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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Limesbestimmung von DGL höh.O.
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Limesbestimmung von DGL höh.O.: Inspiration für komplexen Teil
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Mi 11.03.2020
Autor: clemenum

Aufgabe
"Zeige: Die Differenzialgleichung [mm] $y^{(5)}+y^{'}+5y=0$ [/mm] besitzt eine Lösung [mm] $y\neq [/mm] 0$ mit
[mm] $\lim_{t\to \infty} [/mm] y(t) = 0"$


Meine Idee: Ich zeige, dass ein solches $y$ monoton und beschränkt sein muss. Dann konvergiert es gegen einen Wert [mm] $\gamma \in \mathbb{C},$ [/mm] also [mm] $\lim_{t\to \infty} [/mm] y(t) = [mm] \gamma.$ [/mm] Nach dem Asymptotesatz wissen wir dann, dass [mm] $\lim_{t\to \infty} y^{'}(t) [/mm] = 0.$ Durch diesen unbestimmten Ansatz sollte es gelingen das [mm] $\gamma$ [/mm] konkret herauszufinden.  

Sollte es nicht gelingen, dann wäre mein Alternativansatz folgender:
Wir wissen, dass Lösungen proportional zu [mm] $e^{\lambda\cdot t}$ [/mm] sein werden. Weil die Gleichung 5-ten Grades ist, muss es also 5 verschiedene (reelle oder komplexe) Proportionalitätskonstanten geben in der Lösung, sodass die Lösung wie folgt aussieht:
$y(t) = [mm] \sum_{k=1}^{5} c_ke^{\lambda_k t},$ [/mm] wobei [mm] $\lambda_k \in \mathbb{C}$ [/mm] oder nur [mm] $\lambda_k \in \mathbb{R}$ [/mm] gilt.  
Nun zu einer strukturellen Analyse:
Was brauchen wir, damit $y(t)$ monoton gegen 0 gehen kann? Es müsste erreicht werden, dass die [mm] $\lambda_k$ [/mm] negativ sind, wenn sie in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sind.  
Die DGL reduziert sich durch diesen unbestimmten Ansatz zu einem Polynom 5-ten Grades:
[mm] $\lambda^5 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 5 =0.$ Wieso muss hier also jedes [mm] $\lambda$ [/mm] negativ sein, wenn es in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] liegt ? Wäre [mm] $\lambda [/mm] >0,$ so wäre $l+5>>0$ und wegen [mm] $0<\lambda^5<\infty$ [/mm] wäre also [mm] $\lambda^5 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 5>>0,$ somit wäre die charakteristische Gleichung nicht lösbar. Folglich muss wirklich jedes reelle $ [mm] \lambda$ [/mm] negativ sein, damit es eine Lösung sein kann (die Lösung $y=0$ ist ja laut Angabe nicht zugelassen).  
Überall wo [mm] $\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm] ist, gilt also nun [mm] $\lim_{t\to\infty} e^{\lambda t} [/mm]  = 0.$ Übrig bleibt zu zeigen, dass die restlichen Terme, die nur komplex-wertig sind, auch einen solchen Limes haben.

Sei also [mm] $\lambda \in \mathbb{C}.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $e^{\lambda t} [/mm] = [mm] a^{(a+bi)t} [/mm] = [mm] e^{at +bti} [/mm] = [mm] e^{at}\left(\cos(bt)+i\cdot \sin(bt)\right).$ [/mm] Da [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] NICHT beide gleichzeitig 0 sein können, muss also noch $a [mm] \in \mathbb{R} \wedge [/mm] a<0$ gezeigt werden, damit der ganze Ausdruck gegen 0 konvergieren kann.
Ein Ansatz wäre jetzt diesen Ausdruck mehrmals (5-mal) abzuleiten und dann durch Koeffizientenvergleich herzuleiten, dass $a<0$ sein muss, aber ich befürchte, dass es so einfach nicht geht, denn dass die Summanden alle 0 sind um die Summe 0 zu machen, ist ja nur ein Spezialfall. Es kann durchaus auch sein, dass manche Summanden an sich gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen, jedoch in Kombination mit einem anderen Summanden dann im Limes gegen 0 gehen. Wie kann ich das angehen?

Wäre für die gewisse Restinspiration, die nötig ist, sehr dankbar!

Mit besten Grüßen,
Clemenum

        
Bezug
Limesbestimmung von DGL höh.O.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mi 11.03.2020
Autor: fred97

Es geht viel einfacher: das zur Dgl geh. charakteristische Polynom lautet [mm] $p(\lambda)= \lambda^5+ \lambda [/mm] +5.$

Falls es nun eine reelle Nullstelle [mm] \lambda_0 [/mm] von $p$ gibt mit $ [mm] \lambda_0<0$, [/mm] so setze

      [mm] $y(t):=e^{\lambda_0 t}.$$ [/mm]

Dann ist $y$ eine Lösung der Dgl mit $ [mm] \lim_{t\to \infty} [/mm] y(t) = 0 $ .

Also bleibt die Frage: hat $p$ eine solche Nullstelle [mm] \lambda_0 [/mm] ?

Antwort: ja.

Warum ?

Darum: wir haben $p( [mm] \lambda) \to \infty$ [/mm] für $ [mm] \lambda \to \infty$ [/mm] und  $p( [mm] \lambda) \to -\infty$ [/mm] für $ [mm] \lambda \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm]

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein $ [mm] \lambda_0 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $p(\lambda_0)=0.$ [/mm]

Für [mm] \lambda \ge [/mm] 0 ist $p( [mm] \lambda) \ge [/mm] 5.$

Daher ist $ [mm] \lambda_0 [/mm] <0.$

Bezug
                
Bezug
Limesbestimmung von DGL höh.O.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:22 Do 12.03.2020
Autor: clemenum

Fred, vielen herzlichen Dank für deine Inspiration. Du hast meinen Kenntnisschatz wieder etwas erweitert. Denn, ich wusste nicht, dass es so eine elegante Lösung gibt; ich dachte, man müsse da wirklich aufwendig arbeiten!

Gruß und nochmal dankeschön,
Clemenum!

Bezug
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