Lin. Abbildung von Polynomen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 So 10.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Sei (K,+, ·) ein Körper und sei [mm] P_4(K) [/mm] die Menge der Polynome vom Grad kleiner
gleich 4 in der Polynomvariablen x und mit Koeffizienten in K, d.h.:
[mm] P_4 [/mm] (K) := { P(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^{2} [/mm] + [mm] a_3 x^{3} [/mm] + [mm] a_4 x^{4} [/mm] | [mm] a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \in [/mm] K }.
Die Menge [mm] P_4 [/mm] (K) ist mit der üblichen Polynomaddition und der üblichen
Multiplikation von Polynomen mit Elementen von K ein K-Vektorraum. Sei [mm] \Phi [/mm] die
Abbildung:
[mm] \Phi: P_4 [/mm] (K) [mm] \to K^{2}, \Phi(P) [/mm] := [mm] \vektor{P(0) \\ P(1)}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \Phi [/mm] K-linear ist und geben Sie Basen fürr den Kern und das Bild
von [mm] \Phi [/mm] an.
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Guten Abend!
Folgende Fragen stellen sich auf:
1) Bedeutet K-linear, dass es einer lineare Abbildung auf dem Körper K ist?
Wenn ja, ist es dann richtig es folgenderweise zu zeigen?
[mm] \Phi(P_1 [/mm] (x) + [mm] P_2 [/mm] (x) ) = ... = [mm] (a_0, a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_4) [/mm] + [mm] (b_0, b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] b_4 [/mm] ) = [mm] \Phi(P_1) [/mm] + [mm] \Phi(P_2)
[/mm]
und dem entsprechend für [mm] \Phi(\lambda*P(x)) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \Phi( [/mm] P(x) )
2) Der Kern dieser Abbildung sind alle Polynome, die auf (0,0) abbilden.
Dies gilt ja nur für [mm] a_0 [/mm] = 0 und [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_4 [/mm] = 0
Wie kann ich jetzt hieraus eine Basis basteln?
Uns wurde der folgende Tipp gegeben: x, [mm] x^{2} [/mm] , [mm] x^{3} [/mm] , [mm] x^{4} [/mm] sind lin. unabh. Wie kann man das hier benutzen?
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass [mm]\Phi[/mm] K-linear ist und geben Sie Basen
> fürr den Kern und das Bild
> von [mm]\Phi[/mm] an.
>
> Guten Abend!
>
> Folgende Fragen stellen sich auf:
>
> 1) Bedeutet K-linear, dass es einer lineare Abbildung auf
> dem Körper K ist?
Ja. Das bedeutet, deine Skalare kommen aus K.
> Wenn ja, ist es dann richtig es folgenderweise zu zeigen?
>
> [mm]\Phi(P_1[/mm] (x) + [mm]P_2[/mm] (x) ) = ... = [mm](a_0, a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] +
> [mm]a_3[/mm] + [mm]a_4)[/mm] + [mm](b_0, b_1[/mm] + [mm]b_2[/mm] + [mm]b_3[/mm] + [mm]b_4[/mm] ) = [mm]\Phi(P_1)[/mm] +
> [mm]\Phi(P_2)[/mm]
> und dem entsprechend für [mm]\Phi(\lambda*P(x))[/mm] = [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\Phi([/mm] P(x) )
Das sieht noch nicht richtig aus. Bzw.: Gerade die entscheidende Stelle hast du nicht aufgeschrieben, deswegen weiß ich nicht, ob du das richtige dabei gedacht hast.
[mm] $\Phi(P_{1} [/mm] + [mm] P_{2})$
[/mm]
Im nächsten Schritt kannst du erstmal [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] "ausschreiben" (also wie man Polynome eben hinschreibt, mit x).
Dann benutzt du noch in [mm] \Phi [/mm] die Definition der Addition von Polynomen. Danach kannst du [mm] \Phi [/mm] anwenden, weil jetzt nur noch ein Polynom dasteht. Jetzt befindest du dich in [mm] K^{n} [/mm] und kannst die Tupel auseinanderziehen, sodass du die rechte Seite von der Gleichung oben in deinem Beweis erhältst.
