Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
| Aufgabe | Betrachten Sie im Zeilenraum R³ die drei Vektoren
u= (1,2,-3) v=(1,-2,1) w= (0,6,-6)
Untersuchen Sie, ob es eine R-lineare Abbildunf F: R³ --> R³ gibt, die
a.) die beiden Bedingungen F(u) = v und F(v) = -w erfüllt
b.) die drei BedingungenF(u) = v, F(v) = -w und F(w) Element aus Ru erfüllt. |
Ich hab mir die drei Vektoren in eine Matrix geschrieben und Zeilenumformungen gemacht. Hab da nun raus, dass man aus u+v eine Basis bilden kann. Bringt mir das irgendwie was? Wüsste nicht wie ich die verschiedenen Bedingungen abprüfen soll.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=476617
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> Betrachten Sie im Zeilenraum R³ die drei Vektoren
>
> u= (1,2,-3) v=(1,-2,1) w= (0,6,-6)
>
> Untersuchen Sie, ob es eine R-lineare Abbildunf F: R³ -->
> R³ gibt, die
>
> a.) die beiden Bedingungen F(u) = v und F(v) = -w erfüllt
> b.) die drei BedingungenF(u) = v, F(v) = -w und F(w)
> Element aus Ru erfüllt.
> Ich hab mir die drei Vektoren in eine Matrix geschrieben
> und Zeilenumformungen gemacht. Hab da nun raus, dass man
> aus u+v eine Basis bilden kann.
Hallo,
was meinst Du damit? Wovon soll u+v eine Basis sein?
Oder meintest Du "u und v"?
Richtig ist, daß u und v linear unabhängig sind, und man sie zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen kann.
Durch welchen Vektor v' zum Beispiel?
Es ist also (u,v,v') eine Basis. Dh. jeden Vektor [mm] x\in \IR^3 [/mm] kann man schreiben als x=a_1u+a_2v+a_3v' mit eindeutig bestimmten [mm] a_i.
[/mm]
Hast Du eine Idee, wie man F(a_1u+a_2v+a_3v') definieren könnte, damit die Abbildung linear ist und die Bedingungen aus a) erfüllt?
Zu b)
Bedenke, daß w= 1.5*(u+v).
Wenn F linear ist, was bedeutet das dann für F(w)?
Gruß v. Angela
> Bringt mir das irgendwie
> was? Wüsste nicht wie ich die verschiedenen Bedingungen
> abprüfen soll.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=476617
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
> Hallo,
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> was meinst Du damit? Wovon soll u+v eine Basis sein?
> Oder meintest Du "u und v"?
> Richtig ist, daß u und v linear unabhängig sind, und man
> sie zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen kann.
Ja genau das meinte ich glaub ich. Also, dass ich mir aus u und v eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] bauen kann.
Ich weiß nur noch nicht was mir das genau bringt...
> Durch welchen Vektor v' zum Beispiel?
> Es ist also (u,v,v') eine Basis. Dh. jeden Vektor [mm]x\in \IR^3[/mm]
> kann man schreiben als x=a_1u+a_2v+a_3v' mit eindeutig
> bestimmten [mm]a_i.[/mm]
Kann v' nicht beliebig sein? Oder hat das nun was mit den Bedingungen zu tun? Also, dass für v' z.B. -w nehme? Oder das wie du bei b meintest, dass w =1,5* (u+v) ist?
> Hast Du eine Idee, wie man F(a_1u+a_2v+a_3v') definieren
> könnte, damit die Abbildung linear ist und die Bedingungen
> aus a) erfüllt?
Nein irgendwie nicht. Ich denke da gerade drüber nach, aber seh das nicht. a funktioniert aber oder? Würde mir mein Gefühl so sagen.
> Zu b)
> Bedenke, daß w= 1.5*(u+v).
> Wenn F linear ist, was bedeutet das dann für F(w)?
Das heißt doch, dass F(w) auch linear ist? W ist aber doch auch von v abhängig. Lässt sich die 3. Bedingung dann überhaupt erfüllen?
