Lin. Abbildungen und Matrizen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | http://img208.imageshack.us/img208/4184/63805951.jpg
http://img24.imageshack.us/img24/3675/76121110.jpg |
Hallo,
die Links führen zu den Aufgaben, wo ich Probleme habe. Es geht um alle 3 Teilaufgaben.
Soweit bin ich bei Teilaufgabe a):
http://img268.imageshack.us/img268/2822/scannen0001xh.jpg
Ich weiß, dass die ersten l Spalten Nullspalten sind. Jetzt weiß ich nicht, wie ich beweisen soll, dass ab der Spalte l+1 bis n, die Spalten so aussehen wie auf dem Blatt angegeben. Mit V/Ker(f) ist doch der Quotientenraum gemeint, richtig? Soll B' hier eine Basis sein, oder ist das erstmal nur eine Familie von beliebigen Vektoren in V/ker(f) ?
Zu b).
Hier bin ich gerade: http://img171.imageshack.us/img171/355/scannen0002st.jpg
Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand nen Denkanstoß geben, wie ich aus meinem Ansatz jetzt schließen kann, dass die Spur(f) = 0 sein muss?
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> http://img208.imageshack.us/img208/4184/63805951.jpg
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> http://img24.imageshack.us/img24/3675/76121110.jpg
Hallo,
tippe doch bitte Aufgaben und Lösungsansätze hier ein.
Das mag für Dich unbequem sein, Deinen Helfern gegenüber ist es aber entschieden höflicher: man hat alles auf einen Blick, kann markieren und kopieren und muß nicht alles selbst tippen.
> Ich weiß, dass die ersten l Spalten Nullspalten sind.
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich beweisen soll, dass ab der
> Spalte l+1 bis n, die Spalten so aussehen wie auf dem Blatt
> angegeben. Mit V/Ker(f) ist doch der Quotientenraum
> gemeint, richtig?
Ja.
> Soll B' hier eine Basis sein, oder ist
> das erstmal nur eine Familie von beliebigen Vektoren in
> V/ker(f) ?
Es soll keine Basis sein, es ist eine Basis des Quotientenraumes.
Ich denke, dies wurde in der Vorlesung oder einer der vorhergehenden Übungen gezeigt. Überlege Dir, wie man eine Basis des Quotientenraumes findet - dann wirst Du sehen, daß B' eine ist.
>
> Zu b).
Hier wurde ich erstmal bedenken, wie [mm] (M_B^B(f))^r [/mm] aussieht.
(Multiplikation von Blockmatrizen)
Dann bekommst Du, daß [mm] (M_{B'}^{B'}(f_{V/kern(f)}))^r=0.
[/mm]
Ich denke schon, daß das weiterhilft - aber mir fehlen gerade Stift und Papier.
LG Angela
>
> Hier bin ich gerade:
> http://img171.imageshack.us/img171/355/scannen0002st.jpg
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> Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand nen
> Denkanstoß geben, wie ich aus meinem Ansatz jetzt
> schließen kann, dass die Spur(f) = 0 sein muss?
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Ok, ich habe jetzt verstanden, warum das eine Basis von V/ker(f) ist. Kann es sein, dass [mm] f_{V/Ker(f)} [/mm] eine Bijektion ist?
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Also ich bekomme jetzt raus, dass die darstellende Matrix von [mm] f_{V/Ker(f)} [/mm] bzgl der Basis B' die Einheitsmatrix ist. Stimmt das?
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> Also ich bekomme jetzt raus, dass die darstellende Matrix
> von [mm]f_{V/Ker(f)}[/mm] bzgl der Basis B' die Einheitsmatrix ist.
> Stimmt das?
Hallo,
sag' uns doch nicht nur die Ergebnisse Deiner Überlegungen, sondern entfalte uns Deine Argumentation. Dann können wir mitdenken und sagen, ob's richtig ist oder nicht.
