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Lineare Abhängigkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Mo 19.01.2015
Autor: canyakan95

Aufgabe
1. Zeigen Sie: die Menge M =df {(0, 4, 1, 0)t
,(1, 2, 4, −1)t
,(2, 2, 1, −2)t
,(3, 0, 4, −3)t} ist eine
linear abhängige Menge von Vektoren des Vektorraums [mm] R^4. [/mm]

hey
habe als lösungsweg folgendes:
habe mir ein lgs aufgestellt die vektoren nach der reihe a,b,c,d genannt.
danach habe ich d = [mm] \lambda [/mm] gesetzt.
I) b+2c= [mm] 3\lambda [/mm]
II) [mm] 4a+2b+2c=0\lambda [/mm]
III) [mm] a+4b+c=4\lambda [/mm]
IV) [mm] -b-2c=-3\lambda [/mm]

nachdem ich die erste gleichung umgeformt und in IV) eingesetzt habe, habe ich folgendes rausbekommen: [mm] 3\lambda= 3\lambda [/mm] ..
reicht das aus um zu sagen, dass die menge linear abhängig ist?
mfg


        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Di 20.01.2015
Autor: angela.h.b.


> 1. Zeigen Sie: die Menge M =df {(0, 4, 1, 0)t
>  ,(1, 2, 4, −1)t
>  ,(2, 2, 1, −2)t
>  ,(3, 0, 4, −3)t} ist eine
>  linear abhängige Menge von Vektoren des Vektorraums [mm]R^4.[/mm]

Hallo,

könntest Du bitte Deine Posts mit etwas mehr Sorgfalt abfassen?
Indizes, Exponenten, Spaltenvektoren - fast alles ist möglich hier.

>  hey
> habe als lösungsweg folgendes:
> habe mir ein lgs aufgestellt
>  die vektoren nach der reihe
> a,b,c,d genannt.

Nein, das hast Du nicht getan.
Du hast die Faktoren vor den Vektoren so genannt.

Um auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, ist festzustellen,

ob das LGS

[mm] a\vektor{0\\4\\1\\0}+ ...+...+...=\vektor{0\\0\\0\\0} [/mm]

nur die Lösung a=b=c=d=0 hat.
Hat es nur diese Lösung, sind die Vektoren linear unabhängig,
gibt es noch eine andere Lösung, sind sie linear abhängig.

Du darfst natürlich auch d umtaufen in [mm] \lambda [/mm] - ich weiß nur nicht, wofür das nützlich ist...



>  danach habe ich d = [mm]\lambda[/mm] gesetzt.
>  I) b+2c= [mm]3\lambda[/mm]
>  II) [mm]4a+2b+2c=0\lambda[/mm]
>  III) [mm]a+4b+c=4\lambda[/mm]
>  IV) [mm]-b-2c=-3\lambda[/mm]
>  
> nachdem ich die erste gleichung umgeformt und in IV)
> eingesetzt habe, habe ich folgendes rausbekommen: [mm]3\lambda= 3\lambda[/mm]
> ..
>  reicht das aus um zu sagen, dass die menge linear
> abhängig ist?

Mit der richtigen Argumentation: ja.
Wenn Du das LGS im Matrixschema bearbeitest, siehst Du an dieser Stelle, daß der Rang kleiner als 4 ist, es also mehr als eine Lösung gibt.
Aber gib' doch mal von 0 verschiedene Koeffizienten an, die das LGS lösen - das wird Deine Chefs dann auf jeden Fall überzeugen.

LG Angela


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