Wir hatten noch eine andere Aufgabe womit b angeblich gelöst werden kann. Ich such die mal die eben und stell die rein...
Also die Aufgabe lautete:
Zeigen SIe für eine lineare Abbildung F: V --> W und [mm] v_1,...,v_n [/mm] aus V. Wenn [mm] (v_1,....,v_n) [/mm] linear abhängig ist, dann ist auch [mm] (F(v_1),...,(Fv_n)) [/mm] linear abhängig. Wenn [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] linear unabhängig ist und F injektiv ist, dann ist auch [mm] (F(v_1,...,v_n)) [/mm] linear abhängig.
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> > Richtig ist, daß u und v linear unabhängig sind, und
> man
> > sie zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen kann.
> Ich weiß nur noch nicht was mir das genau bringt...
Hallo,
man darf nicht immer darauf warten, daß einem etwas gebracht wird.
Oft muß man selbst etwas aus dem machen, was man hat.
Und was man daraus machen kann, habe ich doch angedeutet.
Vielleicht habe ich eines nicht deutlich gesagt: Du sollst in a) ja die Frage beantworten, ob es eine lineare Abbildung mit den angegebenen bedingungen gibt. Der Plan ist nun, ihre Existenz zu beweisen, indem wir einfach eine ganz konkrete lineare Abbildung mit diesen Eigenschaften vorzeigen.
> > Durch welchen Vektor v' zum Beispiel?
Durch welchen denn nun? Sag doch mal einen, so daß die drei dan unabhängig sind.
> > Es ist also (u,v,v') eine Basis. Dh. jeden Vektor [mm]x\in \IR^3[/mm]
> > kann man schreiben als $x=a_1u+a_2v+a_3v'$ mit eindeutig
> > bestimmten [mm]a_i.[/mm]
> Kann v' nicht beliebig sein?
Nun, er muß u und v zu einer Basis ergänzen, also linear unabhängig sein. Das sind die einzigen Einschränkungen, denen er unterliegt.
Die Auswahl ist hier sehr groß.
> Oder hat das nun was mit den
> Bedingungen zu tun?
Nein, überhaupt nichts!
> > Hast Du eine Idee, wie man $F(a_1u+a_2v+a_3v') $
> definieren
> > könnte, damit die Abbildung linear ist und die Bedingungen
> > aus a) erfüllt?Wenn [mm] $(v_1,....,v_n)$ [/mm] linear abhängig
> ist, dann ist auch [mm] $(F(v_1),...,(Fv_n))$ [/mm] linear abhängig.
> Nein irgendwie nicht. Ich denke da gerade drüber nach,
> aber seh das nicht. a funktioniert aber oder? Würde mir
> mein Gefühl so sagen.
Ja.
Such einen passenden Vektor v'.
Denk Dir für ihn irgendeinen Funktionswert aus, der Dir gefällt.
Dann ist $F(a_1u+a_2v+a_3v')$= ???.
Du kannst dann [mm] F:\IR^3\to \IR^3 [/mm] definieren durch
$F(x):=a_1F(u)+a_2F(v)+a_3F(v')$ für alle [mm] x$=a_1u+a_2v+a_3v'\in \IR.$
[/mm]
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung $x=a_1u+a_2v+a_3v' $eindeutig ist. (Weshalb?)
Nun kannst du vorrechnen, daß F linear ist.
Es wäre gut, wenn du verstehen würdest, was hier getan wurde.
Möglicherweise kannst Du a) aber auch mit einem Satz aus Deiner Vorlesung erschlagen, der gerade sagt, daß die Konstruktion, die ich oben durchgeführt habe, eine lineare Abbildung ergibt.
> > Zu b)
> > Bedenke, daß w= 1.5*(u+v).
> > Wenn F linear ist, was bedeutet das dann für F(w)?
>
> Das heißt doch, dass F(w) auch linear ist?
Quatsch. F(w) ist ein Vektor des [mm] \IR^3. [/mm] Linearität ist eine Eigenschaft von Abbildungen, nicht von Vektoren.
