Linear Abhängig,Teilmengen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Zeige, dass die folgenden teilmengen linear abhängig sind und gib jeweils ein Element an, dass sich als Linearkombination der restlichen schreiben lässt.
[mm] \vektor{2 \\ -1\\5},\vektor{3 \\ 1\\4},\vektor{1\\ -3\\6}\subseteq \IR^3 [/mm] |
Spalten sind linear unabhängig wenn ihr Rank der Spaltenanzahl entspricht
Spaltunumformungen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 &0 \\ -3 & 5 &0 \\6&-7&0 }
[/mm]
Rank=2 => Spalten linear abhängig
Sehe ich aus der Spaltenstufenform, wie ich die Linearkombination schreiben muss?
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> Zeige, dass die folgenden teilmengen linear abhängig sind
> und gib jeweils ein Element an, dass sich als
> Linearkombination der restlichen schreiben lässt.
> [mm]\vektor{2 \\ -1\\5},\vektor{3 \\ 1\\4},\vektor{1\\ -3\\6}\subseteq \IR^3[/mm]
>
> Spalten sind linear unabhängig wenn ihr Rank der
> Spaltenanzahl entspricht
> Spaltunumformungen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 &0 \\ -3 & 5 &0 \\6&-7&0 }[/mm]
> Rank=2 => Spalten
> linear abhängig
>
> Sehe ich aus der Spaltenstufenform, wie ich die
> Linearkombination schreiben muss?
So ohne weiteres nein.
Du müsstest schon deine Schritte ein wenig zurückverfolgen.
Bei Spaltenumformungen kannst du die Spalten ja beliebig addieren, multiplizieren, vertauschen; also an dieser Spaltenform siehst du erstmal nur, dass sich einer der drei als Linearkombination der anderen schreiben lässt; um herauszufinden wie genau müsstest du wie gesagt deine Schritte zurückverfolgen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Also sollte ich lieber nicht vertauschen um das zurückzuverfolgen=?
Ich machs nochmal:
$ [mm] \pmat{ 2 & 3 &1 \\ -1 & 1 &-3\\5&4&6} [/mm] $
II: -3/2 * I + II Spalte
III: -1/2 *I + III Spalte
$ [mm] \pmat{ 2 & 0&0 \\ -1 & 5/2 &-5/2\\5&-7/2&7/2} [/mm] $
III: 1* II Spalte + III Spalte
[mm] \pmat{ 2 & 0&0 \\ -1 & 5/2 &0\\5&-7/2&0} [/mm]
Wie läuft dieses zurückverfolgen nun genau ab=?
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Nun, du hast nun die dritte Spalte weggeräumt.
Guck dir jetzt an, was genau du draufaddiert hast.
III: 1* II + III = 1*(-3/2 * I + II) -1/2 *I + III = ...
Und du weißt, dass da Null raus kommt.
Also hast du deine Linearkombination, musst nur noch einen davon auf die andere Seite packen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
III: II + III = (-3/2 * I + II) -1/2 *I + III = 0
2* I - II = III
[mm] \vektor{1 \\ -3\\6}= [/mm] 2 [mm] *\vektor{2 \\ -1\\5}-\vektor{3 \\ 1\\4}
[/mm]
Ich danke dir !!
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