Lineare Abbildung, konvex < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 27.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo mal wieder!
Ich hab folgende Aufgabe:
T: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] sei eine lineare Abbildung. Ich muss zeigen A [mm] \subset \IR^{n} [/mm] konvex [mm] \Rightarrow [/mm] T(A) konvex.
Die Definition von konvex ist ja wie folgt:
A konvex [mm] \Rightarrow [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A: (1-t)a+tb [mm] \in [/mm] A für alle t [mm] \in [/mm] [0,1]
Ich muss doch jetzt zeigen, dass gilt:
T((1-t)a+tb) [mm] \in [/mm] T(A), oder?
Folgendes hab ich jetzt gemacht:
Da T linear ist, gilt ja:
T((1-t)a+tb)=(1-t)T(a)+tT(b)
Beide Summanden sind doch dann Element von T(A), daraus folgt doch dann, dass die Summe auch Element von T(A) und damit ist A konvex.
Kann ich das so machen?
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Do 27.01.2005 | | Autor: | Gero |
Hi Annette,
ich hab da was gefunden, vielleicht kannst du damit was anfangen:
"Menge M konvex:
für alle a,b aus m ist r*a+(1-r)*b aus M für alle 0 kleiner r kleiner 1.
(Anschaulich: mit a,b liegt auch die Verbindungsstrecke in M)
A konvex
x, y aus T(A); es ex. a,b aus A mit x=T(A) und y=T(b)
0 kleiner r kleiner 1
r*x+(1-r)*y==r*T(a)+(1-r)*T(b)= (da T linear)
=T(r*a+(1-r)*b);
A konvex folgt r*a+(1-r)*b aus A, also T(r*a+(1-r)*b) aus T(A).
q.e.d. "
Hab´s mir aber noch nicht richtig angeschaut!
Gruß Gero
P.S.: Bis morgen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 27.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich hab folgende Aufgabe:
> T: [mm]\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] sei eine lineare Abbildung. Ich
> muss zeigen A [mm]\subset \IR^{n}[/mm] konvex [mm]\Rightarrow[/mm] T(A)
> konvex.
>
> Die Definition von konvex ist ja wie folgt:
> A konvex [mm]\Rightarrow[/mm] a,b [mm]\in[/mm] A: (1-t)a+tb [mm]\in[/mm] A für alle
> t [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Ich muss doch jetzt zeigen, dass gilt:
> T((1-t)a+tb) [mm]\in[/mm] T(A), oder?
nein, das ist ein trugschluss. du willst doch zeigen, dass $T(A)$ konvex ist, also das zu zwei punkten aus $T(A)$ auch deren verbindungstrecke in $T(A)$ liegt!
> Folgendes hab ich jetzt gemacht:
> Da T linear ist, gilt ja:
> T((1-t)a+tb)=(1-t)T(a)+tT(b)
> Beide Summanden sind doch dann Element von T(A), daraus
> folgt doch dann, dass die Summe auch Element von T(A) und
> damit ist A konvex.
wenn du das in die andere richtung ausfziehst wird es richtig. die lösung kannst du im prinzip bei Gero in der mitteilung lesen. du kannst ja mal schauen, ob du damit was anfangen kannst und dich dann nochmal melden, wenn dir etwas unklar ist!
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Danke.
Hab´s jetzt, glaub ich, verstanden.
Gruß
Annette
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