Ich könnte mir aber vorstellen, daß Du es hier richtig meinst.
> w ist aber doch
> auch von v abhängig. Lässt sich die 3. Bedingung dann
> überhaupt erfüllen?
Eben das ist der casus knacktus.
Es ist w=1.5(u+v), also muß, sofern F linear ist, gelten
F(w)=F(1.5(u+v))=???
Ist das hier der Fall?
> Wir hatten noch eine andere Aufgabe womit b angeblich
> gelöst werden kann. Ich such die mal die eben und stell
> die rein...
>
> Also die Aufgabe lautete:
> Zeigen SIe für eine lineare Abbildung F: V --> W und
> [mm]v_1,...,v_n[/mm] aus V.
> Wenn [mm] (v_1,....,v_n) [/mm] linear abhängig ist, dann ist auch [mm] (F(v_1),...,(Fv_n)) [/mm] linear abhängig.
> Wenn [mm](v_1,...,v_n)[/mm] linear unabhängig ist und F injektiv
> ist, dann ist auch [mm](F(v_1,...,v_n))[/mm] linear abhängig.
Genau das ist der springende Punkt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
Ich versuche nun erstmal a irgendwie zu kapieren...
>Der Plan
> ist nun, ihre Existenz zu beweisen, indem wir einfach eine
> ganz konkrete lineare Abbildung mit diesen Eigenschaften
> vorzeigen.
>
> > > Durch welchen Vektor v' zum Beispiel?
>
> Durch welchen denn nun? Sag doch mal einen, so daß die
> drei dan unabhängig sind.
v'= (0,2,2) Dann wäre die unabhänig.
Also häte ich ja dann:
$ [mm] x=a_1*(1,2,-3)+a_2*(0,-4,4)+a_3*(0,2,2)$
[/mm]
> > > Hast Du eine Idee, wie man [mm]F(a_1u+a_2v+a_3v')[/mm]
> > definieren
> > > könnte, damit die Abbildung linear ist und die Bedingungen
> > > aus a) erfüllt?Wenn [mm](v_1,....,v_n)[/mm] linear abhängig
> > ist, dann ist auch [mm](F(v_1),...,(Fv_n))[/mm] linear abhängig.
> Such einen passenden Vektor v'.
> Denk Dir für ihn irgendeinen Funktionswert aus, der Dir
> gefällt.
>
> Dann ist [mm]F(a_1u+a_2v+a_3v')[/mm]= ???.
F(a_1u)+ F(a_2v)+ F(a_3v')?! Und F(a_1u) soll ja v sein und F(a_2v) -w
>
> Du kannst dann [mm]F:\IR^3\to \IR^3[/mm] definieren durch
>
> [mm]F(x):=a_1F(u)+a_2F(v)+a_3F(v')[/mm] für alle
> x[mm]=a_1u+a_2v+a_3v'\in \IR.[/mm]
> Diese Abbildung ist
> wohldefiniert, da die Darstellung [mm]x=a_1u+a_2v+a_3v' [/mm]eindeutig
> ist. (Weshalb?)
Ich versteh gerade nicht mal warum die eindeutig ist...
Was meint eindeutig genau? Dass es nur diese Darstellung gibt oder dass die [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] nur eine mögliche Zahl annehmen?
>
> Nun kannst du vorrechnen, daß F linear ist.
>
> Es wäre gut, wenn du verstehen würdest, was hier getan
> wurde.
Ja das wäre nicht schlecht....hab mir nun gerade 20 Uhr als Zeitlimit gesetzt das zu verstehen was da passiert...
> Möglicherweise kannst Du a) aber auch mit einem Satz aus
> Deiner Vorlesung erschlagen, der gerade sagt, daß die
> Konstruktion, die ich oben durchgeführt habe, eine lineare
> Abbildung ergibt.