Spontan würd' ich sagen: nicht richtig, aber ich habe sicher nicht so lange nachgedacht wie Du. Vielleicht kannst Du mich überzeugen.
LG AngelA
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> Ok, ich habe jetzt verstanden, warum das eine Basis von
> V/ker(f) ist. Kann es sein, dass [mm]f_{V/Ker(f)}[/mm] eine
> Bijektion ist?
Hallo,
bestimmt ist das in gewissen Fällen so.
Ob es immer so ist, da bin ich skeptisch.
Auch hier gilt: laß uns an Deinen Überlegungen teilnehmen.
Die Idee ist doch, daß wir diese verfolgen und kommentieren, und nicht, daß wir die Aufgabe lösen.
LG Angela
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Ja, gut. Ich probier es mal.
Wir wissen, dass [mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{l}) [/mm] eine Basis von Ker(f) ist.
Also ist [mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] f(v_{l})= [/mm] 0.
Damit sind auch die ersten l Spalten der darstellenden Matrix von f bzgl. der Basis B Nullspalten. Übrig bleiben also noch n-l Spalten, die zu füllen sind. Diese bestehen aus den jeweiligen Koordinatenvektoren von [mm] f(v_{i}) [/mm] bzgl. der Basis B, wobei i = l+1, ..., n ist. Wir wissen weiterhin, dass B' = ( [mm] [v_{l+1}], [/mm] ..., [mm] [v_{n}] [/mm] ) eine Basis von V/Ker(f) ist.
Ich habe weiterhin gezeigt, dass [mm] f_{V/Ker(f)} [/mm] bijektiv ist (folgt aus einem Satz: Wenn zwei Vektorräume V und W die gleichen Dimensionen haben und f € Hom(V,W) ist, dann sind gleichwertig: f injektiv <=> f surjektiv <=> f bijektiv). Dies folgt daraus, dass [mm] f_{V/Ker(f)} [/mm] injektiv ist und, dim(V/Ker(f)) = n - l ist und [mm] f_{V/Ker(f)} [/mm] eine Abbildung von V/Ker(f) in sich selbst ist, also mithin trivialerweise die gleichen Dimensionen haben.
Demnach ist ( [mm] f_{V/Ker(f)}( [v_{l+1}] [/mm] ), ..., [mm] f_{V/Ker(f)}([v_{n}] [/mm] ) = ( [mm] [f(v_{l+1})], [/mm] ..., [mm] [f(v_{n})] [/mm] ) eine Basis von V/ker(f) .
Nun behaupte ich, dass [mm] [f(v_{l+1})] [/mm] = [mm] [v_{l+1} [/mm] ] , ... , [ [mm] f(v_{n}) [/mm] ] = [ [mm] v_{n} [/mm] ] ist, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll.
Aber ich habe trotzdem einfach damit weitergearbeitet...
Nun ist der Koordinatenvektor von [mm] [v_{i}] [/mm] bzgl. B' der Einheitsvektor [mm] e_{i} [/mm] für i = l+1, ..., n. Wobei man hier anmerken muss, dass [mm] e_{i} [/mm] eigentlich für i = 1, 2, 3, etc. ist. Wegen der Bezeichnung ist das ein bisschen doof. Also genauer: Der Koordinatenvektor von [mm] v_{l+1} [/mm] bzgl B' ist gerade der erste Einheitsvektor, weil [mm] v_{l+1} [/mm] unser erster Basisvektor in V/Ker(f) ist. Das gleiche gilt für die restlichen Basisvektoren.
