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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Lineare Algebra
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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:03 Di 11.10.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Bestimmen Sie t, s ∈ N derart, dass ~a ⊥ ~
b und
~
b die angegebene Länge hat.

Guten Abend !
Ich habe diese Aufgabe berechnet, habe aber den Eindruck dass hier etwas nicht stimmt.

Das sind die Vektoren die uns gegeben wurden
[mm] \vec{a} =\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ t \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{a} =\begin{pmatrix} s \\ 4 \\ t+1 \end{pmatrix} [/mm]
| [mm] \vec{b} [/mm]  | = 6

Das sind meine Schritte die ich gemacht habe :


Zuerst  habe ich das Skalarproduckt berechnet
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s \\ 4 \\ t+1 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \left(0\cdot s\right) +\left(-3\cdot 4\right) +\left(t\cdot (t+1)\right) [/mm]
[mm] \left(-12\right) +\left(t^2+t\right) [/mm]

Daraus entstand dann die Funktion
[mm] t^2+t-12 [/mm] = 0

Dannt habe ich die Funktion mit der pq Formel nach x aufgelöst
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+12 } [/mm]

Und habe das erhalten :
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -1/2+\sqrt{12,25} [/mm] = 3
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -1/2-\sqrt{12,25} [/mm] = -5



Es muss doch 6 raus kommen. Ich bekomme leider nur 3 und -5


Habe ich was falsch gemacht ? ?
Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist ?

Vielen Dank im Vorraus !!

        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:29 Di 11.10.2016
Autor: tobit09

Hallo Jura86,


> Bestimmen Sie t, s ∈ N derart, dass ~a ⊥ ~
>  b und
>  ~
>  b die angegebene Länge hat.


> Das sind die Vektoren die uns gegeben wurden
>  [mm]\vec{a} =\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]\vec{a} =\begin{pmatrix} s \\ 4 \\ t+1 \end{pmatrix}[/mm]

Ich nehme mal an, dass der zweite Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] anstelle von [mm] $\vec{a}$ [/mm] sein soll.


>  |
> [mm]\vec{b}[/mm]  | = 6

  

> Das sind meine Schritte die ich gemacht habe :
>  
>
> Zuerst  habe ich das Skalarproduckt berechnet
>  [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s \\ 4 \\ t+1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\left(0\cdot s\right) +\left(-3\cdot 4\right) +\left(t\cdot (t+1)\right)[/mm]
> [mm]\left(-12\right) +\left(t^2+t\right)[/mm]

[ok]


> Daraus entstand dann die Funktion
>  [mm]t^2+t-12[/mm] = 0

(Das ist eine Gleichung, keine Funktion.)

Was besagt diese Gleichung?
Auf der linken Seite steht [mm] $\vec{a}*\vec{b}$, [/mm] also besagt diese Gleichung, dass [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] zueinander senkrecht sind.
Genauer: Die Gleichung ist genau für die t (und s) wahr, für die [mm] $\vec{a}\perp\vec{b}$ [/mm] gilt.


> Dannt habe ich die Funktion

(Gleichung!)

> mit der pq Formel nach x
> aufgelöst
>  [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+12 }[/mm]
>  
> Und habe das erhalten :
>  [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-1/2+\sqrt{12,25}[/mm] = 3
>  [mm]x_{2}[/mm] = [mm]-1/2-\sqrt{12,25}[/mm] = -5

[ok]

EDIT: Hier habe ich mich vertan. Die zweite Lösung der Gleichung lautet -4, nicht -5.

Das heißt also: Obige Gleichung ist genau für $t=-4$ und $t=3$ erfüllt.
Das wiederum heißt: Die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] stehen senkrecht zueinander genau dann, wenn $t=-4$ oder $t=3$ ist.

Da wir nur natürliche Zahlen [mm] $t,s\in\IN$ [/mm] suchen, können wir die Lösung $t=-4$ getrost wieder vergessen.


> Es muss doch 6 raus kommen.

Nein, die Länge von $b$ haben wir ja noch gar nicht ins Spiel gebracht...

Wir haben bisher herausgefunden: Wenn es überhaupt natürliche Zahlen [mm] $t,s\in\IN$ [/mm] mit den gewünschten Eigenschaften gibt, muss $t=3$ gelten.
(Und umgekehrt ist für $t=3$ unabhängig von der Wahl von s die Bedingung [mm] $\vec{a}\perp\vec{b}$ [/mm] erfüllt.)

Nun gilt es herauszufinden, unter welchen Umständen $t=3$ und [mm] $s\in\IN$ [/mm] der Bedingung [mm] $|\vec{b}|=6$ [/mm] genügen.