Also ich hab den Satz:
Sei [mm] (v_1,....,v_n) [/mm] eine Basis eines K-Vektorraums V. Dann existiert zu jedem System [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] von Vektoren eines K-Vektorraums W genau eine lineare Abbildung F: V|--> W mit [mm] F(v_i) [/mm] = [mm] w_i [/mm] für alle i=1,....,n
Diese Abbilsdung ist
surjektiv genau dann, wenn [mm] (w_1,..,w_n) [/mm] ein Erzeugendensystem vom W ist
injektiv genau dann, wenn [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig ist,
also ein Isomorphismus genau dann, wenn [mm] (w_1,...w_n) [/mm] eine Basis von W ist.
Ich weiß aber nicht genau was der mir bringt...
Unsere Basis wäre ja dann (u,v,v').
Wären dann v und -w in W? Oder bin ich da falsch
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> v'= (0,2,2) Dann wäre die unabhänig.
Hallo,
ja, mit (u,v,v') hast Du eine Basis des [mm] \IR^3,
[/mm]
und weil das eine Basis ist, kannst Du jedes [mm] x\in \IR^3 [/mm] also [mm] x=a_1+a_2v+a_3v' [/mm] schreiben.
Wenn nun F linear ist, was muß dann [mm]F(a_1u+a_2v+a_3v')[/mm] sein
> > Such einen passenden Vektor v'.
> > Denk Dir für ihn irgendeinen Funktionswert aus, der
> Dir
> > gefällt.
> >
> > Dann ist [mm]F(a_1u+a_2v+a_3v')[/mm]= ???.
>
> F(a_1u)+ F(a_2v)+ F(a_3v')?!
Bitte schreibe vollständige Gleichungen.
$F(a_1u+a_2v+a_3v')$=F(a_1u)+ F(a_2v)+ F(a_3v')= ...
Linearität nochmal nutzen!
> Und F(a_1u) soll ja v sein und
> F(a_2v) -w
Nein.
Was soll v ergeben und was -w? Aufgabe lesen!
Dann schrieb ich noch, daß Du Dir für Dein v' einen Funktionswert aussuchen sollst.
Ich sehe nicht, daß du das irgendwo getan hast.
> >
> > Du kannst dann [mm]F:\IR^3\to \IR^3[/mm] definieren durch
> >
> > [mm]F(x):=a_1F(u)+a_2F(v)+a_3F(v')[/mm] für alle
> > x[mm]=a_1u+a_2v+a_3v'\in \IR.[/mm]
> > Diese Abbildung ist
> > wohldefiniert, da die Darstellung [mm]x=a_1u+a_2v+a_3v' [/mm]eindeutig
> > ist. (Weshalb?)
>
> Ich versteh gerade nicht mal warum die eindeutig ist...
Weil's eine Basis ist.
> Was meint eindeutig genau? Dass es nur diese Darstellung
> gibt oder dass die [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] nur eine mögliche Zahl
> annehmen?
Es bedeutet, daß es nur genau eine Weise gibt, einen gegebenen Vektor x als Linearkombination von u,v,v' zu schreiben. Daß Dein kollege also für [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] keine anderen Zahlen dastehen haben kann als Du.
> >
> > Nun kannst du vorrechnen, daß F linear ist.
Und? was ist hierfür zu zeigen?
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> > Möglicherweise kannst Du a) aber auch mit einem Satz
> aus
> > Deiner Vorlesung erschlagen,
> Also ich hab den Satz:
> Sei [mm](v_1,....,v_n)[/mm] eine Basis eines K-Vektorraums V. Dann
> existiert zu jedem System [mm](w_1,...,w_n)[/mm] von Vektoren eines
> K-Vektorraums W genau eine lineare Abbildung F: V|--> W mit
> [mm]F(v_i)[/mm] = [mm]w_i[/mm] für alle i=1,....,n
Genau dies meinte ich.
> Ich weiß aber nicht genau was der mir bringt...
> Unsere Basis wäre ja dann (u,v,v').
Richtig.
> Wären dann v und -w in W?
Ja klar.
Ich hatte doch gesagt: denk Dir für F(v') irgendwas aus, was Dir gefällt. Wir nennen das Ausgedachte jetzt mal w'.
