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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 02.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | 1) Was bedeuten die Eigenwerte für die Determinante einer Matrix?
2) Warum ist die Determinante eindeutig?
3) Konjugierte Matrizen haben ja das gleiche charakteristische Polynom. Aber gilt auch die Umkehrung?
4) Hat jede lineare Abbildung eine Adjungierte? |
Hallo Leute,
oben stehen ein paar Fragen, die uns gerade bei unserer Vorbereitung auf die Zwischenprüfung beschäftigen. Wär echt super, wenn sich hier welche die Zeit nehmen könnten, um eine oder vielleicht auch mehrere Fragen zu beantworten. Dies sind alles Fragen aus Zwischenprüfungsprotokollen. Das bedeutet ein allzu langer Beweis kann wohl nicht dabei sein. Wir kommen aber gerade einfach nicht auf die passenden Antworten.
Vielen Dank schon im Voraus!!
Gruß Michi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 02.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> 1) Was bedeuten die Eigenwerte für die Determinante einer
> Matrix?
Hm. Mir fallen da bloß Beispiele ein: Falls die Matrix diagonalisierbar ist, so ist die Matrix das Produkt der EW potemziert mit den Vielfachheiten. Genauso, falls die Matrix sich in Jordan-NF darstellen lässt. Umgekehrt kann man i.A. nicht auf die EW schließen, wenn man die Determinante kennt. Vielleicht kennt jemand anderes ja einen passendne Zusammenhang ...
> 2) Warum ist die Determinante eindeutig?
Als Funktion muss sie ja eindeutig definiert sein. Oder habt ihr die Funktion aus Axiomtsichen Grundsätzen hergeleitet? Dann wird die Leibnizformel zum Ziel führen - sie erhält man nämlich aus den Axiomen, aber ist dann eine Funktion, die unabhängig von jenen definiert ist.
> 3) Konjugierte Matrizen haben ja das gleiche
> charakteristische Polynom. Aber gilt auch die Umkehrung?
Nein. Tip: Jordan-NF mit gleichen char. Polynomen, aber ungleichen Jordan-Kästchen.
> 4) Hat jede lineare Abbildung eine Adjungierte?
Im endlich dimensionalen VR? Ja. (zB die Transponierte im euklidischen)
SEcki
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> 2) Warum ist die Determinante eindeutig?
Hallo,
das wollte man beim Vordiplom auch von mir wissen - zum Glück war ich drauf vorbereitet, denn unvorbereitet hätte ich's nicht gekonnt...
Und ich kann's auch heute nicht aus dem Stand, habe aber die vergilbenden Zettel mit meinen Prüfungsvorbereitungen gefunden:
Es sei f: [mm] V\to [/mm] V ein Endomorphismus. (Der, von dem wir später sagen wollen, was seine Determinante ist.), dim V=n.
und [mm] f^n:V^n\to V^n [/mm] def. durch
f( [mm] v_1,...,v_n):=(f(v_1),..., f(v_n)).
[/mm]
Es gilt: für jeden Endomorphismus f gibt es ein eindeutig bestimmtes [mm] a_f [/mm] so, daß für jede Determinantenform [mm] \Delta [/mm] gilt:
[mm] \Delta \circ f=a_f\Delta. [/mm] (Dieses [mm] a_f [/mm] nennen wir dann später Determinante von f)
Bew.:
1. Existenz:
Der Raum der Determinantenformen hat die Dimension 1, wird also aufgespannt v. einer Determinantenform [mm] \Delta_0.
[/mm]
Es ist [mm] \Delta_0 \circ [/mm] f auch eine Determinatenform, also im raum der Determinantenformen. Damit gibt es ein [mm] a_f [/mm] mit [mm] \Delta_0 \circ f=a_f\Delta_0.
[/mm]
2. Eindeutigkeit: jede Determinantenform ist eindeutig bestimmt durch ihren Wert auf einer Basis [mm] (v_1, ...,v_n) [/mm] von V.
Also ist [mm] a_f [/mm] eindeutig.
Das Vorhergehende sichert, daß die Determinantenabbildung
det: [mm] End(V)\to [/mm] K
det(f):= [mm] a_f [/mm]
wohldefiniert ist.
> 1) Was bedeuten die Eigenwerte für die Determinante einer
> Matrix?
Viel anderes als SEcki fällt mir auch nicht ein. Seltsame Frage irgendwie.
Ich würde antworten: wenn das charakteristische Polynom einer Matrix zerfällt, ist die Determinante wie v. SEcki bereits gesagt, daß Produkt der Eigenwerte (jeweils mit der entsprechenden Vielfachheit), denn im Falle des zerfallenden charakteristischen Polynoms kann man die Matrix auf JNF bringen, und deren Det. ist das entsprechende Produkt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 02.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Und ich kann's auch heute nicht aus dem Stand, habe aber
> die vergilbenden Zettel mit meinen Prüfungsvorbereitungen
> gefunden:
Dann werde ich ein bißchen ausholen, damit du siehst, dass man das aus dem Stand kann, da kaum etwas gemacht wird.
Als erstes möchte ich für ein [m]f:V\to W[/m] auf die duale Abbildung hinweisen, nämlich: [m]f^\*:W^\* \to V^\*[/m]. Dies ist wieder eine lineare Abbildung. Sie bildet man durch einsetzen, also [m](f^\*(w))(v)=w(f(v))[/m]. Das soltle hinlänglich bekannt sein. Nun kann man, wenn man eine Basis in V und W festnagelt diese eindeutig durch eine Matrix bestimmen.
Anstelle des Dualraums betrachten wir jetzt einen ähnichen Raum - den Raum der schiefsymmetrsichen n-Multilinearformen auf V, W, also [m]\Lambda^n V, \Lambda^n W[/m]. Hier kann man genauso zurückziehen mittels eines f - und hat wieder eine Matrix, die die Abbildung beschreibt.
Jetzt sei V gleich W und hat die Dimension n. Jetzt ist dieser Raum 1-dimensional - also ist unsere Matrix von f eine 1x1 Matrix bei festgelegter Basis auf V. Und eben dieser Wert ist dann deine Determinante. Allerdings bleibt zu zeigen, daß der Raum 1-dim ist!
> Der Raum der Determinantenformen hat die Dimension 1, wird
> also aufgespannt v. einer Determinantenform [mm]\Delta_0.[/mm]
Das ist beweisbedürftig! (Aber zB mit Leibnitzformel wie aus meinem Posting machbar.)
SEcki
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