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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Sei A eine [mm] 5\times [/mm] 7 Matrix mit Einträgen in einem Körper K. Sei [mm] U\subseteq K^7 [/mm] die Menge aller [mm] x\in K^7 [/mm] mit [mm] A\cdot{x}=0. [/mm] (x aufgefasst als Spaltenvektor.)
a) Sei [mm] L:K^7 \to K^5 [/mm] die lineare Abbildung [mm] L(x)=A\cdot{x}. [/mm] Zeigen Sie, dass Ker(L)=U und dass [mm] Im(L)=\{y\in K^5: das \ Gleichungssystem \ A\cdot{x}=y \ hat \ eine \ Loesung \ x\in K^7\}.
[/mm]
b) Nehmen Sie an, dass es einen Vektor [mm] v\in K^5 [/mm] gibt, für den das Gleichungssystem [mm] A\cdot{x} [/mm] = v keine Lösung hat. Zeigen Sie, dass [mm] 3\le dim_K(U) \le7. [/mm] Finden Sie ein Beispiel einer Matrix A mit [mm] dim_K(U)=7
[/mm]
c) Bestimmen Sie [mm] dim_{K}U, [/mm] falls A Zeilenrang 3 hat (Zeilenrang(A) = [mm] dim_{K}ZR(A)). [/mm] |
Also irgendwie erscheint mir das ganze noch etwas suspekt.
Zu Aufgabe a)
Ich soll also zeigen Ker(L)=U.
[mm] U\subseteq K^7 [/mm] ist aber grade die Menge aller [mm] x\in K^7 [/mm] mit [mm] A\cdot{x}=0.
[/mm]
Das ist ja grade der Kern.
Und auch beim Bild weiss ich nicht, was genau ich da noch zeigen soll.
Kann mir jemand vll weiter helfen ?
mfg. Der Joker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei A eine [mm]5\times[/mm] 7 Matrix mit Einträgen in einem Körper
> K. Sei [mm]U\subseteq K^7[/mm] die Menge aller [mm]x\in K^7[/mm] mit
> [mm]A\cdot{x}=0.[/mm] (x aufgefasst als Spaltenvektor.)
>
> a) Sei [mm]L:K^7 \to K^5[/mm] die lineare Abbildung [mm]L(x)=A\cdot{x}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass Ker(L)=U und dass [mm]Im(L)=\{y\in K^5: das \ Gleichungssystem \ A\cdot{x}=y \ hat \ eine \ Loesung \ x\in K^7\}.[/mm]
>
> b) Nehmen Sie an, dass es einen Vektor [mm]v\in K^5[/mm] gibt, für
> den das Gleichungssystem [mm]A\cdot{x}[/mm] = v keine Lösung hat.
> Zeigen Sie, dass [mm]3\le dim_K(U) \le7.[/mm] Finden Sie ein
> Beispiel einer Matrix A mit [mm]dim_K(U)=7[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie [mm]dim_{K}U,[/mm] falls A Zeilenrang 3 hat
> (Zeilenrang(A) = [mm]dim_{K}ZR(A)).[/mm]
>
>
> Also irgendwie erscheint mir das ganze noch etwas suspekt.
>
> Zu Aufgabe a)
>
> Ich soll also zeigen Ker(L)=U.
>
> [mm]U\subseteq K^7[/mm] ist aber grade die Menge aller [mm]x\in K^7[/mm] mit
> [mm]A\cdot{x}=0.[/mm]
> Das ist ja grade der Kern.
stimmt
> Und auch beim Bild weiss ich nicht, was genau ich da noch
> zeigen soll.
Das geht mir ebenso.
FRED
>
> Kann mir jemand vll weiter helfen ?
>
> mfg. Der Joker
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:59 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > Zu Aufgabe a)
> >
> > Ich soll also zeigen Ker(L)=U.
> >
> > [mm]U\subseteq K^7[/mm] ist aber grade die Menge aller [mm]x\in K^7[/mm] mit
> > [mm]A\cdot{x}=0.[/mm]
> > Das ist ja grade der Kern.
>
> stimmt
>
>
> > Und auch beim Bild weiss ich nicht, was genau ich da noch
> > zeigen soll.
>
> Das geht mir ebenso.
>
> FRED
Gut zu wissen, dann lass ich das einfach mal so stehen.
Dann bin ich bei
> > b) Nehmen Sie an, dass es einen Vektor [mm]v\in K^5[/mm] gibt, für
> > den das Gleichungssystem [mm]A\cdot{x}[/mm] = v keine Lösung hat.
> > Zeigen Sie, dass [mm]3\le dim_K(U) \le7.[/mm] Finden Sie ein
> > Beispiel einer Matrix A mit [mm]dim_K(U)=7[/mm]
Also ein Beispiel für eine Matrix A mit [mm] dim_K(U)=7 [/mm] ist leicht zu finden. Das wäre ganz einfach die Null-Matirx.
Da wir eine [mm] 5\times [/mm] 7 Matrix haben ist auch schonmal klar, dass [mm] dim\le [/mm] 7 auf jedefall gelten muss.
Schwieriger ist es zu zeigen, dass [mm] 3\le dim_{K}(U) [/mm] gilt.
Dazu muss ich sicherlich irgendwie verwenden, dass [mm] A\cdot{x}=v [/mm] keine lösung hat.
Ich weiss nur noch nicht so ganz, was mir das bringen soll.
Dazu könnte ich vll einen kleinen tipp gebrauchen :/
Mfg. Der Joker
Edit: Also ich habe das ganze nun über den Rangsatz gelöst.
Wenn es noch alternativ Lösungen gibt, wäre ich dennoch interessiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 11.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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