Wie lautet denn [mm] $|\vec{b}|$ [/mm] ausgeschrieben?
Damit kannst du die Gleichung [mm] $|\vec{b}|=6$ [/mm] ausdrücken...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Di 11.10.2016
Autor: Jura86

wenn man b umschreibt sieht es doch so [mm] aus..\sqrt{a^2+b^2+c^2} [/mm] von den Vektorproduckt muss dann doch 6 sein oder ?

Bezug
                        
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Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:52 Mi 12.10.2016
Autor: Jura86

Das Formelsysthem zeigt irgendwie nichts mehr an..

weißt du denn was ich meine ?

Bezug
                        
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Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:08 Mi 12.10.2016
Autor: angela.h.b.


> wenn man b umschreibt sieht es doch so
> aus..

Hallo,

aufgrund der bisherigen Erkenntnisse ist $ [mm] \vec{b} =\begin{pmatrix} s \\ 4 \\ 3+1 \end{pmatrix} $=\begin{pmatrix} s \\ 4 \\4\end{pmatrix} [/mm]


[mm] >\sqrt{a^2+b^2+c^2} [/mm] von den Vektorproduckt muss dann

> doch 6 sein oder ?

Der Betrag muß 6 sein.
Und: ja, da [mm] |\vec{b}|=\wurzel{\vec{b}*\vec{b}}, [/mm]
muß
die Wurzel aus dem Skalarprodukt von [mm] \vec{b} [/mm] mit sich selbst 6 ergeben.

LG Angela




Bezug
                                
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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Mi 19.10.2016
Autor: Jura86

Es war zwar sehr verständlich was Angela gesagt hat, wenn ich jetzt das ausführe bekomme ich folgendes raus..

[mm] \vektor{s \\ 4\\ 4} [/mm] * [mm] \vektor{s \\ 4\\ 4} [/mm]
= (s*s)+(4*4)+(4*4) = [mm] s^2+16+16 [/mm] = [mm] s^2 [/mm] +32
dann:
[mm] \sqrt{s^2 + 32} [/mm] = 6
= [mm] s^2 [/mm] +32 = 36 | -32
=  [mm] s^2 [/mm] = 4
= s = 2


Als Antwort kann ich sagen :
t = 4 und s = 2
ist das richtig so ?

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 19.10.2016
Autor: fred97


> Es war zwar sehr verständlich was Angela gesagt hat, wenn
> ich jetzt das ausführe bekomme ich folgendes raus..
>  
> [mm]\vektor{s \\ 4\\ 4}[/mm] * [mm]\vektor{s \\ 4\\ 4}[/mm]
>  =
> (s*s)+(4*4)+(4*4) = [mm]s^2+16+16[/mm] = [mm]s^2[/mm] +32
>  dann:
> [mm]\sqrt{s^2 + 32}[/mm] = 6
>  = [mm]s^2[/mm] +32 = 36 | -32
>  =  [mm]s^2[/mm] = 4
>  = s = 2
>  
>
> Als Antwort kann ich sagen :
> t = 4 und s = 2
> ist das richtig so ?

Ja




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Lineare Algebra: kleine Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 Mi 12.10.2016
Autor: Loddar

Hallo Jura!


Auch wenn es am Ende nichts am Ergebnis ändert ... der Vollständigkeit halber sei dennoch diese Korrektur erwähnt.

Für [mm] $t_2$ [/mm] gilt:

[mm] $t_2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}-\wurzel{\left(\bruch{1}{2}\right)^2-(-12)} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+12} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}-\bruch{7}{2} [/mm] \ = \ [mm] -\red{4} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ -5$


Gruß
Loddar

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Bezug
Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:06 Do 13.10.2016
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Da habe ich mich in der Tat vertan, tut mir leid. Danke an Loddar für die Korrektur!


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
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Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Do 13.10.2016
Autor: Jura86

Hallo,

mir wird die Darstellung der Formeln auf einmal nicht eingezeigt. Anstatt der Formeln wird mir der Text angezeigt. ( HTML Text )
Könnt ihr mir sagen warum ?
Was muss ich machen damit ich die Formeln wieder normal sehen kann.?

Bezug
                        
Bezug
Lineare Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Do 13.10.2016
Autor: ChopSuey

Hallo Jura,

> Hallo,
>  
> mir wird die Darstellung der Formeln auf einmal nicht
> eingezeigt. Anstatt der Formeln wird mir der Text
> angezeigt. ( HTML Text )
>  Könnt ihr mir sagen warum ?
>  Was muss ich machen damit ich die Formeln wieder normal
> sehen kann.?

Das liegt nicht an dir. Im Moment scheint es ein Problem mit dem LaTeX-Formeleditor zu geben. Wir hoffen, dass das in Kürze wieder funktioniert.

LG,
CS


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