Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe eine ganz einfache Frage:
Können mehr als 3 Vektoren voneinander linear unabhängig sein ? Ich habe es mir folgendermaßen überlegt:
seien [mm] \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} [/mm] und [mm] \overrightarrow{w} [/mm] voneinander linear unabhängig. Sie stellen die Vektorbasis im dreidimensionalen Raum dar. Jetzt gibt es für jeden Vektor [mm] \overrightarrow{t} [/mm] Zahlen a,b und c, sodass
[mm] \overrightarrow{t}=a*\overrightarrow{u}+b*\overrightarrow{v}+c*\overrightarrow{w} [/mm] daraus folgt, dass [mm] \overrightarrow{-t}+a*\overrightarrow{u}+b*\overrightarrow{v}+c*\overrightarrow{w}=\overrightarrow{o}
[/mm]
Ergo sind alle vier Vektoren linear unabhängig.
Ist das korrekt oder hab ich mich irgendwo verzettelt, ich meine nämlich aus dem Unterricht mitgenommen zu haben, dass mehr als drei Vektoren mmer in irgendeiner weise voneinander linear abhängig sein müssen.
Liebe Grüße,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
im 3-D sind maximal 3 Vektoren von einander unabhängig, Sie bilden die basen..
4-D sind es 4 aber soweit kann icht nicht denken.... :-(
in 2-D sind es 2 usw. ...
denn du kannst den 4ten Vektor ( in 3-D jetzt) frei wählen, diesen kannst du mit den anderen 3 darstellen (da sie basen sind) => abhängig!
wenn du dich errinerst du kannst jeden Vektor mit den Basis-Vektoren darstellen, nur die Basen selbst sind nicht mit einem anderen vektor darstellbar..
hoffe das Hilft dir ein wenig weiter...
mfg
masa
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> Hi,
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> ich habe eine ganz einfache Frage:
>
> Können mehr als 3 Vektoren voneinander linear unabhängig
> sein ?
Hallo,
so, wie Du sie gestellt hast, müßte man die Frage mit "ja" beantworten.
Ich denke aber, daß Du etwas anderes meinst: Können mehr als 3 Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] voneinander linear unabhängig sein ?
Hier lautet die Antwort: nein.
Der [mm] \IR^3 [/mm] hat die Dimension 3, und hier können höchstens 3 Vektoren linear unabhängig sein.
Ich habe es mir folgendermaßen überlegt:
>
> seien [mm]\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{w}[/mm] voneinander linear unabhängig. Sie
> stellen die Vektorbasis im dreidimensionalen Raum dar.
> Jetzt gibt es für jeden Vektor [mm]\overrightarrow{t}[/mm] Zahlen
> a,b und c, sodass
>
> [mm]\overrightarrow{t}=a*\overrightarrow{u}+b*\overrightarrow{v}+c*\overrightarrow{w}[/mm]
> daraus folgt, dass
> [mm]\overrightarrow{-t}+a*\overrightarrow{u}+b*\overrightarrow{v}+c*\overrightarrow{w}=\overrightarrow{o}[/mm]
>
Bis hierher ist Deine Überlegung richtig.
> Ergo sind alle vier Vektoren linear unabhängig.
Dieser Schluß ist falsch.
Mit
[mm] 1*\overrightarrow{-t}+a*\overrightarrow{u}+b*\overrightarrow{v}+c*\overrightarrow{w}=\overrightarrow{o}
[/mm]
hast Du ja eine nichttriviale (also nicht alle Vorfaktoren =0) Linearkombination von [mm] \overrightarrow{-t},\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} [/mm] vorliegen, welche den Nullvektor ergibt, also sind die vier Vektoren nicht linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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