Dann ist (v,-w, w') das System im Bildraum, und
der Satz sagt Dir jetzt: Ja!!!! Es gibt eine Abbildung [mm] F:\IR^3\to \IR^3 [/mm] so, daß F(u)=v, F(v)=-w, F(v')=w'.
Damit ist die Aufgabe gelöst.
In der Variante oben haben wir die Abbildung konstruiert, und im Idealfall beweist Du, daß sie alles macht, was von ihr verlangt wird.
Hier unten haben wir Frage nach der Existenz solch einer Abbildung schnell mit dem Satz aus der Vorlesung beantworten können.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 11.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
> Ich hatte doch gesagt: denk Dir für F(v') irgendwas aus,
> was Dir gefällt. Wir nennen das Ausgedachte jetzt mal w'.
> Dann ist (v,-w, w') das System im Bildraum, und
> der Satz sagt Dir jetzt: Ja!!!! Es gibt eine Abbildung
> [mm]F:\IR^3\to \IR^3[/mm] so, daß F(u)=v, F(v)=-w, F(v')=w'.
>
> Damit ist die Aufgabe gelöst.
>
> In der Variante oben haben wir die Abbildung konstruiert,
> und im Idealfall beweist Du, daß sie alles macht, was von
> ihr verlangt wird.
> Hier unten haben wir Frage nach der Existenz solch einer
> Abbildung schnell mit dem Satz aus der Vorlesung
> beantworten können.
>
> Gruß v. Angela
>
Also würde es z.B. einfach genügen, wenn ich mir meine BAsis aus (u,v,v') baue. Die Bedingungen sagen ja dann, dass F(u) =v und F(v)= -w ist. Also haben wir für den Bidlraum (v,-w,x). Das x wäre ja dann der Funktionswert von v'. Da soll ich mir ja einen suchen, der mir gefällt. Hier hast du w' genommen. Hätte ja aber auch alles andere sein können oder? Weil das ja egal is, hauptsache die ersten beiden BEdingungen sind erfüllt.
Wenn ich das hab, sagt mir der Satz ja schon, dass es eine lineare Abbildung für die Bedingungen gibt.
Also existiert diese auf alle Fälle und ich muss das nicht noch irgendwie nachweisen oder konstruieren? Weil die Existenz ja durch den Satz geklärt ist.
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> Also würde es z.B. einfach genügen, wenn ich mir meine
> BAsis aus (u,v,v') baue.
Hallo,
ja. Du sagst: u und v kann ich durch v':=... zu einer Basis ergänzen.
> Die Bedingungen sagen ja dann,
> dass F(u) =v und F(v)= -w ist. Also haben wir für den
> Bidlraum (v,-w,x). Das x wäre ja dann der Funktionswert
> von v'. Da soll ich mir ja einen suchen, der mir gefällt.
> Hier hast du w' genommen.
w' ist einfach nur ein Name, ich habe noch gar nicht gesagt, welcher Vektor das sein soll. Ist auch schnuppe.
Du kannst sagen: sei x:=....
Nach Satz bliblablu gibt es eine lineare Abbildung F mit ... 8die Bedingungen hinschreiben.)
> Hätte ja aber auch alles andere
> sein können oder?
Ja.
> Weil das ja egal is, hauptsache die
> ersten beiden BEdingungen sind erfüllt.
> Wenn ich das hab, sagt mir der Satz ja schon, dass es eine
> lineare Abbildung für die Bedingungen gibt.
Ja.
> Also existiert diese auf alle Fälle und ich muss das
> nicht noch irgendwie nachweisen oder konstruieren? Weil die
> Existenz ja durch den Satz geklärt ist.
Genau. Die Existenz ist durch den Satz geklärt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 11.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
Gut dann ha bich das ja nun verstanden!
Nun noch zu b.)
