Lineare Abbildungen bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 11.01.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Es gibt genau vier lineare Abbildungen [mm] f:F_2^3 \rightarrow F_2^2 [/mm] mit
f(1,1,0)=(1,1), f(1,0,1)=(1,0), f(0,1,1)=(0,1).
Bestimmen Sie f1,f2,f3 und f4.
b) Es gibt keine lineare Abbildung [mm] g:F_2^4 \rightarrow F_2^4 [/mm] mit
g(1,0,1,0)=(1,1,1,0), g(0,1,0,1)=(0,1,0,1)
g(1,1,0,0)=(1,1,0,0), g(0,0,1,1)=(0,0,1,1). |
Hi.
Also mir fehlt irgendwie bei dieser Aufgabe schon der Ansatz.
Würde es bei Aufgabe a) reichen die f zu "erraten"?
Es fällt ja schonmal auf, dass gilt:
f(x1,x2,x3)->(x1,x2)
oder es könnte noch sein
f(x1,x2,x3)->(x1,x1+x3).
Aber bestimmt kann man das ganze doch auch ausrechnen.
Bei b) muss ich doch bestimmt nur beweisen, dass die beiden Regeln f(x+y)=f(x)+f(y) und/oder f(a*x)=a*f(x) NICHT gelten, oder?
Aber auch hier weiß ich nicht so wirklich wie ich das anstellen soll.
Danke schonmal für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Sabrina
P.S:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie:
> a) Es gibt genau vier lineare Abbildungen [mm]f:F_2^3 \rightarrow F_2^2[/mm]
> mit
> f(1,1,0)=(1,1), f(1,0,1)=(1,0), f(0,1,1)=(0,1).
> Bestimmen Sie f1,f2,f3 und f4.
>
> b) Es gibt keine lineare Abbildung [mm]g:F_2^4 \rightarrow F_2^4[/mm]
> mit
> g(1,0,1,0)=(1,1,1,0), g(0,1,0,1)=(0,1,0,1)
> g(1,1,0,0)=(1,1,0,0), g(0,0,1,1)=(0,0,1,1).
> Hi.
> Also mir fehlt irgendwie bei dieser Aufgabe schon der
> Ansatz.
> Würde es bei Aufgabe a) reichen die f zu "erraten"?
> Es fällt ja schonmal auf, dass gilt:
> f(x1,x2,x3)->(x1,x2)
> oder es könnte noch sein
> f(x1,x2,x3)->(x1,x1+x3).
> Aber bestimmt kann man das ganze doch auch ausrechnen.
Hallo,
hier muß man nicht rechnen, man muß wissen...
Es ist doch jede Lineare Abbildung durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Du kannst feststellen, daß (1,1,0), (1,0,1) und (0,1,1) linear unabhängig sind, kannst sie also durch einen weiterne vektor zu einer Basis ergänzen. Jetzt mußt Du Dir nur noch überlegen, wieviele Möglichkeiten Du hast, diesem Vektor einen Wert zuzuweisen.
> Bei b) muss ich doch bestimmt nur beweisen, dass die beiden
> Regeln f(x+y)=f(x)+f(y) und/oder f(a*x)=a*f(x) NICHT
> gelten, oder?
Genau.
Du mußt folgendes tun:
guck, wie die 4 Vektoren, auf die g angewendet wird, voneinander abhängig sind, sicher kann man einen als Linearkombination dre anderen schreiben.
Wenn nun [mm] v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 [/mm] ist, so muß [mm] g(v)=g(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3)=a_1g(v_1)+a_2g(v_2)+a_3g(v_3) [/mm] sein, und das mußt Du prüfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 12.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Danke schonmal für deine Antwort.
Aber bei Aufgabe a) und b) verstehe ich nicht ganz,
wie ich das Ergebnis mit in das LGS einbringen kann.
Das kann ich doch nicht einfach vernachlässigen oder?
Ansonsten hätte ich ja:
x+y=0
x+z=0
y+z=0
Also x=-z,x=-y und y=z.
Oder sagt mir das schon irgendetwas?
Das ist doch nicht das selbe wie x=y=z=0 oder?
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Ich würde schon sagen, dass da 0 rauskommt:
x+y = 0
[mm] \gdw [/mm] x = -y
Einsetzen in (II):
-y + z = 0
Additionsverfahren mit (III):
(-y + z) + (y + z) = 0
[mm] \gdw [/mm] 2z = 0.
Und dann kannst du das auch noch für die anderen Variablen manchen...
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> Danke schonmal für deine Antwort.
> Aber bei Aufgabe a) und b) verstehe ich nicht ganz,
> wie ich das Ergebnis mit in das LGS einbringen kann.
> Das kann ich doch nicht einfach vernachlässigen oder?
>
> Ansonsten hätte ich ja:
> x+y=0
> x+z=0
> y+z=0
Hallo,
wenn Du erklären würdest, was Du mit x,y,z meinst bzw. berechnen willst, wäre das recht hilfreich...
So ist Hellsehen angesagt: Du willst die drei Vektoren in a) auf lineare Unabhängigkeit prüfen.
Habt Ihr das Gaußverfahren noch nicht gehabt? Es hilft einem sehr, bei der Lösung v. LGS systematisch vorzugehen, und nicht auf halbem Wege stehenzubleiben.
> Also x=-z,x=-y und y=z.
Nein, aus der letzten Gelichung hast Du doch y=-z,
und insgesamt folgt dann x=y=z=0.
Also sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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