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| Aufgabe | Bei einer Abbildung [mm] \alpha [/mm] : [mm] \vec{x'} [/mm] = M * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{v}, [/mm] wobei M eine 2x2-Matrix ist, wird A(0|0) auf A'(4|-2) abgebildet und die Gerade g: y = 2x - 5 ist Fixpunktgerade, d.h. jeder Punkt von g wird durch [mm] \alpha [/mm] auf sich selbst abgebildet.
b) Berechnen Sie das Bild eines beliebigen Punktes P(u|v).
Zeigen Sie, dass die Strecke [mm] \overline{PP'} [/mm] senkrecht auf der Geraden g steht.
Deuten Sie dieses Ergebnis geometrisch.
Zur Kontrolle: [mm] \overrightarrow{PP'} [/mm] = [mm] \vektor{-1,6u + 0,8v + 4\\ 0,8u - 0,4v - 2} [/mm] |
Hallo, Teilaufgabe a habe ich schon gelöst und habe dieses Ergebnis:
[mm] \alpha [/mm] : [mm] \vec{x'} [/mm] = [mm] \pmat{ -0,6 & 0,8 \\ 0,8 & 0,6 } [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ -2}
[/mm]
Für [mm] \vec{p} [/mm] habe ich [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] gewählt und habe [mm] \vec{p'} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0} [/mm] ausgrechnet. Dadurch ergibt sich für [mm] \overrightarrow{PP'} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -2}.
[/mm]
Meine beiden Fragen lauten, wie ich zeigen soll, dass die Strecke senkrecht auf der Geraden g steht. Habe überlegt [mm] \overrightarrow{PP'} [/mm] in Koordinatenform zu schreiben und dann [mm] m_{1} [/mm] * [mm] m_{2} [/mm] = -1 zu rechnen. Bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen soll, könnt ihr mir da Hilfestellung geben?
Außerdem weiß ich nicht genau, wie man ein Ergebnis geometrisch deuten soll bzw. inwiefern ich das hier machen soll.
Wäre über Hilfe sehr dankbar.
Gruß, Daniel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 28.04.2009 | | Autor: | BBFan |
Zwei verktoren stehen senkrecht aufeinander, falls ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Damit kannst du dann auch für allgemeine Punkte rechnen.
Gruss
BBFan
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So, hatte nur nen Denkfehler drin. Habe mir 2 Punkte auf der Geraden gesucht, daraus einen Richtungsvektor gebastelt, diesen mit [mm] \overrightarrow{PP'} [/mm] Skalar multipliziert und habe 0 raus. Könnte mir jetzt noch ejmand sagen, wie ich das geometrisch deuten soll?
Könnte man da schreiben, dass jeder beliebige Bildpunkt durch die Matrix an der Geraden gespiegelt werden? Würde das ausreichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Di 28.04.2009 | | Autor: | BBFan |
:) mit beliebig ist nicht gemeint, dass du dir einen aussuchen darfst, sondern du sollst echt den Punkt P(u,v) nehmen. Geometrisch bedeutet dies, dass jeder Punkt an der Gerade gespiegelt wird (Spiegelbild kann etwas näher oder weiter von der Gerade entfernt liegen). Deshalb ist die Gerade uach Fixpunktgerade.
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