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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Linear Abhängig in Z_2^n
Linear Abhängig in Z_2^n < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Linear Abhängig in Z_2^n: Linear Abhängig in Z_2^n.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Fr 11.05.2012
Autor: ThomasTT

Es sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ_2=\{0,1\}$. [/mm] Dann ist [mm] $X=\IZ_2^n$ [/mm] der Vektorraum mit Vektoren, die nur 0 oder 1 als Einträge haben. Nun frage ich mich, wann eine Familie von Vektoren in X linear (un)abhängig sind. [mm] $0_v$ [/mm] ist der Nullvektor.

Nehmen wir uns zunächst 2 Vektoren [mm] $v,w\in [/mm] X$. Dann:
[mm] $v+w=0_v \gdw$ [/mm] $v,\ w$ sind linear abhängig
[mm] $v+w\ne 0_v \gdw$ [/mm] $v,\ w$ sind linear unabhängig
Stimmt das?

Nehmen wir nun [mm] $k\in\IN$ [/mm] paarweise verschiedene Vektoren [mm] $v_1,...,v_k\in [/mm] X$. Dann:
[mm] $v_1+...+v_k=0_v \gdw$ $v_1,...,v_k$ [/mm] sind linear abhängig
[mm] $v_1+...+v_k\ne 0_v \gdw$ $v_1,...,v_k$ [/mm] sind linear unabhängig
Stimmt das?

Gruß

        
Bezug
Linear Abhängig in Z_2^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Fr 11.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> Es sei [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]\IZ_2=\{0,1\}[/mm]. Dann ist [mm]X=\IZ_2^n[/mm] der
> Vektorraum mit Vektoren, die nur 0 oder 1 als Einträge
> haben. Nun frage ich mich, wann eine Familie von Vektoren
> in X linear (un)abhängig sind. [mm]0_v[/mm] ist der Nullvektor.
>  
> Nehmen wir uns zunächst 2 Vektoren [mm]v,w\in X[/mm]. Dann:
>  [mm]v+w=0_v \gdw[/mm] [mm]v,\ w[/mm] sind linear abhängig
>  [mm]v+w\ne 0_v \gdw[/mm] [mm]v,\ w[/mm] sind linear unabhängig
>  Stimmt das?

Nur wenn sichergestellt ist, dass $v [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] w$ gilt. Andernfalls muss das nicht stimmen.

> Nehmen wir nun [mm]k\in\IN[/mm] paarweise verschiedene Vektoren
> [mm]v_1,...,v_k\in X[/mm]. Dann:
>  [mm]v_1+...+v_k=0_v \gdw[/mm] [mm]v_1,...,v_k[/mm] sind linear abhängig
>  [mm]v_1+...+v_k\ne 0_v \gdw[/mm] [mm]v_1,...,v_k[/mm] sind linear
> unabhängig
>  Stimmt das?

Nein. Zum Beispiel koennen [mm] $v_1 [/mm] = [mm] v_2 \neq [/mm] 0$ sein und $0 [mm] \neq v_3 \neq v_1$; [/mm] dann gilt [mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] + [mm] v_3 \neq [/mm] 0$, jedoch sind [mm] $v_1, v_2, v_3$ [/mm] linear abhaengig.

LG Felix


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Bezug
Linear Abhängig in Z_2^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Fr 11.05.2012
Autor: ThomasTT


> Nein. Zum Beispiel koennen [mm]v_1 = v_2 \neq 0[/mm] sein und [mm]0 \neq v_3 \neq v_1[/mm];
> dann gilt [mm]v_1 + v_2 + v_3 \neq 0[/mm], jedoch sind [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
> linear abhaengig.

Deshalb hatte ich ja vorausgesetzt, dass die Vektoren paarweise verschieden sind. Gilt es dann?

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Linear Abhängig in Z_2^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Fr 11.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> > Nein. Zum Beispiel koennen [mm]v_1 = v_2 \neq 0[/mm] sein und [mm]0 \neq v_3 \neq v_1[/mm];
> > dann gilt [mm]v_1 + v_2 + v_3 \neq 0[/mm], jedoch sind [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
> > linear abhaengig.
>  
> Deshalb hatte ich ja vorausgesetzt, dass die Vektoren
> paarweise verschieden sind. Gilt es dann?

Nein.

Nimm einfach einen Haufen linear abhaengiger (und paarweise verschiedener) Vektoren, und irgendeinen der linear unabhaengig dazu ist. Zusammenaddiert kommt etwas [mm] $\neq [/mm] 0$ heraus, und das ganze ist linear abhaengig.

