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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Do 30.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe 1 | Es seien [mm] \gamma \ge [/mm] 0, [mm] \omega_0, \omega [/mm] > 0, A [mm] \in \IC [/mm] und [mm] a_1, a_2 \in [/mm] IR.
a) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung von [mm] y''+\gamma y'+\omega_0^2y [/mm] = 0. |
| Aufgabe 2 | b) Bestimmen Sie eine partikuläre (komplexe) Lösung von
[mm] y''+\gamma y'+\omega_0^2y [/mm] = [mm] Ae^{i \omega t}. [/mm] |
| Aufgabe 3 | c) Bestimmen Sie eine partikuläre (reelle) Lösung von
[mm] y''+\gamma y'+\omega_0^2y [/mm] = [mm] a_1 cos(\omega [/mm] t) + [mm] a_2 sin(\omega [/mm] t) |
Hallo zusammen,
ich sitze nun seit einigen Tagen an den oben genannten Aufgaben(teilen) und versuche diese zu lösen.
Teil a) und b) habe ich glaube ich soweit hinbekommen, aber vielleicht könnte jemand von euch da mal drüberschauen, ob das auch richtig ist?
Bei Teil c) hänge ich allerdings und kriege das noch nicht hin. Ich wäre euch bei der Aufgabe für Tipps, Hinweise etc also sehr dankbar :)
Also zunächst Teil a):
Charakteristisches Polynom: P(t)= [mm] t^2+\gamma t+\omega_0^2
[/mm]
P(t) = 0 [mm] \gdw (t+\bruch{\gamma}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{\gamma^2}{4} [/mm] - [mm] \omega_0^2
[/mm]
1. Fall: [mm] \bruch{\gamma^2}{4}=\omega_0^2
[/mm]
t=- [mm] \bruch{\gamma}{2} [/mm] (doppelt)
Also Fundamentalsystem: x [mm] \mapsto e^{- \bruch{\gamma}{2}x}; [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x * [mm] e^{- \bruch{\gamma}{2}x}
[/mm]
2. Fall: [mm] \bruch{\gamma^2}{4} [/mm] > [mm] \omega_0^2
[/mm]
t= - [mm] \bruch{\gamma}{2} \pm \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2}
[/mm]
Fundamentalsystem: x [mm] \mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}+ \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x}, [/mm] x [mm] \mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}- \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x}
[/mm]
3. Fall: [mm] \bruch{\gamma^2}{4} [/mm] < [mm] \omega_0^2
[/mm]
t= [mm] \bruch{1}{2}(-\gamma \pm [/mm] i [mm] \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})
[/mm]
Fundamentalsystem: x [mm] \mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma + i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x}, [/mm] x [mm] \mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma - i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x}
[/mm]
Teil b) :
In Fall 1 und 2, sowie in Fall 3 für [mm] \gamma [/mm] >0, ist die partikuläre Lösung
[mm] \psi [/mm] (x) = [mm] \bruch{A}{P(i \omega)}*e^{i \omega x} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(i \omega)^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x} [/mm] = [mm] \bruch{A}{- \omega^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}
[/mm]
Für [mm] \gamma=0 [/mm] in Fall 3 sind [mm] \mu [/mm] = [mm] \pm [/mm] i [mm] \omega_0 [/mm] Nullstellen von P, wobei [mm] \mu [/mm] = - i [mm] \omega_0 [/mm] nicht definiert, da dann [mm] \omega [/mm] = - [mm] \omega_0, [/mm] was im Widerspruch zu [mm] \omega, \omega_0 [/mm] >0 steht.
Nun also [mm] \omega [/mm] = [mm] \omega_0
[/mm]
Dann [mm] \psi(x) [/mm] = q*(x) [mm] \* e^{i \omega_0 x}. [/mm] Grad q* = 1+ grad(q)=1
Also [mm] \psi(x) [/mm] = (b+cx) [mm] e^{i \omega_0 x}
[/mm]
Einsetzen liefert nun ((b+ct) [mm] e^{i \omega_0 t})'' [/mm] + [mm] \gamma [/mm] ((b+ct) [mm] e^{i \omega_0 t})'+ \omega_0^2 [/mm] ((b+ct) [mm] e^{i \omega_0 t}) [/mm] = A [mm] e^{i \omega_0 t} \gdw c=\bruch{A}{2 i \omega_0} [/mm] und b beliebig.