> 2) Der Kern dieser Abbildung sind alle Polynome, die auf
> (0,0) abbilden.
> Dies gilt ja nur für [mm]a_0[/mm] = 0 und [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] + [mm]a_3[/mm] + [mm]a_4[/mm] =
> 0
> Wie kann ich jetzt hieraus eine Basis basteln?
> Uns wurde der folgende Tipp gegeben: x, [mm]x^{2}[/mm] , [mm]x^{3}[/mm] ,
> [mm]x^{4}[/mm] sind lin. unabh. Wie kann man das hier benutzen?
Dein Ansatz ist schonmal richtig. So, wie es aussieht, habt ihr noch gar nicht "gelernt", dass x, [mm] x^{2},... [/mm] usw. im Polynomring linear unabhängig sind. Das brauchst du, um dann eine Basis angeben zu können (sonst kannst du ja gar nicht verifizieren, dass deine gefundene Basis auch linear unabhängig ist!).
Wenn du weißt, dass [mm]a_0[/mm] = 0 und [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] + [mm]a_3[/mm] + [mm]a_4[/mm] = 0 gelten müssen, kannst du noch umstellen:
[mm] $-a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{3} [/mm] = [mm] a_{4}$.
[/mm]
Daraus erhältst du nun zusammen mit der Bedingung [mm] a_{0} [/mm] = 0, dass alle Polynome der Form:
[mm] $a_{1}*x [/mm] + [mm] a_{2}*x^{2} [/mm] + [mm] a_{3}*x^{3} [/mm] + [mm] (-a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{3})*x^{4}$
[/mm]
mit [mm] a_{1},a_{2},a_{3} [/mm] beliebig aus K den Kern bilden, es gilt also:
[mm] $Kern(\Phi) [/mm] = [mm] \{a_{1}*x + a_{2}*x^{2} + a_{3}*x^{3} + (-a_{1} - a_{2} - a_{3})*x^{4}|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}$
[/mm]
Nun musst du nach [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] und [mm] a_{3} [/mm] sortieren:
[mm] $Kern(\Phi) [/mm] = [mm] \{a_{1}*(x-x^{4}) + a_{2}*(x^{2}-x^{4}) + a_{3}*(x^{3} -x^{4})|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}$
[/mm]
Nun kann man die Basis schon ablesen: es ist
[mm] $((x-x^{4}),(x^{2}-x^{4}),(x^{3}-x^{4}))$.
[/mm]
Das diese Erzeugendensystem ist, kannst du direkt oben an der Konstruktion des Kerns ablesen. Nun musst du aber eben deine gegebenen Hinweise etc. benutzen, um zu zeigen, dass das auch linear unabhängig ist.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 10.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
> Wenn du weißt, dass [mm]a_0[/mm] = 0 und [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] + [mm]a_3[/mm] + [mm]a_4[/mm] = 0
> gelten müssen, kannst du noch umstellen:
>
> [mm]-a_{1} - a_{2} - a_{3} = a_{4}[/mm].
>
> Daraus erhältst du nun zusammen mit der Bedingung [mm]a_{0}[/mm] =
> 0, dass alle Polynome der Form:
>
> [mm]a_{1}*x + a_{2}*x^{2} + a_{3}*x^{3} + (-a_{1} - a_{2} - a_{3})*x^{4}[/mm]
>
> mit [mm]a_{1},a_{2},a_{3}[/mm] beliebig aus K den Kern bilden, es
> gilt also:
>
> [mm]Kern(\Phi) = \{a_{1}*x + a_{2}*x^{2} + a_{3}*x^{3} + (-a_{1} - a_{2} - a_{3})*x^{4}|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}[/mm]
>
> Nun musst du nach [mm]a_{1}, a_{2}[/mm] und [mm]a_{3}[/mm] sortieren:
>
> [mm]Kern(\Phi) = \{a_{1}*(x-x^{4}) + a_{2}*(x^{2}-x^{4}) + a_{3}*(x^{3} -x^{4})|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}[/mm]
>
> Nun kann man die Basis schon ablesen: es ist
>
> [mm]((x-x^{4}),(x^{2}-x^{4}),(x^{3}-x^{4}))[/mm].