LG Felix


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Linear Abhängig in Z_2^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:46 Sa 12.05.2012
Autor: ThomasTT

Ah danke, dann nur noch eine Nachfrage. Kann man nun aber sagen:
[mm] $v_1+...+v_k=0_v \Rightarrow v_1,...,v_k$ [/mm] linear abhängig.
[mm] $v_1+...+v_k\ne0_v \Leftarrow v_1,...,v_k$ [/mm] linear unabhängig.

[mm] ($v_i\in\IZ_2^n$ $\forall [/mm] i$)


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Linear Abhängig in Z_2^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:42 Sa 12.05.2012
Autor: leduart

Hallo
Nein, eigentlich musst du doch wissen wie linear unabh, definiert ist, diese immer neuen Versuche, das anders zu machen nutzen dir nichts.
lies einfach nach was lin. unabh. bedeutet.
v1=v2=v3=vk alle lin abh. [mm] v1+v2+..+vk\ne [/mm] 0
Gruss leduart

Bezug
                                                
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Linear Abhängig in Z_2^n: Doch!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:13 Sa 12.05.2012
Autor: angela.h.b.


Moin leduart,

>  Nein,

Doch!

Ich widerspreche Dir nicht gern, trau mich schon fast nicht,
aber ich glaube,Du hast Thomas' Implikationspfeile nicht richtig angeguckt.
Die Aussagen, die dort jetzt stehen, sind sehr langweilig, aber sie stimmen.

> eigentlich musst du doch wissen wie linear unabh,
> definiert ist, diese immer neuen Versuche, das anders zu
> machen nutzen dir nichts.

Ich glaube/hoffe schon, daß Thomas die Def. der linearen Unabhängigkeit kennt.
Ich verstehe, was er tun möchte: er hofft, für diesen speziellen, übersichtlichen Raum [mm] \IZ_2^n [/mm] mit seinen nur zwei Skalaren ein ganz einfaches Kriterium für Unabhängigkeit aufstellen zu können, bei dem  nichts mehr zu rechnen ist.
Die Idee als solche ist doch gut! Wir wollen doch immer, daß sich die Lernenden mit den Begriffen beschäftigen, sie an eigenen Beispielen erproben etc.
Und wenn dann am Ende der Bemühungen die Erkenntnis steht, daß einen nichts besser retten kann als die Kenntnis und Anwendung der Definition, dann hat derjenige, der "vergeblich" rumgewurschtelt hat, etwas gelernt.

Langer Rede kurzer Sinn: ich finde Thomas' Tun prinzipiell gut - wenn ich mir auch wünschen würde, daß er über seine eigenen Ideen im stillen Kämmerlein noch etwas länger und schärfer nachgedacht hätte.

> lies einfach nach was lin. unabh. bedeutet.



> v1=v2=v3=vk alle lin abh. [mm]v1+v2+..+vk\ne[/mm] 0

(Du meinst hier sicher eine ungerade Anzahl von gleichen Vektoren.)

Wie gesagt: schau seine Pfeile an. Thomas redet inzwischen über - Trivialitäten, nicht mehr über Kriterien...

LG Angela

>  Gruss leduart


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Linear Abhängig in Z_2^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 Sa 12.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Ah danke, dann nur noch eine Nachfrage. Kann man nun aber
> sagen:
>  [mm]v_1+...+v_k=0_v \Rightarrow v_1,...,v_k[/mm] linear abhängig.

Hallo,

ja, das stimmt, und zwar völlig unabhängig davon, ob Du Vektoren des [mm] \IZ_2^n [/mm] betrachtest oder andere.
Linear abhängig sind Vektoren, wenn man sie nichttrivial zur 0 linearkombinieren kann.

>  [mm]v_1+...+v_k\ne0_v \Leftarrow v_1,...,v_k[/mm] linear  unabhängig.

Dies ist die Kontraposition von der Aussage oben, sie ist also gezwungenermaßen auch  richtig.
Wenn 0 rauskäme, wären die [mm] v_1,...,v_k [/mm] ja linear abhängig.
Auch dies ist keine Spezialität des [mm] \IZ_2^n. [/mm]

Die Aussagen gelten in allen Vektorräumen - und sie sind nicht besonders aufregend.

LG Angela

>  
> ([mm]v_i\in\IZ_2^n[/mm] [mm]\forall i[/mm])
>  


Bezug
                                                
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Linear Abhängig in Z_2^n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 So 13.05.2012
Autor: ThomasTT

Den etwas abwertenden Unterton missachte ich jetzt einfach mal (man darf doch wohl noch Fragen stellen dürfen) ...

Nichtsdestotrotz, danke für die Antworten.

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