Mit Teil c) komme ich leider nicht wirklich klar:
Aus Teil a habe ich ja bereits die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und das Fundamentalsystem der homogenen Gleichung
Ich habe nun überlegt, dass ich nun
y'' + [mm] \gamma [/mm] y' + [mm] \omega_0^2 [/mm] y = [mm] a_1 [/mm] * [mm] e^{i \omega t} [/mm] + [mm] a_2* e^{i \omega t} [/mm] = [mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2) e^{i \omega t} [/mm] betrachten könnte, weiß aber gar nicht, ob das überhaupt so stimmt.
Was mir bei diesem Aufgabenteil Probleme bereitet sind sin und cos auf der rechten Seite und ich kann damit noch nicht so ganz etwas anfangen...
Kann mir jemand hier weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!
Schönen Feiertag, Pia
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Hallo Pia90,
> Es seien [mm]\gamma \ge[/mm] 0, [mm]\omega_0, \omega[/mm] > 0, A [mm]\in \IC[/mm] und
> [mm]a_1, a_2 \in[/mm] IR.
>
> a) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung von
> [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = 0.
> b) Bestimmen Sie eine partikuläre (komplexe) Lösung von
> [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = [mm]Ae^{i \omega t}.[/mm]
> c) Bestimmen
> Sie eine partikuläre (reelle) Lösung von
> [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = [mm]a_1 cos(\omega[/mm] t) + [mm]a_2 sin(\omega[/mm]
> t)
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze nun seit einigen Tagen an den oben genannten
> Aufgaben(teilen) und versuche diese zu lösen.
> Teil a) und b) habe ich glaube ich soweit hinbekommen,
> aber vielleicht könnte jemand von euch da mal
> drüberschauen, ob das auch richtig ist?
> Bei Teil c) hänge ich allerdings und kriege das noch
> nicht hin. Ich wäre euch bei der Aufgabe für Tipps,
> Hinweise etc also sehr dankbar :)
>
> Also zunächst Teil a):
>
> Charakteristisches Polynom: P(t)= [mm]t^2+\gamma t+\omega_0^2[/mm]
>
> P(t) = 0 [mm]\gdw (t+\bruch{\gamma}{2})^2[/mm] = [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm]
> - [mm]\omega_0^2[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}=\omega_0^2[/mm]
> t=- [mm]\bruch{\gamma}{2}[/mm] (doppelt)
> Also Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{- \bruch{\gamma}{2}x};[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] x * [mm]e^{- \bruch{\gamma}{2}x}[/mm]
>
> 2. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm] > [mm]\omega_0^2[/mm]
> t= - [mm]\bruch{\gamma}{2} \pm \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2}[/mm]
>
> Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}+ \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x},[/mm]
> x [mm]\mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}- \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x}[/mm]
>
> 3. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm] < [mm]\omega_0^2[/mm]
> t= [mm]\bruch{1}{2}(-\gamma \pm[/mm] i [mm]\wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})[/mm]
>
> Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma + i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x},[/mm]
> x [mm]\mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma - i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x}[/mm]
>
>
> Teil b) :
> In Fall 1 und 2, sowie in Fall 3 für [mm]\gamma[/mm] >0, ist die
> partikuläre Lösung
> [mm]\psi[/mm] (x) = [mm]\bruch{A}{P(i \omega)}*e^{i \omega x}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{(i \omega)^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}[/mm]
> = [mm]\bruch{A}{- \omega^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}[/mm]
>
> Für [mm]\gamma=0[/mm] in Fall 3 sind [mm]\mu[/mm] = [mm]\pm[/mm] i [mm]\omega_0[/mm]
> Nullstellen von P, wobei [mm]\mu[/mm] = - i [mm]\omega_0[/mm] nicht
> definiert, da dann [mm]\omega[/mm] = - [mm]\omega_0,[/mm] was im Widerspruch
> zu [mm]\omega, \omega_0[/mm] >0 steht.
>
> Nun also [mm]\omega[/mm] = [mm]\omega_0[/mm]
> Dann [mm]\psi(x)[/mm] = q*(x) [mm]\* e^{i \omega_0 x}.[/mm] Grad q* = 1+
> grad(q)=1
> Also [mm]\psi(x)[/mm] = (b+cx) [mm]e^{i \omega_0 x}[/mm]
> Einsetzen liefert
> nun ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})''[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})'+ \omega_0^2[/mm]
> ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})[/mm] = A [mm]e^{i \omega_0 t} \gdw c=\bruch{A}{2 i \omega_0}[/mm]
> und b beliebig.
>
Daß b hier beliebig ist, ist kein Wunder,
denn [mm]e^{i*\omega_{0}*t}[/mm] ist ja Lösung der homogenen DGL.
