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| Aufgabe | Geben Sie an, ob es eine Lineare Abbildung f: [mm] \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] mit den geforderten Eigenschaften gibt.
[mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 3}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] , [mm] f(\vektor{3 \\ 2 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und [mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] |
Hallo zusammen,
komme mit dieser Aufgabe nicht klar.
die zu erfüllenden Eigenschaften einer Linearen Abbildung sind mir klar, aber wie ich jetzt hier im einzelnen vorgehen muss um dies zu überprüfen, ist mir vollkommen unklar.
Hoffe jemand kann mir helfen!
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 17.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
für lineare Abbildungen gelten die beiden folgenden Gesetze
f(a+b)=f(a)+f(b) und
[mm] f(\lambda a)=\lambda{f(a)}
[/mm]
für die Vektoren
[mm] a=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und [mm] b=\vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] kennen wir die Bilder.
Also gilt [mm] f(a+b)=f(\vektor{4 \\ 4 \\ 4})=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{4 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
Andererseits gilt
[mm] f(/\vektor{1 \\ 1 \\ 1})=\vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] also gilt mit [mm] \lambda=4 [/mm] auch
[mm] f(\vektor{4 \\ 4 \\ 4})=\vektor{8 \\ 8 \\ 8} [/mm] und das ist ein Wiederspruch, also ist f nicht linear.
mfg ullim
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Danke habe ich verstanden, habe jetzt auch schon einige dieser Aufgaben schnell lösen könen, nur bei dieser hier komme ich auf keinen grünen zweig:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ -8} [/mm] , [mm] f(\vektor{2 \\ 0 \\ 2}) [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 3} [/mm] und [mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 11} [/mm]
Kannst du mir nochmal helfen??
Lieve Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 17.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn ich das jetzt richtig sehe, sind die drei Vektoren, die in f reingesteckt werden linear unabhängig. (bilden also eine Basis)
Und weil eine lineare Abbildung eindeutig über die Bilder einer Basis bestimmt ist, kann man einfach diejenige Abbildung wählen, die genau die angegebenen Bilder haben...
(Kannst du eine passende Darstellungsmatrix dazu angeben?!?)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
vielen Dank für deine Antwort.
Hab dabei nur ein Problem: Ich kann ihr nicht ganz folgen
also dass die vektoren die ich in f reinstecke linear unahängig sind und eine basis bilden, habe ich überprüft!
Aber inwiefern ich jetzt vorgehen muss um zu prüfen ob es eine lineare Abblidung f: [mm] \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] mit diesen Eigenschaften gibt, hab ich noch nicht verstanden!
Hoffe du kannst mir nochmal helfen??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 So 17.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
stell einfach die Abb. als Matrix dar, oder zeig, dass man das kann und du bist fertig.
Gruss leduart
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Hallo,
dabke für deine antwort, aber ich verstehe nicht, wie ich das anstellen soll???
Kannst du es mir bitte zeigen?
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 18.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du das Bild der kanonischen Basis kennst, und das kannst du leicht aus den Bildern dieser Basis darstellen, dann sind das Die Spaltenvektoren der Matrix.
Gruss leduart
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Die vektoren der kanonischen Basis im [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IQ^3 [/mm] kenn ich, aber bekomm nicht auf die Kette, was du mir damit sagen willst?
Bilder der kanonischen Basis??Martix???...etc.
wäre super nett wenn du mir das zeigen würdest!!
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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hallo leute,
hänge immernoch an dieser verflixten Aufgabe und komme einfach keinen Schritt weiter.
Kann mir denn niemand helfen??Bin am Verzweifeln...:-(
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ne Matrix ist weisst du doch? nimm ne beliebige 3x3 matrix und wend sie auf den ersten, dann den 2. dann den dritten Basisvektor (1,0,0) usw. an.
sih dir die 1. Spalte der marix an, und das Bild des 1. Einheitsvektors! Wenn dirs zu lange dauert, machs 2d statt 3d das Prinzip ist dasselbe.
Gruss leduart
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Versthe nicht was du meinst (über prosa).
ich soll jetzt was tun??
meinst du das hier?:
ich soll mir jetzt die matrix aus den Vektoren aufstellen, die ich in f reingesteckt habe und diese dann nach den gausalgorithmus auf die einheitsmatrix bringen?? Was hae ich davon
Tut mir leid, bin wirklich froh über deine Hilfe, verstehe sie nur leider nicht(vielleicht bin ich zu dämlich?)
Wäre nett wenn dus nochmal probieren könntest!!
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal ganz langsam:
Kannst du das Bild von (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1) finden, indem du Linearkomb. der Bilder der gegebenen Vektoren findest?
