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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 14.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4. Bestimme die Abbildungsgleichung der Spiegelung an der x-Achse.
5. Bestimme die Abbildungsgleichung der Spiegelung an der Winkelhalbierenden f:y=x
6. Bestimme die Abbildungsgleichung derjenigen Abbildung, die die Punkte $P(0|1)$, $Q(1|0)$, $O(0|0)$ auf die Punkte $P'(2|0)$, $Q'(1|1)$ und $O'(1|0)$ abbildet. Handelt es sich um eine lineare Abbildung? |
4. [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0&-1 }$
[/mm]
Weil die y Werte negativ werden...
5. brauche ich hier den Winkel zwischen der X-Achse und der Geraden? Oder gibt es dazu auch so eine "Standardform" ?
[mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 1& 0 }$
[/mm]
6. Spass mit einem Gleichungssystem mit 6 Variablen....(?)
Stimmen diese Lösungen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar!
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Hallo,
> 4. Bestimme die Abbildungsgleichung der Spiegelung an der
> x-Achse.
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> 5. Bestimme die Abbildungsgleichung der Spiegelung an der
> Winkelhalbierenden f:y=x
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> 6. Bestimme die Abbildungsgleichung derjenigen Abbildung,
> die die Punkte [mm]P(0|1)[/mm], [mm]Q(1|0)[/mm], [mm]O(0|0)[/mm] auf die Punkte
> [mm]P'(2|0)[/mm], [mm]Q'(1|1)[/mm] und [mm]O'(1|0)[/mm] abbildet. Handelt es sich um
> eine lineare Abbildung?
> 4. [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0&-1 }[/mm]
>
> Weil die y Werte negativ werden...
Genau, bzw. genauer: Weil die y-Werte mit (-1) multipliziert werden / ihr Vorzeichen wechseln.
Das, was du jetzt dahin geschrieben hast, ist eine Abbildungsmatrix, aber noch keine Abbildung.
> 5. brauche ich hier den Winkel zwischen der X-Achse und der
> Geraden? Oder gibt es dazu auch so eine "Standardform" ?
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1& 0 }[/mm]
Eine Standardform gibt es, ![[]](/images/popup.gif) hier zum Beispiel.
Im Allgemeinen kannst du aber eine lineare Abbildung (sollte es eine sein) immer so bestimmen, dass du dir
zwei linear unabhängige Vektoren nimmst und deren Bilder berechnest (die du ja berechnen kannst, weil dir eine Abbildungsvorschrift wie zum Beispiel "Spiegeln an der Geraden y = x" gegeben ist).
Mit den Eigenschaften der linearen Abbildung kannst du damit die Bilder von den Einheitsvektoren bestimmen (im Idealfall konntest du natürlich schon vorher bei der Wahl der zwei linear unabhängigen Vektoren die Einheitsvektoren nehmen!), und kennst deine Darstellungsmatrix.
Auch hier: Das ist noch keine Matrix.
> 6. Spass mit einem Gleichungssystem mit 6 Variablen....(?)
Nein.
Deine Abbildung soll folgendes leisten:
[mm] $f\left(\vektor{0\\1}\right) [/mm] = [mm] \vektor{2\\0}$
[/mm]
[mm] $f\left(\vektor{1\\0}\right) [/mm] = [mm] \vektor{1\\1}$
[/mm]
[mm] $f\left(\vektor{0\\0}\right) [/mm] = [mm] \vektor{1\\0}$
[/mm]
Das es keine lineare Abbildung ist, sieht man daran, dass der Nullvektor nicht auf den Nullvektor abgebildet wird.
Ich weiß nicht genau, was bei euch als "Abbildungsgleichung" gefordert ist.
Eine Funktion f(x)?
Es gibt zwar keine lineare Abbildung, die obiges leistet, aber eine affine Abbildung:
Dazu verschieben wir die Ergebnisvektoren zunächst alle so, dass der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird (also minus 1 in der x-Komponente):
[mm] $f\left(\vektor{0\\1}\right) [/mm] = [mm] \vektor{1\\0}$
[/mm]
[mm] $f\left(\vektor{1\\0}\right) [/mm] = [mm] \vektor{0\\1}$
[/mm]
[mm] $f\left(\vektor{0\\0}\right) [/mm] = [mm] \vektor{0\\0}$
[/mm]
Und dann kannst du die Matrix ablesen:
[mm] \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}
[/mm]
Insgesamt also handelt es sich um die affine Abbildung
[mm] $\vektor{x\\y}\mapsto \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}\vektor{x\\y} [/mm] + [mm] \vektor{1\\0}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hoi,
Beim Skript steht meistens eine "Abbildung mit Matrix"...
Das wäre eigentlich mein Ansatz gewesen bei der letzten:
$ [mm] \vektor{x\\y}' [/mm] = [mm] \pmat{a & b \\ c & d}\vektor{x\\y}+\vektor{e\\f} [/mm] $
so ginge es doch auch, oder?
Wie hast du die Lösungsmatrix eigentlich "abgelesen", auf den ersten Blick fallen mir die ersten zwei Zeilen auf, aber stimmt das immer?
Beim Spiegeln mit der Gerade setze ich demnach einfach 45° ein in die Standardform
[mm] \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}
[/mm]
Danke !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mo 15.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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