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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo!
Meine Aufgabe:
Für eine Folge reeller Zahlen [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] sei a := lim [mm] sup_{n \to \infty }a_{n} \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann a der größte Häufungspunkt der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist.
Ich bekomm den Beweis irgendwie nicht auf die Reihe, denn ich weiß nicht, was genau der Limes superior der Folge bedeutet.
Mein Gedanke:
Da a aus [mm] \IR [/mm] ist und nach Vor. existiert, also ist die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] nach oben beschränkt.
Gibt es für eine nur nach oben beschränkte Folge schon eine konvergente Teilfolge??
Widerspruchsbeweis?? Ich nehme an, dass ein b [mm] \in \IR [/mm] existiert, so dass a < b gilt, aber wie kann ich diese Annahme zu einem Widerspruch führen??
Kann ich sagen, dass eine Teilfolge von [mm] a_{n} [/mm] gegen b konvergiert, wobei dann b obere Schranke ist, a jedoch kleinste obere Schranke.
Allerdings gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Teilfolge von [mm] a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_{n}
[/mm]
Was ein Widerspruch zur Annahme wäre (a < b)
Aber existiert diese Teilfolge überhaupt, da meine Folge ja nur nach oben beschränkt ist.
Wie ihr seht, sind meine Gedanken noch nicht geordnet oder ich befinde mich gar auf dem Holzweg.
Bitte helft mir ein bisschen auf die Sprünge!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
Zunächst mal die Definition des Limes superior:
Setze [mm] $\tilde a_n:=\sup \limits_{k\ge n} a_k$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann ist [mm] $\limsup_{n\to\infty} a_n:=\lim_{n\to\infty}\tilde a_n$.
[/mm]
Kannst du mit dieser Definition etwas anfangen? Eigentlich solltet ihr das in der Vorlesung behandelt haben. Mehr zum Thema findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Zu deinem Lösungsansatz. In der Tat kannst du voraussetzen, dass es eine konvergente Teilfolge gibt. Es gibt nämlich eine Teilfolge von [mm] $(a_n)$, [/mm] die gegen $a$ konvergiert.
Allerdings musst du die Existenz einer Teilfolge nicht folgern, sie wird durch deinen Häufungspunkt geliefert. Genau das zeichnet einen Häufungspunkt nämlich aus. Das sieht dann in etwas so aus:
Angenommen, es gibt einen Häufungspunkt $b$ mit $a<b$. Also existiert eine Teilfolge [mm] $\left(a_{n_k}\right)_{k\in\N}$ [/mm] von [mm] $(a_n)$, [/mm] so dass [mm] $a_{n_k}\to [/mm] b$ mit [mm] $k\to \infty$.
[/mm]
Jetzt musst du die Definition des limes superior benutzen, um den Widerspruch herzuleiten. Hast du dazu eine Idee?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo banachella,
Soweit kann ich dir gut folgen. Aber mein Riesenproblem ist, dass ich mir unter dem Limes superior (und auch unter dem Limes inferior) nichts vorstellen kann und auch mit der Definition nichts anfangen kann.
Was bedeutet Limes superior / inferior mit einfachen Worten??? Was ist das für ein Grenzwert, den ich hier betrachte?? Betrachte ich die höchsten / niedrigsten Folgeglieder?? Ich habe keine Ahnung..... :-(
Da mir überhaupt nicht ansatzweise klar ist, wie ich mit dem Limes superior umzugehen habe, kann ich auch keinen Widerspruch herleiten.
Liebe Grüßle,
Simone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
also so wie ich das verstanden habe, ist limes superior auf gut deutsch gesagt der größte aller häufungswerte und limes inferior demzufolge der kleinste aller häufungswerte einer zahlenfolge
klingt das besser?
liebe grüße
Franzie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 24.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo,
ist das alles?????? Gibt mir der lim sup [mm] a_{n} [/mm] nur den größten Häufungswert an???? ich habe meinetwegen die Häufungswerte -1, 0, und 1. Dann wär mein lim sup = 1 und lim inf = -1 ??
