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| Aufgabe | In dieser Aufgabe betrachten wir die drei linearen Abbildungen [mm] F_A, F_B, F_C :X\toY [/mm] die über die Abbildungsmatrizen
[mm] A=\pmat{ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 2}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 1 & 3}
[/mm]
[mm] C=\pmat{ 4 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 5 \\ 6 & 3 & 3}
[/mm]
beschrieben werden also [mm] F_A: x\mapsto [/mm] Ax, usw. Die Vektorräume X und Y sind dabei stets [mm] \IR^{3x1} [/mm] bwz. [mm] \IR^{2x1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie für die lineare Abbildungen [mm] F_A, F_B, F_C [/mm] ob diese surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.
b) Berechnen Sie für die linearen Abbildungen [mm] F_A, F_B, F_C [/mm] jeweils eine Basis des Kerns und des Bildes. |
Hallo zusammen
Also nun hier mein Ansatz.
a) Ich würde hier über den Kern der jeweiligen Abbildungen gehen.
Der Kern ist ja wie folgt definiert:
Kern(F) := { [mm] v\in [/mm] V: F(v) = 0 }
Also kann ich eigentlich einfach A*x=O, ausrechnen und alle Elemente "x" die nicht auf Null abbilden sind im Kern =0
Da bei allen drei Abbildungsmatrizen, nach dieser Methode der Kern 0 ergibt. Nehme ich nun gemäss diesem Lemma
"Lemma : Kern(F) ={0} genau dann wenn F injektiv ist"
an, dass alle drei Abbildungsmatrizen Injektiv sind.
Gemäss dem Satz
"Satz: Sei [mm] F\in [/mm] L(V,W) mit V endlichdimensional. Dann gilt die Dimensionsformel: dimV = dimBild(F) + Kern(F)."
an, dass da alle Abbildungsmatrizen endlichdimensional sind, somit also z.b.
dim(A)=dimBild(A) + 0
ist und somit komme ich durch
"Korollar: Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume über K mit dim V = dim W. Dann sind die folgenden Aussagen für [mm] F\in [/mm] (V,W) äquivalent.
(i) F ist injektiv
(ii) F ist surjektiv
(iii) F ist bijektiv"
und somit schliesse ich daraus, da ich ja wegen Kern (A,B,C) = 0 weiss dass alle linearen Abbildungen injektiv sind, dass diese somit auch surjektiv und daher auch bijektiv sind.
Nun bin ich mir sehr unsicher ob ich die Aufgabe durch dieses Vorgehen tatsächlich korrekt lösen kann, oder ob ich hier etwas durcheinanderbringe, bzw. nicht verstehe. Da ich es seltsam finde, dass dann gleich alle drei Abbildungen injektiv, surjektiv und bijektiv wären...
Ich bin dankbar um jede Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 So 14.11.2010 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
grundsätzlich ist Dein Vorgehen schon in Ordnung, nur sind Dir da noch ein paar Fehler unterlaufen:
1.) Bei C hast Du einen Fehler bei der Bestimmung des Kerns, der ist nämlich größer als [mm]\{0\}[/mm] - rechne doch nochmal nach.
2.) Bei B kannst Du das von Dir zitierte Korollar leider nicht anwenden, da hier ja [mm]\dim X = 2[/mm] und [mm]\dim Y = 3[/mm] ist und somit nicht gleich sind.
Gruß
piet
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