Nun können wir [mm] f(v_{l+1}) [/mm] darstellen als Linearkombination der Basisvektoren also [mm] f(v_{l+1}) [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{l} [/mm] * [mm] v_{l} [/mm] + [mm] a_{l+1} [/mm] * [mm] v_{l+1} [/mm] + ... + [mm] a_{n} [/mm] * [mm] v_{n}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [f(v_{l+1})] [/mm] = [mm] [a_{1} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{l} [/mm] * [mm] v_{l} [/mm] + [mm] a_{l+1} [/mm] * [mm] v_{l+1} [/mm] + ... + [mm] a_{n} [/mm] * [mm] v_{n}] [/mm] = [mm] [a_{1} [/mm] * [mm] v_{1}] [/mm] + ... + [mm] [a_{l} [/mm] * [mm] v_{l}] [/mm] + [mm] [a_{l+1} [/mm] * [mm] v_{l+1}] [/mm] + ... + [mm] [a_{n} [/mm] * [mm] v_{n}] [/mm] = [0] + ... + [0] + [mm] [a_{l+1} [/mm] * [mm] v_{l+1}] [/mm] + ... + [mm] [a_{n} [/mm] * [mm] v_{n}] [/mm] = [mm] [a_{l+1} [/mm] * [mm] v_{l+1}]
[/mm]
Die letzte Gleichung folgt aus meiner unbewiesenen Behauptung.
Es gilt weiterhin [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{l}, a_{l+1} [/mm] € K beliebig , und [mm] a_{l+2} [/mm] = ... = [mm] a_{n} [/mm] = 0 € K.
Dies würde bedeuten, dass die Koordinatendarstellung von [mm] [f(v_{l+1}] [/mm] bzgl B' = [mm] a_{l+1} [/mm] ist. Dies wiederholt man nun für die anderen Basisvektoren und erhält dann als darstellende Matrix von [mm] f_{V/Ker(f)} [/mm] bzgl B' ,,die Einheitsmatrix", wobei auf der Diagonalen die Einträge [mm] a_{l+1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] sind.
Wenn wir jetzt diese Skalare [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] übernehmen und die Koordinatendarstellung von [mm] f(v_{l+1}) [/mm] bzgl B bilden, denn es ist ja [mm] f(v_{l+1}) [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{l} [/mm] * [mm] v_{l} [/mm] + [mm] a_{l+1} [/mm] * [mm] v_{l+1} [/mm] + ... + [mm] a_{n} [/mm] * [mm] v_{n}, [/mm] dann bekommen wir den Vektor [mm] (a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{l}, a_{l+1}, [/mm] 0, ..., [mm] 0)^{t} [/mm] € [mm] K^{n}, [/mm] was gerade die (l+1)-Spalte von der Matrixdarstellung von f bzgl. B ist. Wendet man das noch für die anderen Basisvektoren an, folgt die Behauptung.
Ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist, aber was besseres fällt mir nicht ein. Kann auch sein, dass das totale Scheisse ist, was ich hier geschrieben habe... Ich habe gerade gemerkt, dass ,,kleine L" so aussieht wie eine ,,eins". Sollte also irgendwas komisch vorkommen, handelt es sich vermutlich um ein ,,kleines L".
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Hallo,
> Wir wissen, dass [mm](v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{l})[/mm] eine Basis von Ker(f)
> ist.
> Also ist [mm]f(v_{1})[/mm] =...= [mm]f(v_{l})=[/mm] 0.
Ja.
>
> Damit sind auch die ersten l Spalten der darstellenden
> Matrix von f bzgl. der Basis B Nullspalten.
Ja.
> Übrig bleiben
> also noch n-l Spalten, die zu füllen sind.
Ja.
> Diese bestehen
> aus den jeweiligen Koordinatenvektoren von [mm]f(v_{i})[/mm] bzgl.
> der Basis B, wobei i = l+1, ..., n ist.
Ja.
> Wir wissen
> weiterhin, dass B' = ( [mm][v_{l+1}],[/mm] ..., [mm][v_{n}][/mm] ) eine Basis
> von V/Ker(f) ist.
Ja.
