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| Aufgabe | | Sei f: V --> V mir Rang(f) = Rang( f [mm] \circ [/mm] f). Beweisen Sie, dass Bild(f) [mm] \oplus [/mm] Kern(f) = V ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zu dem Beweis:
Aus Rg(f) = n kann ich doch ableiten, dass dim(Bild(f)) = n ist, und daraus, dass dim (Bild(f [mm] \circ [/mm] f)) = n ist. Heißt das dann das Bild(f) und Bild (f [mm] \circ [/mm] f) gleich sind. Und wie kriege ich jetzt die dimension des Kernes hier rein?
(ich dachte ich beweise den Satz über die Dimensionsformel für komplementäre Unterräume)
Oder muss man es anders machen? Ist die Lösung vielleicht: Da es ein Endomorphismus ist, ist Bild(f) ein Unterraum von V und Kern(f) doch dann auch. Aber woraus schließe ich jetzt, dass beide komplementär sind?
Hhmm, vielleicht hat jemand einen Denkanstoss für mich.
Grüße Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei f: V --> V mir Rang(f) = Rang( f [mm]\circ[/mm] f). Beweisen
> Sie, dass Bild(f) [mm]\oplus[/mm] Kern(f) = V ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe ein paar Fragen zu dem Beweis:
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> Aus Rg(f) = n kann ich doch ableiten, dass dim(Bild(f)) = n
> ist, und daraus, dass dim (Bild(f [mm]\circ[/mm] f)) = n ist. Heißt
> das dann das Bild(f) und Bild (f [mm]\circ[/mm] f) gleich sind.
Ja, aber mit einem Zwischenschritt: Einmal gilt ja
$Bild(f [mm] \circ [/mm] f) [mm] \subseteq [/mm] Bild(f)$, und da die Dimensionen gleich sind muss also $Bild(f [mm] \circ [/mm] f) = Bild(f)$ sein. Und insbesondere ist [mm] $f|_{Bild(f)} [/mm] : Bild(f) [mm] \to [/mm] Bild(f)$ ein Isomorphismus.
> Und
> wie kriege ich jetzt die dimension des Kernes hier rein?
Nun, dazu reicht ja schon die normale Dimensionsformel: [mm] $\dim [/mm] V = [mm] \dim \ker [/mm] f + [mm] \dim [/mm] Bild(f)$.
Du musst halt noch zeigen, dass [mm] $\ker [/mm] f [mm] \cap \Bild(f) [/mm] = [mm] \{ 0_V \}$ [/mm] ist. Und dazu kannst du gebrauchen, dass [mm] $f|_{Bild(f)} [/mm] : Bild(f) [mm] \to [/mm] Bild(f)$ ein Isomorphismus ist.
HTH & LG, Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Fr 06.01.2006 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
danke für die schnelle Hilfe.
Grüße Steffen
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