>
> Mit Teil c) komme ich leider nicht wirklich klar:
> Aus Teil a habe ich ja bereits die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms und das Fundamentalsystem der
> homogenen Gleichung
>
> Ich habe nun überlegt, dass ich nun
> y'' + [mm]\gamma[/mm] y' + [mm]\omega_0^2[/mm] y = [mm]a_1[/mm] * [mm]e^{i \omega t}[/mm] +
> [mm]a_2* e^{i \omega t}[/mm] = [mm](a_1[/mm] + [mm]a_2) e^{i \omega t}[/mm] betrachten
> könnte, weiß aber gar nicht, ob das überhaupt so
> stimmt.
> Was mir bei diesem Aufgabenteil Probleme bereitet sind sin
> und cos auf der rechten Seite und ich kann damit noch nicht
> so ganz etwas anfangen...
> Kann mir jemand hier weiterhelfen?
>
Hier empfiehlt sich die reelle Rechnung.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Schönen Feiertag, Pia
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 30.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
Danke zunächst einmal für die Antwort!
> Hallo Pia90,
>
> > Es seien [mm]\gamma \ge[/mm] 0, [mm]\omega_0, \omega[/mm] > 0, A [mm]\in \IC[/mm] und
> > [mm]a_1, a_2 \in[/mm] IR.
> >
> > a) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung von
> > [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = 0.
> > b) Bestimmen Sie eine partikuläre (komplexe) Lösung
> von
> > [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = [mm]Ae^{i \omega t}.[/mm]
> > c)
> Bestimmen
> > Sie eine partikuläre (reelle) Lösung von
> > [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = [mm]a_1 cos(\omega[/mm] t) + [mm]a_2 sin(\omega[/mm]
> > t)
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich sitze nun seit einigen Tagen an den oben genannten
> > Aufgaben(teilen) und versuche diese zu lösen.
> > Teil a) und b) habe ich glaube ich soweit hinbekommen,
> > aber vielleicht könnte jemand von euch da mal
> > drüberschauen, ob das auch richtig ist?
> > Bei Teil c) hänge ich allerdings und kriege das noch
> > nicht hin. Ich wäre euch bei der Aufgabe für Tipps,
> > Hinweise etc also sehr dankbar :)
> >
> > Also zunächst Teil a):
> >
> > Charakteristisches Polynom: P(t)= [mm]t^2+\gamma t+\omega_0^2[/mm]
>
> >
> > P(t) = 0 [mm]\gdw (t+\bruch{\gamma}{2})^2[/mm] = [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm]
> > - [mm]\omega_0^2[/mm]
> >
> > 1. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}=\omega_0^2[/mm]
> > t=- [mm]\bruch{\gamma}{2}[/mm] (doppelt)
> > Also Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{- \bruch{\gamma}{2}x};[/mm]
> > x [mm]\mapsto[/mm] x * [mm]e^{- \bruch{\gamma}{2}x}[/mm]
> >
> > 2. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm] > [mm]\omega_0^2[/mm]
> > t= - [mm]\bruch{\gamma}{2} \pm \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2}[/mm]
>
> >
> > Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}+ \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x},[/mm]
> > x [mm]\mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}- \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x}[/mm]
>
> >
> > 3. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm] < [mm]\omega_0^2[/mm]
> > t= [mm]\bruch{1}{2}(-\gamma \pm[/mm] i [mm]\wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})[/mm]
>
> >
> > Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma + i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x},[/mm]
> > x [mm]\mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma - i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x}[/mm]
>
> >
> >
> > Teil b) :
> > In Fall 1 und 2, sowie in Fall 3 für [mm]\gamma[/mm] >0, ist
> die
> > partikuläre Lösung
> > [mm]\psi[/mm] (x) = [mm]\bruch{A}{P(i \omega)}*e^{i \omega x}[/mm] =
> > [mm]\bruch{A}{(i \omega)^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}[/mm]
> > = [mm]\bruch{A}{- \omega^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}[/mm]
>
> >
> > Für [mm]\gamma=0[/mm] in Fall 3 sind [mm]\mu[/mm] = [mm]\pm[/mm] i [mm]\omega_0[/mm]
> > Nullstellen von P, wobei [mm]\mu[/mm] = - i [mm]\omega_0[/mm] nicht
> > definiert, da dann [mm]\omega[/mm] = - [mm]\omega_0,[/mm] was im Widerspruch
> > zu [mm]\omega, \omega_0[/mm] >0 steht.