Wenn du das kannst, nimmst du diese 3 Bilder und shreibst sie als Spalten einer Matrix A. Diese Matrix angewendet auf die Vektoren ist dann die gesuchte lineare Abbildung.
Mein letzter post sollte dir zeigen, dass wenn du z. Bsp
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] nimmst und [mm] A*\vektor{1 \\ 0} [/mm] bildest, bekommst du [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] also die erste Spalte,
[mm] A±\vektor{0 \\ 1}=\vektor{2 \\ 4} [/mm] also die 2. Spalte.
Eine Matrix bildet also die Basisvektoren auf ihre Spalten ab, umgekehrt, wenn du die Bilder der Basisvektoren kennst, kennst du die matrix!
Gruss leduart
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Danke ich habs glaub ich verstanden!!!
Bin jetzt so vorgegangen, wie du'smir erklärt hast und komme zu dem Schluss, dass die Aussage falsch ist, sprich, dass es KEINE lineare Abbildung [mm] \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] gibt mir den EIgenschaften:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\-8}, f(\vektor{2 \\ 0 \\ 2}) [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 3} [/mm] und [mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 11}
[/mm]
Kann mir das jemand bestätigen??oder lieg ich falsch??
viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zeig doch mal, wie du da drauf gekommen bist?
Einfach auf Vermutungen selbst losrechnen hab ich keine Lust! das ist doch deine Aufgabe.
Gruss leduart
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Hallo..ich hab die selbe aufgabe..und knacke gerade daran..allerdings ist es bei mir nicht f(....) sondern [mm] f^{t}(....)..ist [/mm] das ein unterschied? welcher?
viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 20.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist [mm] f^t [/mm] nicht einfach der Zeilen statt Spaltenvektor, und das wegen der bequemeren Schreibweise in Aufgaben?
dann ist es dasselbe.
Gruss leduart
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Hallo,
also wenn wir die vektoren f [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ -8},
[/mm]
f [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 3}, f\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 11}
[/mm]
haben, können wir dann die Bilder als Matrix darstellen [mm] \pmat{ -3 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 6 \\ -8 & 3 & 11 } [/mm] und dann den Rang berechen um die Basen herauszufinden?! Oder wie muss man dann mit dieser Matrix weiterrechnen.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen?!
lg mathe_aeffchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 20.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo m.ae.
Nein, du musst die Bilder der Standardbasis kennen. sonst ists schwieriger. aber du kannst die Standardbasis als Linearkomb. deiner 3 Vektoren schreiben, dann sind die Bilder dieselbe Linearkomb. der Bilder.
z.Bsp ist x1+0.5x2=e1 x1,x2 deine 2 ersten Vektoren, e1 der erste Standardbasisv.
dann ist f(e1)=f(x1)+0,5*f(x2) usw. das ist dann die erste Spalte deiner matrix
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Do 21.12.2006 | | Autor: | SpoOny |
Auf die Aufgabe bezogen bedeutet das also:
f [mm] \vektor{-3 \\ 5 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 8} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 11}
[/mm]
und dieses f(e1) ist unsere erste Spalte der Matrix?
aber wie bekomme ich denn die anderen 2 Spalten?
Gruß
SpoOny
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Hallo zusammen,
danke leduart, für die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt das Gleiche gemacht wie spoOny. Aber kommme dann auch nicht weiter.
Kannst du mir noch einmal weiterhelfen?!!!!
Wäre super lieb!
Dankeschön!
lg mathe_aeffchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 21.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich schreib die Vektoren waagerecht, sollen Spalten sein.
Eure 3 Vektoren waren doch x1=(1,0,1) x2=(2,0,-2)
und e1=(1,0,0) x1+0,5*x2=e1
Korrektur :0,5*x1+0,25*x2=e1
damit 0,5*f(x1)+0.25*f(x2)=(-2,0.25,3.25)
f(x1)+0,5*f(x2)=(-3,2,-8)+(-1,-1.5 ,1.5)=(-4,0.5, 6.5)
das wäre die erste Spalte. Nein, das doppelte der 1. Sp.
für die 2 nächsten Spalten müsst ihr e2=(0,1,0) aus x1,x2,x3 darstellen und es genauso machen, dann e3=(0,0,1) für die 3. Spalte.
Zur Probe könnt ihr die matrix mit x1 oder x2 oder x3 multiplizieren und es muss f(x1) usw rauskommen!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:15 Do 21.12.2006 | | Autor: | SpoOny |
Vielen Dank habs verstanden (denke ich...)
Hab jetzt folgende Matrix
[mm] \pmat{ -4 & 3 & 4 \\ 0,5 & 7,5 & -7 \\ 6,5 & 9,5 & 19 }
[/mm]
die Probe geht aber nicht auf!
