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Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Do 21.04.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Ich habe ein paar fragen zur linearen Abhängigkeit von Vektoren. Ich beziehe mich dabei immer auf diese []Seite

Auf der Seite steht:

"Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie komplanar, dh in einer Ebene sind und man mit ihnen eine geschlossene Vektorkette bilden kann."

Wenn man mit drei Vektoren eine geschlossene Kette bildet, dann bilden die Vektoren immer eine ebene oder?

Dann steht da noch:

"Insbesondere folgt daraus bereits, dass drei Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] immer linear abhängig sind, da sie sich alle in einer Ebene befinden."

Demnach müssen 4 Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] auch immer linear abhängig sein richtig? aber im folgenden Bild sind die Vektoren nicht linear abhängig weil sie keine geschlossene Kette bilden

[Dateianhang nicht öffentlich]

Egal wie man die Vektoren a, b, c und d verschiebt oder vergrößert/verkleinert, sie bilden keine geschlossene kette.

3 Vektoren bilden in einer Ebene eine geschlossene Kette und 4 Vektoren bilden im Raum eine geschlossene Kette, richtig?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Do 21.04.2016
Autor: fred97


> Ich habe ein paar fragen zur linearen Abhängigkeit von
> Vektoren. Ich beziehe mich dabei immer auf diese
> []Seite
>  
> Auf der Seite steht:
>  
> "Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie komplanar,
> dh in einer Ebene sind und man mit ihnen eine geschlossene
> Vektorkette bilden kann."
>  
> Wenn man mit drei Vektoren eine geschlossene Kette bildet,
> dann bilden die Vektoren immer eine ebene oder?

Sie liegen in einer Ebene !


>  
> Dann steht da noch:
>  
> "Insbesondere folgt daraus bereits, dass drei Vektoren im
> [mm]\IR^2[/mm] immer linear abhängig sind, da sie sich alle in
> einer Ebene befinden."
>  
> Demnach müssen 4 Vektoren im [mm]\IR^3[/mm] auch immer linear
> abhängig sein richtig?


Ja

> aber im folgenden Bild sind die
> Vektoren nicht linear abhängig weil sie keine geschlossene
> Kette bilden
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Egal wie man die Vektoren a, b, c und d verschiebt oder
> vergrößert/verkleinert, sie bilden keine geschlossene
> kette.

Da irrst Du !


>
> 3 Vektoren bilden in einer Ebene eine geschlossene Kette
> und 4 Vektoren bilden im Raum eine geschlossene Kette,
> richtig?


Ja

FRED

Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Do 21.04.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

> Da irrst Du !

kannst du das erklären?

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Do 21.04.2016
Autor: weduwe

wenn ich die Grafik richtig verstehe  :-)

[mm] \lambda\cdot\vec{a}+0\cdot\vec{b}+0\cdot\vec{c}+\mu\cdot\vec{d}=\vec{o} [/mm]

Bezug
        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Fr 22.04.2016
Autor: Rebellismus

Ich habe mir eine kleine Zusammenfassung für die Lineare Abhängigkeit von Vektoren geschrieben.

Kann jemand bitte meine Zusammenfassung lesen und auf Fehler untersuchen? verbesserungsvorschläge sind auch erwünscht.

[a]Meine Zusammenfassung

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Fr 22.04.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Folgendes musst du überarbeiten

Die Vektoren [mm] \vec{v_{1}},\ldots,\vec{v_{n}} [/mm] sind linear unabhängig, wenn die Gleichung [mm] \lambda_{1}\cdot\vec{v_{1}}+\ldots+\lambda_{n}\cdot\vec{v_{n}}=\vec{0} [/mm] nur die sogenannte triviale Lösung [mm] \lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n}=0 [/mm] hat. Diese Lösung gibt es immer.
Gibt es aber noch eine weitere Lösung, in der mindestens ein [mm] \lambda_{i}\ne0 [/mm] ist, so sind die Vektoren linear abhängig.

Insbesondere dein Satz "Eine Lösung gibt es nur dann, wenn es gilt [mm] \lambda_{i}=0 [/mm] für alle i" stimmt so nicht, dennn diese Lösung wirst du immer finden.

Auf der zweiten Seite hast du bei drei Vektoren aber mehrmals [mm] \lamda_{2} [/mm] bzw [mm] \vec{u_{2}} [/mm] aber niemals den Index 3, das musst du ändern.

Außerdem spannen n Vektoren nur dann einen "Raum" [mm] \IR^{n-1} [/mm] auf, wenn innerhalb der n Vektoren keine paarweise parallelen Vektoren vorhanden sind.

Beispiel:
Die Vektoren [mm] \vektor{-1\\0\\4}, \vektor{2\\1\\1} [/mm] sowie [mm] \vektor{2\\0\\-8} [/mm] sind keine Basis des [mm] \IR^{3}, [/mm] spannen diesen also nicht auf, denn [mm] \vektor{-1\\0\\4}\parallel\vektor{2\\0\\-8} [/mm]

Marius

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