> >
> > Nun also [mm]\omega[/mm] = [mm]\omega_0[/mm]
> > Dann [mm]\psi(x)[/mm] = q*(x) [mm]\* e^{i \omega_0 x}.[/mm] Grad q* = 1+
> > grad(q)=1
> > Also [mm]\psi(x)[/mm] = (b+cx) [mm]e^{i \omega_0 x}[/mm]
> > Einsetzen
> liefert
> > nun ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})''[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})'+ \omega_0^2[/mm]
> > ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})[/mm] = A [mm]e^{i \omega_0 t} \gdw c=\bruch{A}{2 i \omega_0}[/mm]
> > und b beliebig.
> >
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>
> Daß b hier beliebig ist, ist kein Wunder,
> denn [mm]e^{i*\omega_{0}*t}[/mm] ist ja Lösung der homogenen DGL.
Sind meine Ausführungen denn insgesamt richtig?
>
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> >
> > Mit Teil c) komme ich leider nicht wirklich klar:
> > Aus Teil a habe ich ja bereits die Nullstellen des
> > charakteristischen Polynoms und das Fundamentalsystem der
> > homogenen Gleichung
> >
> > Ich habe nun überlegt, dass ich nun
> > y'' + [mm]\gamma[/mm] y' + [mm]\omega_0^2[/mm] y = [mm]a_1[/mm] * [mm]e^{i \omega t}[/mm] +
> > [mm]a_2* e^{i \omega t}[/mm] = [mm](a_1[/mm] + [mm]a_2) e^{i \omega t}[/mm] betrachten
> > könnte, weiß aber gar nicht, ob das überhaupt so
> > stimmt.
> > Was mir bei diesem Aufgabenteil Probleme bereitet sind
> sin
> > und cos auf der rechten Seite und ich kann damit noch nicht
> > so ganz etwas anfangen...
> > Kann mir jemand hier weiterhelfen?
> >
>
>
> Hier empfiehlt sich die reelle Rechnung.
Ich muss gestehen, dass ich hiermit leider nicht allzu viel anfangen kann... Ich glaube ich stehe vollkommen auf dem Schlauch...
Wie muss ich denn dann ansetzen?
>
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> >
> > Vielen Dank im Voraus!
> >
> > Schönen Feiertag, Pia
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Pia90,
> Danke zunächst einmal für die Antwort!
>
> > Hallo Pia90,
> >
> > > Es seien [mm]\gamma \ge[/mm] 0, [mm]\omega_0, \omega[/mm] > 0, A [mm]\in \IC[/mm] und
> > > [mm]a_1, a_2 \in[/mm] IR.
> > >
> > > a) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung von
> > > [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = 0.
> > > b) Bestimmen Sie eine partikuläre (komplexe)
> Lösung
> > von
> > > [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = [mm]Ae^{i \omega t}.[/mm]
> > > c)
> > Bestimmen
> > > Sie eine partikuläre (reelle) Lösung von
> > > [mm]y''+\gamma y'+\omega_0^2y[/mm] = [mm]a_1 cos(\omega[/mm] t) + [mm]a_2 sin(\omega[/mm]
> > > t)
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > ich sitze nun seit einigen Tagen an den oben genannten
> > > Aufgaben(teilen) und versuche diese zu lösen.
> > > Teil a) und b) habe ich glaube ich soweit
> hinbekommen,
> > > aber vielleicht könnte jemand von euch da mal
> > > drüberschauen, ob das auch richtig ist?
