ich aber noch.

>

> Ich dachte eigentlich, dass durch logarithmieren eine
> nichtlineare Regression linearisiert werden kann. Zumindest
> steht das so in unserem Skript. Als Beispiel wird die
> Arrhenius-Gleichung angegeben:

auch hier formatiere ich ein wenig um...

> [mm]k=k_0*e^{-E_A/RT}[/mm]

>

> [mm]\log(k)=\log(k_{0})-\frac{E_A}{RT}[/mm]

>

> Ist diese Gleichung wirklich nicht linear?

Das kommt drauf an, in welcher Variabeln die Gleichung linear sein soll... Die letze Gleichung ist beispielsweise linear in [mm]E_A[/mm], aber nicht in [mm]R[/mm] oder [mm]T[/mm].

Linearität benötigt zwei Dinge: eine Gleichung (oder ein Term) und eine (oder mehrere) Variable(n). Eine Gleichung ist an sich nicht einfach linear, sondern linear in einer gewissen Variablen (oder in mehreren gewissen Variablen).

Beispiel:
Sind [mm]k_0, R, T[/mm] konstant, ist [mm]k=k_0*e^{-E_A/RT}[/mm] nicht linear in [mm]E_A[/mm], aber [mm]\log(k)=\log(k_{0})-\frac{E_A}{RT}[/mm] schon.
Falls alles außer [mm]k_0[/mm] konstant ist, wäre diese Gleichung aber schon linear in [mm]k_0[/mm].

In der Regel hast du eine Gleichung mit mehreren Variablen. Davon sind manche konstant - die kannst du ignorieren. Andere sind veränderlich - dort musst du untersuchen, ob die auch wirklich nur in der ersten Potenz vorkommen.

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
        
Bezug
Lineare Gleichung oder nicht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:35 Mo 30.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Super, danke für die hilfreiche Antwort. Eine Frage hätte
> ich aber noch.
>  
> Ich dachte eigentlich, dass durch logarithmieren eine
> nichtlineare Regression linearisiert werden kann. Zumindest
> steht das so in unserem Skript. Als Beispiel wird die
> Arrhenius-Gleichung angegeben:
>  
> k = [mm]k_{0}[/mm] * [mm]e^{-EA/RT}[/mm]

Ich verallgemeinere mal zu

y = [mm] a*e^{-bx}, [/mm] x und y variabel.

Die Gleichung ist natürlich nicht linear (e-Funktion).

Wenn nun diese Gesetzmäßigkeit ein naturwissenschaftliches Phänomen ist, kann man es durch Messungen überprüfen (bzw. erst herausfinden)  bzw. durch Messungen a und b bestimmen.

Dabei entstehen aber Messfehler, so dass a und b bei den verschiedenen Wertepaaren fast nie genau passen. Deshalb linearisiert man das Problem (hier durch Logarithmisieren) auf folgende Weise:

log(y) = log(a) - bx.

Dabei geht man nun weiter so vor:

Alle Messwerte y werden durch deren Logarithmus ersetzt. Jetzt Nennen wir diese Werte mal z, und wir erhalten die Gleichung

z = A - bx, wobei A = log(a) = konstant ist.

Das ist nun eine lineare Gleichung. Trägt man die x- und z-Werte in ein Koordinatensystem ein, ist somit eine Gerade zu erwarten.

Wegen der Messfehler liegen die Wertepaare aber nicht auf einer Geraden, sondern weichen von dieser ab. Man zieht durch die "Punktewolke" nun eine Gerade (dafür gibt es natürlich auch mathematische Berechnungsmethoden, Stichwort "lineare Regression") und kann so erkennen, wie gut die Messungen die Theorie bestätigen (starke oder schwache Abweichungen?) und bekommt noch zusätzlich:

-b ist die Steigung der Geraden, daraus erhält man b
A ist der Durchgangspunkt der Geraden durch die z-Achse, daraus erhalt man wegen A=log(a) den Wert a = [mm] e^A. [/mm]

Das ist der Sinn der Linearisierung.



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