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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Sa 20.10.2007 | | Autor: | jmeini |
| Aufgabe | | Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit n [mm] \ge [/mm] 1 und f: V [mm] \to [/mm] V eine nilpotente lineare Abbildung. Sie U = Span{v}, 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V, und g: V/U [mm] \to [/mm] V/W. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich habe folgende Frage:
Wie zeige ich, dass g eine von f induzierte nilpotente lineare Abbildung ist? Wie wird überhaupt "induziert" definiert?
Vielen Dank!
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> Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit n [mm]\ge[/mm] 1 und f: V
> [mm]\to[/mm] V eine nilpotente lineare Abbildung. Sie U = Span{v}, 0
> [mm]\not=[/mm] v [mm]\in[/mm] V, und g: V/U [mm]\to[/mm] V/W.
> Hallo! Ich habe folgende Frage:
>
> Wie zeige ich, dass g eine von f induzierte nilpotente
> lineare Abbildung ist? Wie wird überhaupt "induziert"
> definiert?
Hallo,
Deine Aufgabenstellung ist nicht vollständig, vielleicht kannst Du das noch klären.
Was soll denn W sein?
Für die Aufgabenstellung sehe ich zwei Möglichkeiten:
Entweder hast Du zu g einen Verknüpfungsvorschrift gegeben, und Du sollst zeigen, daß g von f induziert und nilpotent ist,
Oder Du sollst sagen, wie die von f induzierte Funktion g aussieht und zeigen, daß sie nilpotent ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Sa 20.10.2007 | | Autor: | jmeini |
Ich weiss auch nicht, was das für W ist, vielleicht ist ein Druckfehler, und für W sollte U stehen.
Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen:
Mit obigen Voraussetzungen
1. Zeige, dass es einen von Null verschieden Vektor v aus V gibt, so dass fv=0.
2. Zeige, dass g von f induzierte nilpotente Abbildung ist. g wird bzgl. der Basis B [mm] (v_{1} [/mm] + U, ..., [mm] v_{n-1} [/mm] + U) von V/U durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt. Beweise, dass (v, [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n-1}) [/mm] eine Basis von V ist und die Darstellungsmatrix von f bzgl. dieser Basis eine obere Dreiecksmatrix ist.
Es stand leider nichts über Verknüpfungen da.
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> Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit n [mm]\ge[/mm] 1 und f: V
> [mm]\to[/mm] V eine nilpotente lineare Abbildung. Sie U = Span{v}, 0
> [mm]\not=[/mm] v [mm]\in[/mm] V, und g: V/U [mm]\to[/mm] V/W.
> Ich weiss auch nicht, was das für W ist, vielleicht ist ein Druckfehler, und für W sollte U stehen
> Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen:
> Mit obigen Voraussetzungen
> 1. Zeige, dass es einen von Null verschieden Vektor v aus
> V gibt, so dass fv=0.
> 2. Zeige, dass g von f induzierte nilpotente Abbildung
> ist. g wird bzgl. der Basis B [mm](v_{1}[/mm] + U, ..., [mm]v_{n-1}[/mm] + U)
> von V/U durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt.
> Beweise, dass (v, [mm]v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{n-1})[/mm] eine Basis von V ist
> und die Darstellungsmatrix von f bzgl. dieser Basis eine
> obere Dreiecksmatrix ist.
>
> Wie wird überhaupt "induziert"
> definiert?
Hallo,
mir ist die Aufgabenstellung ja immer noch nicht 100%-tig klar, jedenfalls nicht aus dem, was Du schreibst...
Allerspätestens, wenn diesbezüglich Nachfragen kommen, ist es wichtig, den genauen Wortlaut in der richtigen Reihenfolge zu bringen und möglichst auf jegliche eigene Interpretation zu verzichten. Die eigene Interpretation darf und soll(!!!) dann mit den Lösungsansätzen kommen. Natürlich ist es um ein Vielfaches einfacher (und schneller), Mißverständnisse bzgl. der Aufgabenstellung aufzudecken, wenn man diese kennt...
Ich gehe bis auf weiteres davon aus, daß es so gedacht ist:
Du hast einen nilpotenten Endomorphismus f auf V.
Von diesem hast Du bereits (in Teil 1) gezeigt, daß es ein v [mm] \in [/mm] V \ [mm] \{0\} [/mm] gibt mit f(v)=0.
Es deutet einiges daraufhin, daß W ein Druckfahler ist.
Nun betrachtet man zu U:=<v> den Faktorraum V / U
und die durch f induzierte Abbildung g:V / U [mm] \to [/mm] V / U .
An dieser Stelle müssen wir innehalten, um Deine Frage zu klären: was ist die durch f induzierte Abbildung? Was tut g mit den Elementen aus V / U?
Es ist g( x+<v>):= f(x)+<u> für alle [mm] x\in [/mm] V.
Nun sollst Du zeigen, daß g nilpotent ist. (Vermutlich stand da: Zeige, daß die von f induzierte Abbildung g nilpotent ist.)
Das kannst Du mit allen Informationen, die Du bis hierher hast, tun.
Nun sollst Du zeigen, daß [mm] (v_1,...,v_{n-1}, [/mm] v) eine Basis von V ist, also linear unabhängig.
Du mußt also zeigen, daß aus [mm] 0=av+\summe_{i=1}^{n-1}a_iv_1 [/mm] folgt, daß [mm] a=a_i=0 [/mm] ist.
Hierfür mußt Du verwenden, daß B eine Basis von V / U ist.
Nun ist über g noch bekannt, daß bzgl. der Basis [mm] B=(v_1+,...,v_{n-1}+) [/mm] die darstellende Matrix von g eine obere Dreiecksmatrix ist, und das müßtest Du dann verwenden um zu zeigen, daß die darstellende Matrix von f bzgl. (v, $ [mm] v_{1}, [/mm] $ ..., $ [mm] v_{n-1}) [/mm] $ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.
Ich hoffe, daß ich die Knoten bzgl der Aufgabenstellung ein wenig lösen konnte.
Nun solltest Du anfangen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 21.10.2007 | | Autor: | jmeini |
Vielen Dank für die Hilfe. :)
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