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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Sa 17.04.2010 | | Autor: | tj92 |
Ich brauche Hilfe beim Lösen folgenden Gleichungssystems, bei dem a Werte erhalten soll, damit bestimmte Vektoren linear abhängig sind.
I 2r+2s= 2t
II -2r+-3s= at -6t
III r-ar=1
Mein Problem ist, dass ich nie weiß, wie ich beim Lösen eines LGS vorgehen soll. Gibt es irgend eine bestimmte
Vorgehensweise?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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> Ich brauche Hilfe beim Lösen folgenden Gleichungssystems,
> bei dem a Werte erhalten soll, damit bestimmte Vektoren
> linear abhängig sind.
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> I 2r+2s= 2t
> II -2r+-3s= at -6t
> III r-ar=1
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> Mein Problem ist, dass ich nie weiß, wie ich beim Lösen
> eines LGS vorgehen soll. Gibt es irgend eine bestimmte
> Vorgehensweise?
Hallo,
es gibt mehrere "bestimmte Vorgehensweisen", und man nimmt am besten die, die man am besten kann.
Dein Gleichungssystem hat eine Besonderheit: es ist ein GS mit einem Parameter (nämlich a) dessen Lösbarkeit Du untersuchen sollst.
Zunächst einmal ist es wichtig, daß Du Dir klarmachst, daß Deine Variablen r,s,t sind.
a behandle in Deinen Rechnungen wie eine Zahl.
Zur Systematik: bei Gleichungen mit 3 Variablen kann man erst eine Gleichung nach einer Variablen auflösen.
Damit ersetzt man nun in den anderen beiden Gleichungen diese Variable. Übrig bleiben zwei Gleichungen, die nur zwei Variablen erhalten.
Nun löst man wieder nach einer auf, ersetzt in der anderen Gleichung und hält die dritte Variable in den Händen. Rückwärts Einsetzen ergibt dann die Zahlenwerte für die beiden anderen Variablen.
Probier's am besten mal an eine normalen Gleichungssystem aus.
Zur aktuellen Aufgabe:
wenn man das von mir geschilderte Verfahren verwendet, ist es hier ziemlich schlau, erstmal in der 3.Gleichung r freizustellen.
III': [mm] r=\bruch{1}{1-a} [/mm]
Doch STOP! Bitterböse Falle: das darf man nur tun, wenn [mm] a\not=1.
[/mm]
Den Fall a=1 untersucht man später.
Sei als [mm] a\not=1.
[/mm]
Nun einsetzen:
r in I = I': [mm] \bruch{2}{1-a} [/mm] +2s=2t <==> [mm] t-s=\bruch{1}{a-1}
[/mm]
r in II=II': [mm] -\bruch{2}{1-a}+-3s= [/mm] at -6t=(a-6)t <==> (6-a)t -3s= [mm] \bruch{2}{1-a}
[/mm]
Nun versuche hier weiterzumachen.
[mm] \vdots
[/mm]
Am Ende mußt Du noch Fall 1, a=1, untersuchen:
> I 2r+2s= 2t
> II -2r+-3s= 1*t -6t
> III r-1*r=1
---
Bei Linearer Unabhängigkeit hat das GS nur die Lösung r=s=t=0, gibt es eine hiervon vreschiedene Lösung, sind die Vektoren linear abhängig.
Gruß v. Angela
P.S.: Lineare GS kann man besonders übersichtlich mit dem Gaußalgorithmus lösen.
Falls dieser in der Schule dran war, solltest Du ihn unbedint wiederholen.
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> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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