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| Aufgabe | Lösen Sie die DGL:
[mm] x^{(3)}-7x^{(2)}+19x^{(1)}-13x=13t^{3}+57t^{2}+10t+70 [/mm] |
Hallo Leute, ich habe ein paar Probleme mit dieser DGL da das charakteristische Polynom der homogenen DGL komplexe Eigenwerte hat.
Hier meine Überlegungen:
Zuerst will ich die Homogene Lsg der Dgl bestimmen also
[mm] x^{(3)}-7x^{(2)}+19x^{(1)}-13x=0
[/mm]
Das Charakteristicsche Ploynom [mm] ist=\lambda^{3}-7\lambda^{2}+19\lambda-13=(\lambda-1)(\lambda^{2}-6\lambda+13)
[/mm]
also Nullstellen bzw. Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1}=1 \lambda_{2}=3+2i \lambda_{2}=3-2i [/mm]
Nun weis ich nicht genau wie meine allgemeine Lösung der homogenen Dgl lautet.
Ich hätte gedacht: x(t)= [mm] ae^{t}+be^{t}sin(2t) +ce^{t}cos(2t) [/mm] wobei a, b und c Polynome vom Grad 0 sind. Ist das erstmal bis hierhin so so richtig?
Viele Grüße, Seamus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
beinahe:
nicht x(t)= $ [mm] ae^{t}+be^{t}sin(2t) +ce^{t}cos(2t) [/mm] $
sondern x(t)= $ [mm] ae^{t}+be^{3t}sin(2t) +ce^{3t}cos(2t) [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:11 Di 02.02.2010 | | Autor: | seamus321 |
Ok, danke erstmal für die kleine Korrektur! So hatte ich es sogar auf mein Zettel stehen... 
Nun ja, da ich nun die homogene Lösung weis, aber die inhomogene berechnen will geht es nun weiter...
Der nächste Schritt bei dem Verfahren,aus mein Skriptunterlagen,wäre nun mittels Variation der Konstanten a(t), b(t) und c(t). Dazu soll ich nun ein lineares Gleichungssystem erster Ordnung zur Hilfe nehmen welchen bei mir dann so aussehen sollte:
I... [mm] a'(t)e^{t}+b'(t)e^{3t}sin(2t)+c'(t)e^{3t}cos(2t)=0
[/mm]
II... [mm] a'(t)e^{t}+b'(t)[3e^{3t}sin(2t)+2e^{3t}cos(2t)]+c'(t)[3e^{3t}cos(2t)-2e^{3t}sin(2t)=0
[/mm]
III... [mm] a'(t)e^{t}+b'(t)[9e^{3t}sin(2t)+6e^{3t}cos(2t)+6e^{3t}cos(2t)-4e^{3t}sin(2t)]+c'(t)[9e^{3t}cos(2t)-6e^{3t}sin(2t)-6e^{3t}sin(2t)+4e^{3t}cos(2t)]=13t^{3}-57t^{2}+10t+70
[/mm]
dieses System hat, wenn ich das richtig verstanden habe, die Form der Wromski Matrix wobei die letzte Zeile des systems den inhomogenen Anteil gleich gesetzt wird, und die anderen Zeilen null gesetzt werden.
soo, erstmal wäre wieder für mich interessant ob das so richtig ist und wenn ja, wie man das System löst weil ich finde einfach keinen Ansatz dieses Monster zu lösen -.-
Viele liebe Grüße, Seamus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Di 02.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
warum nimmst du nicht als Ansatz für deine Störfunktion: [mm] y_p=At^3+Bt^2+Ct+D
[/mm]
Dreimal differenzieren, einsetzen, Koeffizientenvergleich.
LG
Herby
ps: hab's nicht ausprobiert  - kann es ggf. sein, dass da irgendeine Zahl in der Aufgabe anders lauten sollte?
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Diese Methode ist mir leider nicht aus der Vorlesung bekannt aber ich würde mich freuen wenn du sie mir näher erläutern könntest!
hier die Ableitungen der Störfunktion (was auch immer das sein mag)
[mm] y_{p}=At^{3}+Bt^{2}+Ct+D
[/mm]
[mm] y_{p}'=3At^{2}+2Bt+C
[/mm]
[mm] y_{p}''=6At^+2B
[/mm]
[mm] y_{p}'''=6A
[/mm]
mit was vergleiche ich denn nun die Koeffizienten? mit den inhomogenen Anteil oder womit?
Grüße, Seamus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 02.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Diese Methode ist mir leider nicht aus der Vorlesung
> bekannt aber ich würde mich freuen wenn du sie mir näher
> erläutern könntest!
>
> hier die Ableitungen der Störfunktion (was auch immer das
> sein mag)
>
> [mm] y_{p}=At^{3}+Bt^{2}+Ct+D[/mm]
[/mm]
> [mm] y_{p}'=3At^{2}+2Bt+C
[/mm]
> [mm] y_{p}''=6At+2B
[/mm]
> [mm] y_{p}'''=6A
[/mm]
>
> mit was vergleiche ich denn nun die Koeffizienten? mit den
> inhomogenen Anteil oder womit?
ja, du musst halt das noch in deine DGL einsetzen:
[mm] 6A-7*(6At+2B)+19*(3At^2+2Bt+C)-......=13t^3+57t^2+....
[/mm]
und anschließend links nach Potenzen umsortieren und dann beide Seiten vergleichen - allerdings möcht' ich immer noch behaupten, dass wenigstens ein Vorzeichen anders lauten müsste
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Di 02.02.2010 | | Autor: | seamus321 |
Du hast Recht! wie ich diese Tippfehler hasse -.- es müsste [mm] -57t^{2} [/mm] heißen...
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Ich weis zwar noch nicht genau wieso ich das so lösen darf aber das werde ich mir noch "erGooglen"...
Damit ist eigentlich alles geklärt!
Viele Liebe Grüße und vielen Dank, Seamus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Da du nur irgend eine partikuläre Lösung suchst, ist es egal, wie du sie findest, durch Einsetzen zeigst du ja, dass es ne Lösung ist.
Erfahrung bein "raten" zeigt, dass man einfach die fkt, die die h
Homogenität "stört", also die rechte Seite mit geeigneten konstanten probieren kann.
Gruss leduart
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