Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Fr 26.02.2010 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] erfülle
f [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1}, [/mm] f [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}, [/mm] f [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Bestimmen Sie f [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe irgendwie keinen richtigen Anpack bei dieser Aufgabe.
Ich würde nämlich so vorgehen, dass ich versuchen würde f [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen und würde dann deren Bild mit dem jeweiligen Linearfaktor multiplizieren, um f [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] zu erhalten.
Man müsste also das LGS, um die Linearfaktoren zu erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & |4 \\ 2 & 1 & 1 & |5 \\ 3 & 0 & 1 & |6 } [/mm] lösen.
Leider erhalte ich dann nach Umformung folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & |4 \\ 0 & 3 & 1 & |-3 \\ 0 & 0 & 0 & |-3 }.
[/mm]
Das würde aber doch wegen der 3. Zeile bedeuten, dass das LGS keine Lösung hat.
Also was tun? Oder ist mein Ansatz schon komplett falsch?
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
Und vielen Dank vorab für Eure Hilfe.
|
|
| |
|
> Eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] erfülle
> f [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 1},[/mm] f
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2},[/mm] f [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> Bestimmen Sie f [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 6}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
> Ich habe irgendwie keinen richtigen Anpack bei dieser
> Aufgabe.
Hallo,
doch.
Dein Plan ist nämlich grundsätzlich goldrichtig.
Aber es gibt ein Problem: die Abbildung f von oben kann keinesfalls linear sein!
Es ist nämlich
1/3* [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $ + 1/3*$ [mm] \vektor{-1\\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] ,
aber Du wirst sehen, daß sich [mm] f\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] nicht der Linearitätsbedingung unterwirft.
Und mit dieser Erkenntnis kannst Du aufhören: f ist keine lineare Abbildung, und damit erübrigt sich alles weitere.
Schau aber mal nach, ob Du die Aufgabe falsch abgeschreiben hast, ich tippe auf ein vergessenes Vorzeichen.
> Ich würde nämlich so vorgehen, dass ich versuchen würde
> f [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 6}[/mm] als Linearkombination der anderen
> Vektoren darzustellen und würde dann deren Bild mit dem
> jeweiligen Linearfaktor multiplizieren, um f [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 6}[/mm]
> zu erhalten.
>
> Man müsste also das LGS, um die Linearfaktoren zu
> erhalten:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & |4 \\ 2 & 1 & 1 & |5 \\ 3 & 0 & 1 & |6 }[/mm]
> lösen.
>
> Leider erhalte ich dann nach Umformung folgendes:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & |4 \\ 0 & 3 & 1 & |-3 \\ 0 & 0 & 0 & |-3 }.[/mm]
>
> Das würde aber doch wegen der 3. Zeile bedeuten, dass das
> LGS keine Lösung hat.
Ja, und so ist es auch.
[mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] liegt nicht im von den drei Vektoren aufgespannten Raum - ein weiterer grund dafür, daß die Aufgabe so, wie sie dasteht, nicht funktionieren kann.
> Also was tun?
Nochmal genau die Aufgabe angucken, ggf. bei den Chefs nachfragen.
> Oder ist mein Ansatz schon komplett falsch?
Er ist völlig richtig. Dir fehlt bloß der Mut zu sagen, daß diese Aufgabe so nicht lösbar ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Fr 26.02.2010 | | Autor: | PixCell |
Hi Angela,
vielen Dank für Deine Antwort.
Ich habe auch drei mal geschaut, ob ich die Aufgabe falsch abgeschrieben habe, aber nein. Möglicherweise ist es aber ein Tippfehler. Da es eine uralte Examensaufgabe bei uns ist, kann ich auch niemanden mehr nach eventueller Korrektur fragen.
Ich bin jedenfalls froh, dass mein Ansatz richtig ist, da ähnliche Aufgaben öfter mal vorkommen.
Dankbare Grüße
PixCell
|
|
|
|
