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| Aufgabe | Für A [mm] \in k^{n*n} [/mm] sei (ad A) : [mm] k^{n*n} \to k^{n*n} [/mm] definiert durch (ad A)(B):= [A, B] := AB - BA
a) ad A ist für jedes A [mm] \in k^{n*n} [/mm] linear und ad: [mm] k^{n*n} \to End(k^{n*n}) [/mm] ist linear.
b) Ist A:= [mm] diag(\lambda_1 [/mm] ... [mm] \lambda_n) [/mm] eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen [mm] \lambda_1 [/mm] ... [mm] \lambda_n, [/mm] so ist (ad [mm] A)E_{ij} [/mm] = [mm] (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j)E_{ij}. [/mm] Insbesondere ist ad A diagonalisierbar für diagonalisierbares A. |
zu a) Dass ad A linear ist, habe ich gezeigt. Hat jemand eine Idee wie man zeigen kann, dass ad: [mm] k^{n*n} \to End(k^{n*n}) [/mm] linear ist?
zu b) Hier habe ich gezeigt, dass der erste Teil der Aussage gilt. Aber wieso ad A diag. ist, sehe ich nicht. Ist es vielleicht offensichtlich, wenn man den ersten Teil der Aufgabe beweist?
Ich bin für alle Tipps dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für A [mm]\in k^{n*n}[/mm] sei (ad A) : [mm]k^{n*n} \to k^{n*n}[/mm]
> definiert durch (ad A)(B):= [A, B] := AB - BA
>
> a) ad A ist für jedes A [mm]\in k^{n*n}[/mm] linear und ad: [mm]k^{n*n} \to End(k^{n*n})[/mm]
> ist linear.
> b) Ist A:= [mm]diag(\lambda_1[/mm] ... [mm]\lambda_n)[/mm] eine
> Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen [mm]\lambda_1[/mm] ...
> [mm]\lambda_n,[/mm] so ist (ad [mm]A)E_{ij}[/mm] = [mm](\lambda_i[/mm] -
> [mm]\lambda_j)E_{ij}.[/mm] Insbesondere ist ad A diagonalisierbar
> für diagonalisierbares A.
>
> zu a) Dass ad A linear ist, habe ich gezeigt. Hat jemand
> eine Idee wie man zeigen kann, dass ad: [mm]k^{n*n} \to End(k^{n*n})[/mm]
> linear ist?
Na, wie man halt zeigt dass eine Funktion linear ist: du nimmst $A, A' [mm] \in k^{n \times n}$ [/mm] und [mm] $\lambda \in [/mm] k$ und zeigst $ad(A + A') = ad(A) + ad(A')$ und [mm] $ad(\lambda [/mm] A) = [mm] \lambda [/mm] ad(A)$.
So. Nun sind $ad(A + A'), [mm] \dots$ [/mm] wieder Funktionen. Und zwei Funktionen sind gleich, wenn sie fuer alle Funktionswerte uebereinstimmen.
Also nimm dir ein $B [mm] \in k^{n \times n}$ [/mm] und zeige $ad(A + A')(B) = (ad(A) + ad(A'))(B)$ und [mm] $ad(\lambda [/mm] A)(B) = [mm] (\lambda [/mm] ad(A))(B)$. Das ist jetzt einsetzen und rumrechnen, was du hinbekommen solltest.
> zu b) Hier habe ich gezeigt, dass der erste Teil der
> Aussage gilt.
Gut.
> Aber wieso ad A diag. ist, sehe ich nicht.
> Ist es vielleicht offensichtlich, wenn man den ersten Teil
> der Aufgabe beweist?
Es reicht der erste Teil von b), den du schon gemacht hast.
Damit $ad(A)$ diagonalisierbar ist, muss [mm] $k^{n \times n}$ [/mm] eine Basis besitzen bestehend aus Eigenvektoren von $ad(A)$. Du suchst also eine Basis [mm] $B_1, B_2, \dots$ [/mm] von [mm] $k^{n \times n}$, [/mm] so dass fuer jeden Basisvektor [mm] $B_i$ [/mm] ein [mm] $\lambda_i \in [/mm] k$ existiert mit [mm] $ad(A)(B_i) [/mm] = [mm] \lambda_i B_i$.
[/mm]
Wie du [mm] $B_i$ [/mm] und [mm] $\lambda_i$ [/mm] waelhen kannst liefert dir der erste Teil von b).
LG Felix
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