Linear,injektiv,surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab versucht, diese Aufgabe zu lösen. Zum Teil ist die Lösung richtig, aber nicht vollständig. Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Aufgabe:
Sei K ein Körper und sei V = [mm] K^{ \IN} [/mm] der übliche Vektorraum. Weiter sei [mm] \gamma: \IN \to \IN [/mm] eine Abbildung. Wir definieren H : V [mm] \to [/mm] V durch h(f) = f [mm] \circ \gamma [/mm] für f [mm] \in [/mm] V.
Zu zeigen:
a) h ist linear
b) h ist genau dann injektiv, wenn [mm] \gamma [/mm] surjektiv ist.
c) \ gamma ist genau dann injektiv, wenn h surjektiv ist.
zu a) Z.Z: h(f+g) = h(f) (x) + h(g) (x)
Beweis: h(f+g) (x) = ((f+g) [mm] \circ) [/mm] (x) = (f+g) [mm] (\gamma(x)) [/mm] = [mm] f(\gamma(x)) [/mm] + [mm] g(\gamma(x)) [/mm] = f [mm] \circ \gamma(x) [/mm] + g [mm] \circ \gamma(x) [/mm] = h(f)(x) + h(g)(x)
Z.Z.: h( [mm] \alpha [/mm] f) (x) = [mm] \alpha [/mm] h (f) (x)
h( [mm] \alpha [/mm] f) (x) = (( [mm] \alpha [/mm] f) [mm] \circ \gamma) [/mm] (x) = [mm] (\alpha [/mm] f) ( [mm] \gamma(x)) [/mm] = [mm] \alpha (f(\gamma(x))) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] (f [mm] \circ \gamma(x)) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] h(f) (x) für alle x, also h(f+g) = h(f) + h(g), [mm] h(\alpha [/mm] f) = [mm] \alpha [/mm] h(f)
b) h ist injektiv [mm] \equiv \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V: (h(x) = h(y) [mm] \to [/mm] x=y) [mm] \equiv \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V: (h(x) - h(y) = 0 [mm] \to [/mm] x-y = 0 ) [mm] \equiv [/mm] (da h linear) [mm] \forall \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V: (h(x-y) = 0 [mm] \to [/mm] x-y = 0) [mm] \equiv \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] V ( h(f) = 0 [mm] \to [/mm] f=0) [mm] \equiv \forall f\in [/mm] V (f [mm] \circ \gamma [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] f=0) [mm] \equiv \gamma [/mm] ist surjektiv
Hier stimmt etwas nicht, auf jeden fall hab ich da keine volle Punktzahl auf die b) bekommen. Wo liegt da der Fehler??
c) [mm] \gamma [/mm] ist injektiv
Gelte [mm] \gamma(x) [/mm] = [mm] \gamma(y)
[/mm]
Z.Z.: x =y
[mm] \gdw [/mm] f [mm] \circ \gamma(x) [/mm] = f [mm] \circ \gamma(y)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] h(f) (x) = h(f)(y)
[mm] \gdw [/mm] h(f(x)) = h(f(y))
Da h surjektiv, f(x) = f(y) [mm] \gdw [/mm] x=y
Da hab ich 0 Punkte bekommen. Ich hoffe, es kann mir bitte jemand erklären, was ich da falsch gemacht habe. Unser Korrektor schreibt nie hin, was falsch ist.
Danke, Moe 007
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, dein Tutor hat leider völlig recht. Ehrlich gesagt, hätte ich sogar für die b) und c) jeweils 0 Punkte gegeben, weil du die Begriffe "injektiv" und "surjektiv" zum Teil durcheinanderwirfst.
Aber ich will nicht kritisieren, sondern helfen. 
Also rechne ich dir die b) einmal vor, dann bekommst du die c) vielleicht selber hin.
1) Wir setzen voraus, dass $h$ injektiv ist und wollen daraus schließen, dass [mm] $\gamma$ [/mm] surjektiv ist.
Angenommen, [mm] $\gamma$ [/mm] wäre nicht surjektiv. Dann gäbe es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\gamma(m) \ne [/mm] n$ für alle [mm] $m\in \IN$,
[/mm]
also $n [mm] \notin Bild(\gamma)$-
[/mm]
Definiere nun für [mm] $k_1,\,k_2 \in \K$, $k_1 \ne k_2$ [/mm] zwei Funktionen [mm] $f_1:\IN \to [/mm] K$, [mm] $f_2:\IN \to [/mm] K$ wie folgt:
[mm] $f_1(n) [/mm] = [mm] k_1$
[/mm]
[mm] $f_2(n)=k_2$
[/mm]
[mm] $f_1(m)=f_2(m)=1 \in [/mm] K$ für alle $m [mm] \in \IN \setminus\{n\}$.
[/mm]
Dann gilt: [mm] $f_1 \ne f_2$, [/mm] aber:
[mm] $h(f_1) [/mm] = [mm] f_1 \circ \gamma [/mm] = [mm] f_2 \circ \gamma [/mm] = [mm] h(f_2)$,
[/mm]
wegen $n [mm] \notin Bild(\gamma)$. [/mm] Die wäre aber ein Widerspruch zur Injektivität von $h$.
2) Wir setzen voraus, dass [mm] $\gamma$ [/mm] surjektiv ist und wollen zeigen, dass $h$ injektiv ist.
Es seien [mm] $f_1,f_2 \in K^{\IN}$ [/mm] mit [mm] $f_1 \ne f_2$. [/mm] Dann gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $f_1(n) \ne f_2(n)$.
[/mm]
Da [mm] $\gamma$ [/mm] surjektiv ist, gibt es ein [mm] $m\in \IN$ [/mm] mit [mm] $\gamma(m)=n$.
[/mm]
Nun folgt:
[mm] $[h(f_1)](m) =(f_1 \circ \gamma)(m) [/mm] = [mm] f_1(n) \ne f_2(n) [/mm] = [mm] (f_2 \circ \gamma)(m) [/mm] = [mm] [h(f_2)](m)$,
[/mm]
also:
[mm] $h(f_1) \ne h(f_2)$.
[/mm]
Dies zeigt, dass $h$ injektiv ist.
Also, es war zwar einfach, aber bei weitem nicht so trivial, wie du es zeigen wolltest. 
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