>
> Das diese Erzeugendensystem ist, kannst du direkt oben an
> der Konstruktion des Kerns ablesen.
Wieso sieht man das direkt?
Wie kann man aus der Schreibweise des Kerns ein Erzeugendessystem ablesen?
Wie genau bezeichnet man denn deine Schreibweise, also z.B.: [mm] (x-x^4) [/mm] Ein Vektor ist das ja nicht, oder doch?
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Hallo,
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
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> > Wenn du weißt, dass [mm]a_0[/mm] = 0 und [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] + [mm]a_3[/mm] + [mm]a_4[/mm] = 0
> > gelten müssen, kannst du noch umstellen:
> >
> > [mm]-a_{1} - a_{2} - a_{3} = a_{4}[/mm].
> >
> > Daraus erhältst du nun zusammen mit der Bedingung [mm]a_{0}[/mm] =
> > 0, dass alle Polynome der Form:
> >
> > [mm]a_{1}*x + a_{2}*x^{2} + a_{3}*x^{3} + (-a_{1} - a_{2} - a_{3})*x^{4}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]a_{1},a_{2},a_{3}[/mm] beliebig aus K den Kern bilden, es
> > gilt also:
> >
> > [mm]Kern(\Phi) = \{a_{1}*x + a_{2}*x^{2} + a_{3}*x^{3} + (-a_{1} - a_{2} - a_{3})*x^{4}|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}[/mm]
>
> >
> > Nun musst du nach [mm]a_{1}, a_{2}[/mm] und [mm]a_{3}[/mm] sortieren:
> >
> > [mm]Kern(\Phi) = \{a_{1}*(x-x^{4}) + a_{2}*(x^{2}-x^{4}) + a_{3}*(x^{3} -x^{4})|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}[/mm]
>
> >
> > Nun kann man die Basis schon ablesen: es ist
> >
> > [mm]((x-x^{4}),(x^{2}-x^{4}),(x^{3}-x^{4}))[/mm].
> >
> > Das diese Erzeugendensystem ist, kannst du direkt oben an
> > der Konstruktion des Kerns ablesen.
>
> Wieso sieht man das direkt?
> Wie kann man aus der Schreibweise des Kerns ein
> Erzeugendessystem ablesen?
> Wie genau bezeichnet man denn deine Schreibweise, also
> z.B.: [mm](x-x^4)[/mm] Ein Vektor ist das ja nicht, oder doch?
Doch, [mm] (x-x^{4}) [/mm] ist ein Vektor des Vektorraums [mm] P_{4}(x), [/mm] der Menge aller Polynome bis höchstens Grad 4. Denn [mm] x-x^{4} [/mm] ist ja ein Polynom von Grad kleiner gleich 4.
Du siehst, dass der Kern aus der Menge
[mm] $\{a_{1}*(x-x^{4}) + a_{2}*(x^{2}-x^{4}) + a_{3}*(x^{3} -x^{4})|a_{1},a_{2},a_{3}\in K\}$
[/mm]
besteht. Das heißt der Kern besteht aus der Menge von Linearkombinationen der drei obigen Polynome. Da die Skalare [mm] a_{1},a_{2},a_{3} [/mm] beliebig aus K gewählt werden können, kannst du auch schreiben:
$Kern = [mm] span((x-x^{4}),(x^{2}-x^{4}),(x^{3}-x^{4})) [/mm] = [mm] Lin((x-x^{4}),(x^{2}-x^{4}),(x^{3}-x^{4}))$.
[/mm]
(Lineare Hülle, Menge aller Linearkombinationen, je nachdem, wie ihr's genannt habt).
Daran kann man nun sehen, dass der Kern von den drei Vektoren erzeugt wird.
Grüße,
Stefan
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