Mir wurd nun folgendes gesagt:
Durch eine einzige Zeilenumformung und 2 Divisionen (Gauß-Algorithmus) erkennt man [mm] \frac [/mm] w 6= [mm] \frac {v-u}{-4}\Rightarrow w=-\frac [/mm] {3/2 v} + [mm] \frac [/mm] 3/2 u [mm] \Rightarrow F(w)=F(-\frac [/mm] 3/2 [mm] v+\frac [/mm] 3/2 [mm] u)=\frac [/mm] 3/2 [mm] w+\frac [/mm] 3/2 v = [mm] 3/2(-\frac [/mm] 3/2 [mm] v+\frac [/mm] 3/2 [mm] u)+\frac [/mm] 3/2 v [mm] \notin [/mm] Ru
Das sage ich doch die ganze Zeit.Schreibe u,v,w in die Zeilen, ziehe u von v ab und teile durch -4, teile w durch 6, und schon steht's da. (Gauß-Algorithmus)
Verstanden hab ichs. Mir ist nun nicht klar wie genau ich das mitm Gauß-Algorhithmus anstellen und vor allem aufschreiben soll?
Dass das Ergebnis dann nicht in Ru liegt kann ich ja mit der schon erwähnten Aufgabe begründen die wir schon hatten oder? Oder einfach nur sagen, dass u und v voneinander unabhängig sind?
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> Gut dann ha bich das ja nun verstanden!
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> Nun noch zu b.)
> Mir wurd nun folgendes gesagt:
> Durch eine einzige Zeilenumformung und 2 Divisionen
> (Gauß-Algorithmus) erkennt man [mm]\frac[/mm] w 6= [mm]\frac {v-u}{-4}\Rightarrow w=-\frac[/mm]
> {3/2 v} + [mm]\frac[/mm] 3/2 u [mm]\Rightarrow F(w)=F(-\frac[/mm] 3/2 [mm]v+\frac[/mm]
> 3/2 [mm]u)=\frac[/mm] 3/2 [mm]w+\frac[/mm] 3/2 v = [mm]3/2(-\frac[/mm] 3/2 [mm]v+\frac[/mm]
> 3/2 [mm]u)+\frac[/mm] 3/2 v [mm]\notin[/mm] Ru
>
> Das sage ich doch die ganze Zeit.Schreibe u,v,w in die
> Zeilen, ziehe u von v ab und teile durch -4, teile w durch
> 6, und schon steht's da. (Gauß-Algorithmus)
>
> Verstanden hab ichs. Mir ist nun nicht klar wie genau ich
> das mitm Gauß-Algorhithmus anstellen und vor allem
> aufschreiben soll?
Hallo,
gar nix mit Gaußalgorithmus schreibst Du dahin.
Wie Du herausgefunden hast, daß w=-1.5v+1.5u, interessiert keinen Menschen.
Schreib einfach "es ist w=-1.5v+1.5u".
Dann rechnest Du vor, was im Falle der Linearität von F bei F(w) herauskommen müßte, und Du guckst dann einfach nach, ob es ein Vielfaches von u ist. Ist's das nicht, dann gibt es halt nicht so eine lineare Abbildung wie in b) gefragt.
Gruß v. Angela
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> Dass das Ergebnis dann nicht in Ru liegt kann ich ja mit
> der schon erwähnten Aufgabe begründen die wir schon
> hatten oder? Oder einfach nur sagen, dass u und v
> voneinander unabhängig sind?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 11.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
OKay.
Also hab ich dann F(w), da setz ich dann ein was ich für w rausgefunden hab also -1,5v+1,5u
Da kann ich dann ja wieder die gegebenen Vektoren einsetzen und das rechne ich dann aus und vergleiche dann ob Vielfaches von w oder nicht?
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> OKay.
> Also hab ich dann F(w), da setz ich dann ein was ich für
> w rausgefunden hab also -1,5v+1,5u
> Da kann ich dann ja wieder die gegebenen Vektoren
> einsetzen und das rechne ich dann aus und vergleiche dann
> ob Vielfaches von w oder nicht?
Hallo,
war nicht gefragt ob es ein Vielfaches von u ist?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 So 11.12.2011 | | Autor: | Amiaz |
Ja genau.
Meinte ich ;)
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