Lineare Abhängigkeit? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 19.12.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Bestimme alle Vektoren [mm]\vec{y}\in\IR^3[/mm] mit den folgenden drei Eigenschaften
(welche zusammen gelten sollen):
(1) [mm]\vec{y},\vec{a},\vec{b}[/mm] sind linear abhängig;
(2) die Ebene [mm]\vec{x}\cdot\vec{n}=\vec{a}\cdot\vec{n}[/mm] enthält den Punkt mit dem Ortsvektor [mm]\vec{y}[/mm];
(3) [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] erzeugen ein Parallelogramm mit Inhalt 6. |
Hallo zusammen, ich habe erstmal eine Frage:
Wieso ist wegen (3) [mm](1) \vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}[/mm]. Mir ist nur klar das [mm] $|\vec{a}\times\vec{y}|=6$ [/mm] ist. Damit kann doch aber (1) [mm] $\vec{b}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{y}$ [/mm] sein oder nicht? Wo ist mein Gedankenfehler?
Nachtrag: Oder ist beides zugelassen? Sinvoll hier wäre nur der erste Fall, weil [mm] \vec{y}\in\IR^3 [/mm] gesucht ist?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mi 19.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimme alle Vektoren [mm]\vec{y}\in\IR^3[/mm] mit den folgenden
> drei Eigenschaften
> (welche zusammen gelten sollen):
>
> (1) [mm]\vec{y},\vec{a},\vec{b}[/mm] sind linear abhängig;
> (2) die Ebene [mm]\vec{x}\cdot\vec{n}=\vec{a}\cdot\vec{n}[/mm]
> enthält den Punkt mit dem Ortsvektor [mm]\vec{y}[/mm];
> (3) [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] erzeugen ein Parallelogramm mit
> Inhalt 6.
>
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> Hallo zusammen, ich habe erstmal eine Frage:
>
> Wieso ist wegen (3) [mm](1) \vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}[/mm].
> Mir ist nur klar das [mm]|\vec{a}\times\vec{y}|=6[/mm] ist. Damit
> kann doch aber (1) [mm]\vec{b}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{y}[/mm] sein
> oder nicht? Wo ist mein Gedankenfehler?
>
> Nachtrag: Oder ist beides zugelassen? Sinvoll hier wäre
> nur der erste Fall, weil [mm]\vec{y}\in\IR^3[/mm] gesucht ist?
aus dem einen folgt doch das andere. und man braucht 1 und 3 dafür
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 19.12.2012 | | Autor: | lzaman |
Sorry, dass ich nochmal nachhake. Aber was folgt aus was? Bin jetzt bissle verunsichert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 19.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
forderung 1 und 3 zusammen ergeben [mm] y=\lambda*a+\mu*b, [/mm] aber genauso natürlich b=r*a+s*y
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mi 19.12.2012 | | Autor: | lzaman |
Danke, das hilft mir sehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Sa 05.01.2013 | | Autor: | lzaman |
Hallo, leider habe ich schon wieder beim Nacharbeiten heute vergessen wieso man die Forderung (3) für die Behauptung [mm]\vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}[/mm] benötigt. Wieso reicht dafür nicht die erste Forderung? Die (1) besagt doch schon, dass die Vektoren linear abhängig sind. Also kann mit (1) [mm] $\vec{y} [/mm] schon als Linearkombination der übrigen Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] geschrieben werden.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:50 Mo 07.01.2013 | | Autor: | lzaman |
Hallo nochmal. Das verfolgt mich jetzt schon den ganzen Tag, wieso man beide Forderungen
(1) [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{y} [/mm] sind linear abhängig.