Bedeutet das jetzt es gibt kein [mm] \IQ3 \to \IQ3
[/mm]
in der Form, dass die Abbildung linear ist???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 21.12.2006 | | Autor: | SpoOny |
Ich hab hier noch eine ähnliche Frage:
Gibt es eine lineare Abbildung [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] für die gilt:
f [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] ; f [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] ; f [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 9} [/mm]
Ich würde folgendes machen:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
1 Spalte ist dann: [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 8}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = ... Rechnung und dann hab ich die erste matrix
und mach ne Probe
und dass gleiche mit [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 0}
[/mm]
mit [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 0}
[/mm]
ist mein Ansatz richtig oder liege ich komplett falsch??
Gruß, SpOony
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 21.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
=1,5*(1,1)+> Ich hab hier noch eine ähnliche Frage:
> Gibt es eine lineare Abbildung [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] für
> die gilt:
> f [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm] ; f [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ 5}[/mm] ; f [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 9}[/mm]
>
> Ich würde folgendes machen:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
das ist falsch! das ergibt (2,0)!
> 1 Spalte ist dann: [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ 5}[/mm] =
> [mm]\vektor{6 \\ 8}[/mm]
folgefalsch.
aber da die 3 Vektoren, x1=(1,1) x2=(1,-1) und x3=(3,0) nicht lin unabh. sind musst du erst untersuchen ob
f(x3)=f(1.5*x1+1.5*x2)=1.5*f(x1)+1.5*f(x2) ist!
Das scheint mir nicht der Fall! also ist es keine lin. abb.!
Dann kannst du sie auch nicht suchen.
Nochmal, wären NUR die ersten 2 und ihre Bilder gegeben, könntest du so die lin Abb. bestimmen. Wenn du keine Rechenfehler wie oben machst.
Gruss leduart
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = ... Rechnung und dann
> hab ich die erste matrix
> und mach ne Probe
> und dass gleiche mit [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
>
> mit [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
>
> ist mein Ansatz richtig oder liege ich komplett falsch??
>
> Gruß, SpOony
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Fr 22.12.2006 | | Autor: | SpoOny |
Danke für deine Antworten... sie wirft allerdings eine Frage auf
dein Beispiel von gestern:
"ich schreib die Vektoren waagerecht, sollen Spalten sein.
Eure 3 Vektoren waren doch x1=(1,0,1) x2=(2,0,-2)
und e1=(1,0,0) x1+0,5*x2=e1 ..."
e1= x1+0,5*x2 = (2,0,0) und nicht (1,0,0)
ist es jetzt falsch zu sagen aus (2,0,0) kann ich ja (1,0,0) mit [mm] \lambda= [/mm] 1/2 machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Fr 22.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, ich hab die 1/2 vergessen, aber ich nehm ja auch an, dass man mein Zeug nicht einfach abschreibt, sondern nachrechnet
> Danke für deine Antworten... sie wirft allerdings eine
> Frage auf
> dein Beispiel von gestern:
>
> "ich schreib die Vektoren waagerecht, sollen Spalten sein.
> Eure 3 Vektoren waren doch x1=(1,0,1) x2=(2,0,-2)
> und e1=(1,0,0) x1+0,5*x2=e1 ..."
>
> e1= x1+0,5*x2 = (2,0,0) und nicht (1,0,0)
>
> ist es jetzt falsch zu sagen aus (2,0,0) kann ich ja
> (1,0,0) mit [mm]\lambda=[/mm] 1/2 machen?
ja, wenn dus richtig meinst, also e1=1/2*(x1+0,5*x2)=1/2x1+1/4x2
Ich werds in meinem früheren post verbessern.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 06.01.2007 | | Autor: | SpoOny |
Ist meine Lösung so richtig?
Ich schreib Matrix in Spalten statt Zeilen:
f (1,1)= (2,3) f (1,-1)=(4,5) f (3,0) = (6,9) sollen in einer linearen Abb. sein.
Man kann (3,0) mit 1,5(1,1) + 1,5(1,-1) schreiben
Für lineare Abbildungen gilt (Skript)
f(ax) = a f(x) und f(x) + f(y) = f(x+y) x,y e V wenn f : V -> W und a ist eine Konstante
also müsste jetzt f (1,5(1,1) + 1,5(1,-1)) = (6,9) = 1,5 f (1,1) + 1,5 f(1,-1) = 1,5(2,3) + 1,5(4,5)
man kommt auf (6,9) = (6,9) = (9,12) (also keine lineare Abb.)
sorry hab ich jeztz aus word schnell reinkopiert. Danke schonmal
Gruß
SpoOny
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Hallo,
ja du hast recht und auch richtig gerechnet, meines erachtens.
Viele Grüße
mathedepp_No.1
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