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| Aufgabe | Seien V und W K-Vektorräume. Man prüfe auf Wahrheit der folgenden Aussagen:
(1) Sei B eine Basis von V und f: V [mm] \to [/mm] W eine injektive Abbildung. Dann ist f(B) eine Basis von W
(2) Seien X, Y Teilmengen von V mit X [mm] \subseteq [/mm] Y. Ist Y ein Erzeugendensystem von V, so ist auch X ein Erzeugendensystem von V.
(3) Die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] ist linear.
(4) Sei f: [mm] \IR^{6} \to \IR^{4} [/mm] eine lineare Abbildung vom Rang 4. Dann gibt es ein 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in \IR^{6} [/mm] mit f(x) = 0. |
Meine Lösungen:
(1) wahr
(2) wahr - da X, Y Unterräume von V
(3) falsch
(4) da hab ich gar keinen Plan
Vielen Dank schon mal für den, der mir sagen kann, was richtig ist bzw. wo ich Fehler gemacht haben muss!
Gruß
harry_hirsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Di 12.12.2006 | | Autor: | choosy |
> Seien V und W K-Vektorräume. Man prüfe auf Wahrheit der
> folgenden Aussagen:
>
> (1) Sei B eine Basis von V und f: V [mm]\to[/mm] W eine injektive
> Abbildung. Dann ist f(B) eine Basis von W
Nun mag sein das das bei der aufgabe vergessen wurde, aber so ist die aussage falsch, denn das gilt im Allgemeinen nur, falls f linear UND W endlich dimesional ist, da nur dann aus injektiv auch surjektiv folgt.
>
> (2) Seien X, Y Teilmengen von V mit X [mm]\subseteq[/mm] Y. Ist Y
> ein Erzeugendensystem von V, so ist auch X ein
> Erzeugendensystem von V.
Auch falsch, da nur X,Y Teilmenge Vorausgesetzt ist, nicht unterraum. das die grössere menge ein unterraum ist, sagt über die kleinere noch garnix...
>
> (3) Die Abbildung f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto x^{2}[/mm] ist
> linear.
mit sicherheit falsch, wie du schon erkannt hast.
>
> (4) Sei f: [mm]\IR^{6} \to \IR^{4}[/mm] eine lineare Abbildung vom
> Rang 4. Dann gibt es ein 0 [mm]\not=[/mm] x [mm]\in \IR^{6}[/mm] mit f(x) =
> 0.
Nun das muss schon nach dem Rangsatz/Dimensionsformel gelten, denn
6=4+dim(Kern). Der Kern ist also nichttrivial.
> Meine Lösungen:
>
> (1) wahr
>
> (2) wahr - da X, Y Unterräume von V
>
> (3) falsch
>
> (4) da hab ich gar keinen Plan
>
> Vielen Dank schon mal für den, der mir sagen kann, was
> richtig ist bzw. wo ich Fehler gemacht haben muss!
> Gruß
> harry_hirsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 12.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> > (1) Sei B eine Basis von V und f: V [mm]\to[/mm] W eine injektive
> > Abbildung. Dann ist f(B) eine Basis von W
>
> Nun mag sein das das bei der aufgabe vergessen wurde, aber
> so ist die aussage falsch, denn das gilt im Allgemeinen
> nur, falls f linear UND W endlich dimesional ist, da nur
> dann aus injektiv auch surjektiv folgt.
dann müsste aber auch noch zusätzlich V und W dieselbe Dimension haben!
Die Aussage ist hier eindeutig falsch, weil V und W beliebig angenommen wurden, also z.B. auch dim(W)>dim(V)...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mi 13.12.2006 | | Autor: | choosy |
Das dim(V)=dim(W) würde dann in der Tat auch direkt aus injektiv+Dimensionsformel folgen.
nur zu sagen das gilt nicht weil V und W beliebig sind, ist allerdings falsch. Die Voraussetzung geht schliesslich noch weiter, es soll nicht nur V und W geben, sondern auch ein injektives f. sind V und W beliebig ist es sinnlos zu sagen die aussage ist falsch, weil ich für bestimmte V und W kein injektives f finde. sondern in diesem fall ist einfach die voraussetzung nicht erfüllt, der satz könnte trotzdem richtig sein.
Das statement
V,W beliebige endlichdim Vektorräume, f linear und injektiv. Dann ist f(V)=W
ist zum beispiel wahr, da hier natürlich implizit in den Voraussetzungen
dim V = dim W angenommen wird, denn sonst könnte f ja nicht injektiv sein. Die beliebigkeit an V und W muss also nur soweit gelten das die Voraussetzungen nicht schon in wiederspruch zueinander stehen.
Prinzipiell ist das zwar ein wenig schlampig, aber imho konvention das nur so zu schreiben.
Ich würde die Voraussetzung daher eher so lesen:
Seien V,W beliebige endlichdim VR derart, das ein lineares, injektives
f:V->W existiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 13.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
bitte was?
sei [mm] V=\IR [/mm] und [mm] $W=\IR^2$
[/mm]
und sei [mm] $f(x)=\vektor{x\\0}$
[/mm]
dann ist f linear und injektiv aber V und W lange nicht gleich-groß
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mi 13.12.2006 | | Autor: | choosy |
ich sagt nicht, das es nicht ausreicht ein gegenbeispiel hinzuschreiben, sondern das es nicht ausreicht "V,W waren beliebig, also kann die aussage nicht stimmen nicht ausreicht."
sprich ich wollte nur anmerken, das da noch eine Begründung zu fehlt...
egal
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