> Ich habe weiterhin gezeigt, dass [mm]f_{V/Ker(f)}[/mm] bijektiv ist
Und genau an dieser Stelle habe ich große Zweifel, daß Du das zeigen konntest:
Nehmen wir eine Abbildung [mm] f:\IR^3\to \IR^3 [/mm] mit
[mm] f(e_1):=0
[/mm]
[mm] f(e_2):=e_2
[/mm]
[mm] f(e_3):=e_1+e_2.
[/mm]
Es ist [mm] Kernf=.
[/mm]
Betrachten wir nun [mm] f_{V/kernf}.
[/mm]
Nach Def. dieser Abbildung ist
[mm] f_{V/kernf}([e_2])=[f(e_2)]=[e_2],
[/mm]
[mm] f_{V/kernf}([e_3])=[f(e_3)]=[e_1+e_2]=[e_2],
[/mm]
und diese Abbildung wirkt doch eher nicht bijektiv, oder?
LG Angela
> (folgt aus einem Satz: Wenn zwei Vektorräume V und W die
> gleichen Dimensionen haben und f € Hom(V,W) ist, dann
> sind gleichwertig: f injektiv <=> f surjektiv <=> f
> bijektiv). Dies folgt daraus, dass [mm]f_{V/Ker(f)}[/mm] injektiv
> ist und, dim(V/Ker(f)) = n - l ist und [mm]f_{V/Ker(f)}[/mm] eine
> Abbildung von V/Ker(f) in sich selbst ist, also mithin
> trivialerweise die gleichen Dimensionen haben.
> Demnach ist ( [mm]f_{V/Ker(f)}( [v_{l+1}][/mm] ), ...,
> [mm]f_{V/Ker(f)}([v_{n}][/mm] ) = ( [mm][f(v_{l+1})],[/mm] ..., [mm][f(v_{n})][/mm] )
> eine Basis von V/ker(f) .
> Nun behaupte ich, dass [mm][f(v_{l+1})][/mm] = [mm][v_{l+1}[/mm] ] , ... , [
> [mm]f(v_{n})[/mm] ] = [ [mm]v_{n}[/mm] ] ist, aber ich habe keine Ahnung, wie
> ich das beweisen soll.
> Aber ich habe trotzdem einfach damit weitergearbeitet...
> Nun ist der Koordinatenvektor von [mm][v_{i}][/mm] bzgl. B' der
> Einheitsvektor [mm]e_{i}[/mm] für i = l+1, ..., n. Wobei man hier
> anmerken muss, dass [mm]e_{i}[/mm] eigentlich für i = 1, 2, 3, etc.
> ist. Wegen der Bezeichnung ist das ein bisschen doof. Also
> genauer: Der Koordinatenvektor von [mm]v_{l+1}[/mm] bzgl B' ist
> gerade der erste Einheitsvektor, weil [mm]v_{l+1}[/mm] unser erster
> Basisvektor in V/Ker(f) ist. Das gleiche gilt für die
> restlichen Basisvektoren.
> Nun können wir [mm]f(v_{l+1})[/mm] darstellen als Linearkombination
> der Basisvektoren also [mm]f(v_{l+1})[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] * [mm]v_{1}[/mm] + ... +
> [mm]a_{l}[/mm] * [mm]v_{l}[/mm] + [mm]a_{l+1}[/mm] * [mm]v_{l+1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}[/mm] * [mm]v_{n}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow [f(v_{l+1})][/mm] = [mm][a_{1}[/mm] * [mm]v_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{l}[/mm] *
> [mm]v_{l}[/mm] + [mm]a_{l+1}[/mm] * [mm]v_{l+1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}[/mm] * [mm]v_{n}][/mm] = [mm][a_{1}[/mm] *
> [mm]v_{1}][/mm] + ... + [mm][a_{l}[/mm] * [mm]v_{l}][/mm] + [mm][a_{l+1}[/mm] * [mm]v_{l+1}][/mm] + ...
