Lin. Hülle, Erzeug.system, Bas < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 10.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo,
kann mir jemand von euch die Begriffe Lineare Hülle, Erzeugendensystem und Basis erklären. Ich versuche schon seit geraumer Zeit herauszufinden um was es sich hierbei handelt, aber ich steig einfach nicht dahinter!
Am besten wäre vielleicht eine Erklärung anhand von einem Beispiel.
Bin für jede Hilfe dankbar
mfg Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 10.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Zu den Begriffen in einem Vektorraum [mm]V[/mm]:
*lineare Hülle einer Menge [mm]A\subseteq V[/mm]: Menge aller Elemente, die sich als Linearkombination von Elementen aus [mm]A[/mm] darstellen läßt.
Ist z.B. [mm]A= \left{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right}[/mm] dann enthält die linear Hülle [mm]\langle A \rangle [/mm] alle Elemente, die sich darstellen lassen als [mm]\alpha_1\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\alpha_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ \alpha_3 \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm].
* Eine Menge [mm]A[/mm] erzeugt eine (dann notwendigerweise linear abgeschlossene) Menge [mm]U[/mm], wenn [mm]U=\langle A \rangle [/mm]. Also erzeugt das [mm]A[/mm] von oben logischerweise [mm][/mm], aber [mm]A^\prime= \left{\vektor{1 \\ 2 \\ 2}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right}[/mm] tut das auch.
* Eine Basis einer (wieder notwendigerweise abgeschlossenen) Menge [mm]U[/mm] ist ein Erzeugendensystem minimaler Kardinalität. So erzeugt [mm]A^{\prime\prime}= \left{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}\right}[/mm] dieselbe Menge wie [mm]A[/mm] und [mm] [A^\prime[/mm], [/mm] ist aber minimal (linear unabhängig).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 10.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo bazzzty,
ad Lineare Hüllen:
Das würde also bedeuten, dass die Lineare Hülle unendlich viele Möglichkeiten enthält, da die Koeffizienten [mm] \in \IR [/mm] sind oder ist das so nicht richtig?
Wenn ich nachweisen muss, ob ein beliebiger Untervektorraum eine Lineare Hülle eines Vektorraumes darstellt, muss ich also nur nachweisen, dass es mindestens eine Linearkombination gibt? Ist das so richtig?
ad Erzeugendensystem:
Ich versteh nur Bahnhof. was bedeutet U=<A> und was hat es mit diesem A´ auf sich, das du gezeigt hast?
ad Basis:
Ich muss vermutlich erst verstehen was ein Erzeugendensystem ist, bevor ich bei der Basis den Durchblick habe!
Ich hoffe, dass ich deine Nerven nicht zu sehr strapaziere...
mfg Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 10.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Wenn Du eine Menge von Vektoren hast, dann ist die lineare Hülle die Menge aller Vektoren, die sich damit 'zusammenbauen' lassen. Das ist ein Untervektorraum, gegebenenfalls der Vektorraum selbst. Ist der Vektorraum [mm]\IR[/mm], dann enthält die lineare Hülle einer Menge von Vektoren unendlich viele Elemente, es sei denn, die Menge bestand nur aus dem Nullvektor.
Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren kann nicht größer sein als der Vektorraum selbst.
Im [mm]\IR^3[/mm] ist die lineare Hülle von zwei Vektoren entweder eine Gerade oder eine Ebene durch den Ursprung (die lineare Hülle ist ein Untervektorraum, der die beiden enthält). Das hängt davon ab, ob der eine Vektor sich durch den anderen darstellen läßt wie [mm]x_1=\alpha x_2[/mm].
Bleiben wir bei dem Beispiel:
Angenommen, die beiden Vektoren spannen eine Ebene auf. Dann kann ich aber auch zwei andere Punkte nehmen, die nicht gemeinsam auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Diese Punkte haben auch diese Ebene als lineare Hülle, sie erzeugen die Ebene auch, sind ein Erzeugendensystem.
Wenn meine beiden Vektoren vom Anfang allerdings auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung liegen, ist ihre gemeinsame Hülle nur diese Gerade. Die beiden Vektoren sind damit kein minimales Erzeugendensystem, ich kann genauso einen von beiden weglassen, ohne an der Hülle etwas zu ändern. Die beiden Vektoren anzugeben ist also nicht minimal.
Ist ein Erzeugendensystem minimal, kann man also keinen Vektor weglassen, ohne an der Hülle (=dem minimalen Untervektorraum, der die Vektoren enthält) etwas zu ändern, dann nennt man so eine Menge von Vektoren Basis des Untervektorraums.
Eine Basis des Vektorraums ist demnach eine minimale Menge von Vektoren, als deren Linearkombination sich jeder Vektor des Vektorraumes darstellen läßt,.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Guten Morgen Bazzzty,
vorerst danke für deine ausgezeichnete Beschreibung. Ich hab das ganze jetzt endlich durchschaut! 
Eine letzte Frage hätte ich noch:
Ist eigentlich mit dem Begriff "Erzeugnis" das gleiche gemeint wie mit der "Linearen Hülle"? Nach meinem Verständnis müsste das gleiche gemeint sein!
Nochmal danke für deine Geduld
mfg Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Fr 11.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Ja, das ist dasselbe.
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