Über diese mehr als simple Antwort, was der Limes superior ist, bin ich fast ein bisschen enttäuscht. 
Dankeschön!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:01 Sa 14.06.2008 | | Autor: | darkblue |
Wie zeige ich nun aber, dass es sich bei dem Limes superior überhaupt um einen Häufungspunkt der Folge handelt?
Meiner Meinung nach folgt aus der Existenz nämlich nicht, dass die Folge beschränkt ist, also kann ich auch nichts über eine Teilfolge aussagen, die gegen diesen Wert strebt.
Was ich weiß ist, dass jede Folge in [mm] \IR [/mm] eine monotone Teilfolge besitzt. Bringt mich das hier irgendwie weiter? Außerdem habe ich natürlich die Definition des lim sup gegeben: Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge in [mm] \IR. [/mm] Man konstruiere die monoton fallende Folge [mm] s_n [/mm] := [mm] \sup \{ a_k : k\ge n \}. [/mm] Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sup a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_n.
[/mm]
Kann ich mir evtl. über die k eine Folge konstruieren, die in [mm] a_n [/mm] liegt und gegen den lim sup strebt? Denn dann weiß cih ja, dass lim sup ein Häufungspunkt von [mm] a_n [/mm] ist.
Hatte schon einen Haufen Ansätze, die mich alle nicht weiter gebracht haben...
Vielen Dank schonmal.
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> Wie zeige ich nun aber, dass es sich bei dem Limes superior
> überhaupt um einen Häufungspunkt der Folge handelt?
> Meiner Meinung nach folgt aus der Existenz nämlich nicht,
> dass die Folge beschränkt ist, also kann ich auch nichts
> über eine Teilfolge aussagen, die gegen diesen Wert
> strebt.
> Was ich weiß ist, dass jede Folge in [mm]\IR[/mm] eine monotone
> Teilfolge besitzt. Bringt mich das hier irgendwie weiter?
> Außerdem habe ich natürlich die Definition des lim sup
> gegeben: Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge in [mm]\IR.[/mm] Man konstruiere die
> monoton fallende Folge [mm]s_n[/mm] := [mm]\sup \{ a_k : k\ge n \}.[/mm] Dann
> ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sup a_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} s_n.[/mm]
> Kann ich mir evtl. über
> die k eine Folge konstruieren, die in [mm]a_n[/mm] liegt und gegen
> den lim sup strebt?
Wenn wir davon ausgehen dürfen, dass $a := [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] eine reelle Zahl ist (und nicht etwa [mm] $\pm\infty$), [/mm] dann ist es ein Leichtes, die Existenz einer gegen $a$ konvergenten Teilfolge zu zeigen. Denn für jedes noch so kleine [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und jeden noch so grossen Folgenindex [mm] $n_0$ [/mm] muss es ein [mm] $n>n_0$ [/mm] geben, so dass [mm] $a-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n$ [/mm] (andernfalls wäre [mm] $\limsup_{n\rightarrow \infty}a_n\leq a-\varepsilon [/mm] <a$, was aufgrund der Definition von $a$ nicht möglich ist).
Es muss also für eine Nullfolge [mm] $\varepsilon_k$, [/mm] mit [mm] $\varepsilon_k>0$, [/mm] eine Folge von zugehörigen Indizes [mm] $n_k$ [/mm] "existieren", so dass [mm] $a-\varepsilon_k [/mm] < [mm] a_{n_k}\leq [/mm] a$ gilt, woraus sogleich [mm] $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_k}=a$ [/mm] folgt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:27 Mo 16.06.2008 | | Autor: | darkblue |
Find ich sehr nachvollziehbar, vielen Dank! Wäre leider im Leben nichts selbst drauf gekommen... :-(
Naja, üben üben üben...
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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Limes Inferior und Limes Superior