> + [mm][a_{n}[/mm] * [mm]v_{n}][/mm] = [0] + ... + [0] + [mm][a_{l+1}[/mm] * [mm]v_{l+1}][/mm] +
> ... + [mm][a_{n}[/mm] * [mm]v_{n}][/mm] = [mm][a_{l+1}[/mm] * [mm]v_{l+1}][/mm]
>
> Die letzte Gleichung folgt aus meiner unbewiesenen
> Behauptung.
>
> Es gilt weiterhin [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{l}, a_{l+1}[/mm] € K beliebig
> , und [mm]a_{l+2}[/mm] = ... = [mm]a_{n}[/mm] = 0 € K.
>
> Dies würde bedeuten, dass die Koordinatendarstellung von
> [mm][f(v_{l+1}][/mm] bzgl B' = [mm]a_{l+1}[/mm] ist. Dies wiederholt man nun
> für die anderen Basisvektoren und erhält dann als
> darstellende Matrix von [mm]f_{V/Ker(f)}[/mm] bzgl B' ,,die
> Einheitsmatrix", wobei auf der Diagonalen die Einträge
> [mm]a_{l+1},[/mm] ..., [mm]a_{n}[/mm] sind.
> Wenn wir jetzt diese Skalare [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{n}[/mm] übernehmen
> und die Koordinatendarstellung von [mm]f(v_{l+1})[/mm] bzgl B
> bilden, denn es ist ja [mm]f(v_{l+1})[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] * [mm]v_{1}[/mm] + ... +
> [mm]a_{l}[/mm] * [mm]v_{l}[/mm] + [mm]a_{l+1}[/mm] * [mm]v_{l+1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}[/mm] * [mm]v_{n},[/mm]
> dann bekommen wir den Vektor [mm](a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{l}, a_{l+1},[/mm]
> 0, ..., [mm]0)^{t}[/mm] € [mm]K^{n},[/mm] was gerade die (l+1)-Spalte von
> der Matrixdarstellung von f bzgl. B ist. Wendet man das
> noch für die anderen Basisvektoren an, folgt die
> Behauptung.
>
> Ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist, aber was
> besseres fällt mir nicht ein. Kann auch sein, dass das
> totale Scheisse ist, was ich hier geschrieben habe... Ich
> habe gerade gemerkt, dass ,,kleine L" so aussieht wie eine
> ,,eins". Sollte also irgendwas komisch vorkommen, handelt
> es sich vermutlich um ein ,,kleines L".
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Ja, das stimmt. Ich habe die Aufgabe aber jetzt gelöst.
Lösung:
Das die ersten l Spalten Nullspalten sind, ist ja trivial. Bleibt also noch zu zeigen, dass die Spalten l+1, ..., n wirklich denen auf dem Blatt entsprechen.
Setze A := [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm] = [mm] (a_{i,j})
[/mm]
Es ist [mm] f(v_{i}) [/mm] = [mm] a_{1,i}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{l,i}*v_{l} [/mm] + [mm] a_{l+1,i}*v_{l+1} [/mm] + ... + [mm] a_{n,i}*v_{n} [/mm] für i € {l+1, ..., n}
Dann folgt [mm] f_{V/Ker(f)}([v_{i}]) [/mm] = [mm] [a_{1,i}*v_{1}] [/mm] + ... + [mm] [a_{l,i}*v_{l}] [/mm] + [mm] [a_{l+1,i}*v_{l+1}] [/mm] + ... + [mm] [a_{n,i}*v_{n}]
[/mm]
Weiterhin ist [mm] [a_{1,i}*v_{1}] [/mm] = ... = [mm] [a_{l,i} [/mm] * [mm] v_{l}] [/mm] = [0]
Bildet man nun den Koordinatenvektor von [mm] f_{V/Ker(f)}([v_{i}]) [/mm] bzgl. B' erhält man die entsprechende Spalte von [mm] M_{B'}^{B'}(f_{V/Ker(f)}) [/mm]
Mithin folgt die Behauptung.
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