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Lineare Abbildung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:28 Sa 06.12.2003
Autor: Laura20

Hallo ihr Götter, ich bräuchte mal wieder ne kleine Unterstützung ;)
Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:
Es sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum,  f : V (pfeil) V sei linear. Zeigen Sie:
Es gibt Elemente a,b element von K, so dass für alle x element von V gilt:

f(f(x)) + af(x) + bx = 0

Hinweis: Behandeln Sie zunächst den Fall, dass ein x1 element von V existiert, so dass x1 und x2 :=f(x1 ) linear unabhängig sind und benutzen sie folgendes Lemma:
Sind f, g: V(pfeil)W zwei lineare Abbildungen und ist V=Span(x1 ,....,xn) und f(xi )=g(xi ) für i=1,...,n so gilt: f=g;
d.h. eine lineare abbildung ist schon durch ihre Werte auf einem Erzeugendemsystem festgelegt.

So weit so schlecht, denn ich hab keinen Plan wie das zu beweisen ist und dieses Lemma verwirrt mich mehr als das es mir hilft. Ich wär euch super dankbar wenn ihr mir helfen könntet,
liebe Grüße Laura.

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Sa 06.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Laura,

also, dann wollen wir die Aufgabe mal lösen. Eigentlich braucht man dafür aber keinen himmlischen Beistand. ;-)

1.Fall:  Es gibt ein [mm]x_1 \in V[/mm], so dass [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2=f(x_1)[/mm] linear unabhängig sind

Dann können wir wie folgt argumentieren. Da [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2=f(x_1)[/mm] nach Voraussetzung eine Basis von [mm]V[/mm] bilden, lässt sich [mm]-f(f(x_1)) \in V[/mm] als (eindeutige) Linearkombination der Basiselemente [mm]x_1[/mm] und [mm]f(x_1)[/mm] darstellen, d.h. es gibt Skalare [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] mit

(*) [mm]a\, x_1 + b\, f(x_1) = -f(f(x_1))[/mm].

Wendet man nun auf beide Seiten dieser Gleichung (*) die Abbildung [mm]f[/mm] an, so folgt aus der Linearität von [mm]f[/mm]:

[mm]a\, f(x_1) + b\, f(f(x_1)) = -f(f(f(x_1)))[/mm].

Ersetzen wir nun [mm]f(x_1)[/mm] durch [mm]x_2[/mm]. so erhalten wir:

(**) [mm]a\, x_2 + b\, f(x_2) = -f(f(x_2))[/mm].

Wir betrachten nun die beiden (linearen!) Abbildungen:

[mm]g(x) \stackrel{\mbox{\scriptsize def}}{=} a\, f(x) + b\, f(f(x))[/mm]

und

[mm]h(x) \stackrel{\mbox{\scriptsize def}}{=} -f(f(x))[/mm].

Aus (*) und (**) folgt, dass [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] auf den beiden Basiselementen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] übereinstimmen. Das bedeutet aber (siehe Lemma), dass sie auf ganz [mm]V[/mm] übereinstimmen, d.h. für alle [mm]x \in V[/mm] gilt:

[mm]g(x) = h(x)[/mm],

was gleichbedeutend mit

[mm]a\, x + b\, f(x) = - f(f(x))[/mm]

und damit der (zu zeigenden) Gleichheit

[mm]f(f(x)) + a\, x + b\, f(x) = 0[/mm].


2.Fall:  Für alle [mm]x \in V[/mm] sind [mm]x[/mm] und [mm]f(x)[/mm] linear abhängig.

Hier will ich erst einmal einen Vorschlag oder Ansatz von dir sehen. :-)

Liebe Grüße
Stefan


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