> > > Bei Teil c) hänge ich allerdings und kriege das
> noch
> > > nicht hin. Ich wäre euch bei der Aufgabe für Tipps,
> > > Hinweise etc also sehr dankbar :)
> > >
> > > Also zunächst Teil a):
> > >
> > > Charakteristisches Polynom: P(t)= [mm]t^2+\gamma t+\omega_0^2[/mm]
>
> >
> > >
> > > P(t) = 0 [mm]\gdw (t+\bruch{\gamma}{2})^2[/mm] = [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm]
> > > - [mm]\omega_0^2[/mm]
> > >
> > > 1. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}=\omega_0^2[/mm]
> > > t=- [mm]\bruch{\gamma}{2}[/mm] (doppelt)
> > > Also Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{- \bruch{\gamma}{2}x};[/mm]
> > > x [mm]\mapsto[/mm] x * [mm]e^{- \bruch{\gamma}{2}x}[/mm]
> > >
> > > 2. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm] > [mm]\omega_0^2[/mm]
> > > t= - [mm]\bruch{\gamma}{2} \pm \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2}[/mm]
>
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> > >
> > > Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}+ \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x},[/mm]
> > > x [mm]\mapsto e^{(- \bruch{\gamma}{2}- \wurzel{\bruch{\gamma^2}{4}- \omega_0^2})x}[/mm]
>
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> > > 3. Fall: [mm]\bruch{\gamma^2}{4}[/mm] < [mm]\omega_0^2[/mm]
> > > t= [mm]\bruch{1}{2}(-\gamma \pm[/mm] i [mm]\wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})[/mm]
>
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> > >
> > > Fundamentalsystem: x [mm]\mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma + i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x},[/mm]
> > > x [mm]\mapsto e^{\bruch{1}{2}(-\gamma - i \wurzel{4 \omega_0^2 - \gamma^2})x}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Teil b) :
> > > In Fall 1 und 2, sowie in Fall 3 für [mm]\gamma[/mm] >0, ist
> > die
> > > partikuläre Lösung
> > > [mm]\psi[/mm] (x) = [mm]\bruch{A}{P(i \omega)}*e^{i \omega x}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{A}{(i \omega)^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{A}{- \omega^2 + \gamma i \omega + \omega_0^2}*e^{i \omega x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für [mm]\gamma=0[/mm] in Fall 3 sind [mm]\mu[/mm] = [mm]\pm[/mm] i [mm]\omega_0[/mm]
> > > Nullstellen von P, wobei [mm]\mu[/mm] = - i [mm]\omega_0[/mm] nicht
> > > definiert, da dann [mm]\omega[/mm] = - [mm]\omega_0,[/mm] was im Widerspruch
> > > zu [mm]\omega, \omega_0[/mm] >0 steht.
> > >
> > > Nun also [mm]\omega[/mm] = [mm]\omega_0[/mm]
> > > Dann [mm]\psi(x)[/mm] = q*(x) [mm]\* e^{i \omega_0 x}.[/mm] Grad q* =
> 1+
> > > grad(q)=1
> > > Also [mm]\psi(x)[/mm] = (b+cx) [mm]e^{i \omega_0 x}[/mm]
> > >
> Einsetzen
> > liefert
> > > nun ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})''[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})'+ \omega_0^2[/mm]
> > > ((b+ct) [mm]e^{i \omega_0 t})[/mm] = A [mm]e^{i \omega_0 t} \gdw c=\bruch{A}{2 i \omega_0}[/mm]
> > > und b beliebig.
> > >
> >
> >
> > Daß b hier beliebig ist, ist kein Wunder,
> > denn [mm]e^{i*\omega_{0}*t}[/mm] ist ja Lösung der homogenen
> DGL.
>
> Sind meine Ausführungen denn insgesamt richtig?
>
Ja.
> >
> >
> > >
> > > Mit Teil c) komme ich leider nicht wirklich klar:
> > > Aus Teil a habe ich ja bereits die Nullstellen des
> > > charakteristischen Polynoms und das Fundamentalsystem der
> > > homogenen Gleichung
> > >
> > > Ich habe nun überlegt, dass ich nun
> > > y'' + [mm]\gamma[/mm] y' + [mm]\omega_0^2[/mm] y = [mm]a_1[/mm] * [mm]e^{i \omega t}[/mm] +
> > > [mm]a_2* e^{i \omega t}[/mm] = [mm](a_1[/mm] + [mm]a_2) e^{i \omega t}[/mm] betrachten
> > > könnte, weiß aber gar nicht, ob das überhaupt so
> > > stimmt.
> > > Was mir bei diesem Aufgabenteil Probleme bereitet
> sind
> > sin
> > > und cos auf der rechten Seite und ich kann damit noch nicht
> > > so ganz etwas anfangen...
> > > Kann mir jemand hier weiterhelfen?
> > >
> >
> >
> > Hier empfiehlt sich die reelle Rechnung.
>
> Ich muss gestehen, dass ich hiermit leider nicht allzu viel
> anfangen kann... Ich glaube ich stehe vollkommen auf dem
> Schlauch...
> Wie muss ich denn dann ansetzen?
>
Das kommt darauf an, ob die rechte Seite der DGL eine Lösung
der homogenen DGL ist oder nicht,.
Der Ansatz im Falle, daß die rechte Seite der DGL
keine Lösung der homogenen DGL ist:
[mm]c_{1}*\cos\left(\omega*t\right)+c_{2}*\sin\left(\omega*t\right)[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Vielen Dank im Voraus!
> > >
> > > Schönen Feiertag, Pia
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Di 04.06.2013 | | Autor: | Pia90 |
Danke :)
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