(3) [mm] |\vec{a}\times\vec{y}|=6 [/mm]
für die Behauptung [mm] \vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} [/mm] braucht? Meines Erachtens nämlich reicht Forderung (1) oder nicht? Bitte bringt mich wieder zurück auf den richtigen Pfad, bevor ich alles durcheinander werfe in der Vektorrechnung. Ich habe mir schon auf etlichen Seiten, in etlichen Skripten und Büchern die Eigenschaften des Kreuzproduktes angeschaut. Dabei fiel mir nur auf dass durch die Forderung (3) das Kreuzprodukt der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] gleich 0 sein muss. Mehr habe ich leider nicht gefunden.
Danke und viele Grüße.
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> Hallo nochmal. Das verfolgt mich jetzt schon den ganzen
> Tag, wieso man beide Forderungen
>
> (1) [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{y}[/mm] sind linear abhängig.
> (3) [mm]|\vec{a}\times\vec{y}|=6[/mm]
>
> für die Behauptung [mm]\vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}[/mm]
Hallo,
für eine Behauptung braucht man überhaupt keine Forderung.
Man kann doch behaupten, was man will.
> braucht? Meines Erachtens nämlich reicht Forderung (1)
> oder nicht?
[mm] $\vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}$ [/mm] folgt auch nicht aus den Voraussetzungen (1) und (3):
(1) alleine böte z.B. die Möglichkeit, daß y und a linear unabhängig sind, und b=5a.
In diesem Falle könnte man y nicht als Linearkombination von a und b schreiben. [mm]\vec{y}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}[/mm]
Aus der (3) erfahre ich, daß y und a tatsächlich linear unabhängig und beide nicht der Nullvektor sind.
Da y,a,b linear abhängig ist, muß man nun b als Linearkombination von a und y schreiben können, also als b=r*y+s*a.
Daß man aber y als Linearkombination von a und b schreiben kann, ist an dieser Stelle immer noch nicht klar. Nach wie vor könnte b ein Vielfaches von a sein, und dann klappt das nicht.
So, ich fürchte, Du bist jetzt verwirrt...
Du sollst offenbar für fest vorgegebene [mm] a,b,n\in \IR^3 [/mm] alle [mm] y\in \IR^3 [/mm] bestimmen, die die drei Bedingungen erfüllen.
Hier sind ja zwei Konstellationen denkbar:
A. a,b sind linear unabhängig
B. a,b sind linear abhängig
Im Fall A.
muß dann, damit y,a,b abhängig ist, tatsächlich y zu schreiben sein als Linearkombination von a und b, und Du hast völlig recht damit, daß man (3) für diese Erkenntnis nicht benötigt.
Aus der (3) lernen wir, daß y nicht der Nullvektor ist, also ist mindestens einer der beiden Linearfaktoren [mm] \not=0.
[/mm]
Fall B.
Dann ist a=s*b
Wegen (3) wissen wir, daß y und a unabhängig sind.
Man kann in diesem Fall y nicht als Linearkombination von a und b schreiben.
LG Angela
Bitte bringt mich wieder zurück auf den
> richtigen Pfad, bevor ich alles durcheinander werfe in der
> Vektorrechnung. Ich habe mir schon auf etlichen Seiten, in
> etlichen Skripten und Büchern die Eigenschaften des
> Kreuzproduktes angeschaut. Dabei fiel mir nur auf dass
> durch die Forderung (3) das Kreuzprodukt der Vektoren
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] gleich 0 sein muss. Mehr habe ich
> leider nicht gefunden.
>
> Danke und viele Grüße.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 07.01.2013 | | Autor: | lzaman |
Hi und danke für die ausführliche Antwort. Hab ich das jetzt alles richtig verstanden?
durch (1) sind a,b,y linear abhängig und durch (3) erfahre ich zusätzlich, dass y keine Nullvektor ist, richtig?
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
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> Hi und danke für die ausführliche Antwort. Hab ich das
> jetzt alles richtig verstanden?
>
> durch (1) sind a,b,y linear abhängig und durch (3) erfahre
> ich zusätzlich, dass y keine Nullvektor ist, richtig?
Ja
FRED
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> Danke schon mal!
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