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Forum "Vektoren" - Lineare Abbildung von Vektoren
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Lineare Abbildung von Vektoren: Alte Klausuraufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Di 17.02.2015
Autor: kreis

Aufgabe 1
Eine lineare Abbildung f [mm] \in Hom(\IR^{3};R^{3}) [/mm] hat die folgenden Eigenschaften:
1. Der Vektor [mm] v_{1} [/mm] = [mm] e_{1} +e_{2} [/mm] liegt im Kern von f.
2. Der Vektor [mm] v_{2} [/mm] = [mm] e_{1} [/mm] - [mm] e_{2} [/mm] ist ein Eigenvektor von f zum Eigenwert 4.
3. Der Vektor [mm] v_{3} [/mm] = [mm] e_{1} [/mm] - [mm] e_{2} +e_{3} [/mm] wird auf den Vektor [mm] e_{3} [/mm] abgebildet.
Bestimmen Sie die Matrix A von f bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe 2
b) Stellen Sie fest, ob der unten genannte Vektor v im Bild der durch die Matrix B
repräsentierten linearen Abbildung liegt und finden Sie die Menge aller Vektoren, die auf v abgebildet werden. Führen Sie diese Fragestellung auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems zurück.
[mm] v=\vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm]  B= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -2 } [/mm]


Also ich habe schon mal angefangen:
a)
Wir wissen:
Aus 1. folgt [mm] v_{1}=(1,,1,0) [/mm] wird abgebildet auf den Kern ab also [mm] w_{1}= [/mm] (0,0,0)
Aus 2. folgt [mm] v_{2}=(1,-1,0) [/mm] wird abgebildet auf [mm] w_{2} [/mm] =(-4,4,0) ab.
Und aus 3. [mm] v_{3}=(1,-1,1) [/mm] auf [mm] w_{3}= [/mm] (0,0,1)
Da die abbildung ja Linear ist gilt doch:

[mm] e_{1} [/mm] =0.5 * [mm] (v_{1}+v_{2}) \Rightarrow [/mm] 0.5* ( [mm] w_{1}+ w_{2})=(2,-2,0) [/mm]
[mm] e_{2}=0.5 [/mm] * [mm] (-v_{1}+v_{2}) \Rightarrow [/mm] 0.5* ( [mm] -w_{2}+ w_{1})=(-2,2,0) [/mm]
Jetzt fehlt mir ja noch eine Spalte um A zu bestimmen. Ich Denke mal stark das hat was mit 3. zu tun aber werde daraus nicht schlau. Kann ich den einfach als Dritte Spalte benutzen weil er ja linear unabhängig zu den anderen beiden ist?

Zu b)
Was soll ich tun einfach B=v setzen und auflösen?

Ich schwöre hoch und heillig:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Und wenn doch dann lasse ich mich von einem Pander fressen.

        
Bezug
Lineare Abbildung von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Di 17.02.2015
Autor: meili

Hallo,

> Eine lineare Abbildung f [mm]\in Hom(\IR^{3};R^{3})[/mm] hat die
> folgenden Eigenschaften:
>  1. Der Vektor [mm]v_{1}[/mm] = [mm]e_{1} +e_{2}[/mm] liegt im Kern von f.
>  2. Der Vektor [mm]v_{2}[/mm] = [mm]e_{1}[/mm] - [mm]e_{2}[/mm] ist ein Eigenvektor
> von f zum Eigenwert 4.
>  3. Der Vektor [mm]v_{3}[/mm] = [mm]e_{1}[/mm] - [mm]e_{2} +e_{3}[/mm] wird auf den
> Vektor [mm]e_{3}[/mm] abgebildet.
>  Bestimmen Sie die Matrix A von f bezüglich der
> Standardbasis.
>  
> b) Stellen Sie fest, ob der unten genannte Vektor v im Bild
> der durch die Matrix B
>  repräsentierten linearen Abbildung liegt und finden Sie
> die Menge aller Vektoren, die auf v abgebildet werden.
> Führen Sie diese Fragestellung auf die Lösung eines
> linearen Gleichungssystems zurück.
>  [mm]v=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]  B= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -2 }[/mm]
>  
> Also ich habe schon mal angefangen:
>  a)
>  Wir wissen:
>  Aus 1. folgt [mm]v_{1}=(1,1,0)[/mm] wird abgebildet auf den Kern
> ab also [mm]w_{1}=[/mm] (0,0,0)

[ok]

>  Aus 2. folgt [mm]v_{2}=(1,-1,0)[/mm] wird abgebildet auf [mm]w_{2}[/mm]
> =(-4,4,0) ab.

Bei Eigenwert 4 müsste doch [mm] $w_2=(4,-4,0)$ [/mm]  sein.

>  Und aus 3. [mm]v_{3}=(1,-1,1)[/mm] auf [mm]w_{3}=[/mm] (0,0,1)

[ok]

>  Da die abbildung ja Linear ist gilt doch:
>  
> [mm]e_{1}[/mm] =0.5 * [mm](v_{1}+v_{2}) \Rightarrow[/mm] 0.5* ( [mm]w_{1}+ w_{2})=(2,-2,0)[/mm]

[ok]

>  
> [mm]e_{2}=0.5[/mm] * [mm](-v_{1}+v_{2}) \Rightarrow[/mm] 0.5* ( [mm]-w_{2}+ w_{1})=(-2,2,0)[/mm]

[mm] $e_2 [/mm] = [mm] 0.5*(v_1-v_2)$ [/mm]
[mm] $f(e_2) [/mm] = (-2,2,0)$

>  
> Jetzt fehlt mir ja noch eine Spalte um A zu bestimmen. Ich
> Denke mal stark das hat was mit 3. zu tun aber werde daraus
> nicht schlau. Kann ich den einfach als Dritte Spalte
> benutzen weil er ja linear unabhängig zu den anderen
> beiden ist?

In der 3. Spalte muss [mm] $f(e_3)$ [/mm] stehen.
Aus 3. kannst du eine Darstellung von [mm] $e_3$ [/mm] finden, [mm] $v_3-v_2$. [/mm]

>  
> Zu b)
>  Was soll ich tun einfach B=v setzen und auflösen?

Meinst du B*x = v?
Ja, dieses Gleichungssystem lösen.

>  
> Ich schwöre hoch und heillig:
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Und wenn doch dann lasse ich mich von einem Pander
> fressen.

Gruß
meili

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