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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:18 So 31.12.2006 | | Autor: | jumape |
Ich habe ein kleines Problem beim Grenzwert von Funktionen:
Definition:
Für alle Epsilon >0 gibt es ein Delta >0: 0<|x-a|<Delta => |f(x)-m|<Epsilon
Dann:
lim f(x)=m
x->a
Bei der Berechnung des Epsilon herauszufinden fehlt mir noch ein Muster
nach dem man vorgehehn sollte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 31.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Das ist ja das [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion. Also ein Muster um auf das [mm] \epsilon [/mm] zu kommen kenne ich nicht. Aber hier mal ein paar kleine Hilfen:
Wenn man zeigen will, das etwas nicht stetig, gibt man sich irgendein Epsilon vor (sollte natürlich klein genug gewählt werden) und zeiget dann, das man kein [mm] \delta [/mm] dazu finden kann.
Wenn man zeigen will, das etwas stetig ist, nimmt man für das [mm] \epsilon [/mm] meistens eine monoton fallende Nullfolge, da die Bedingung ja für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 gelten soll. Dann rechnet man sich ein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] aus (geht natürlich nur wenn auch eins existiert, also die Funktion stetig ist). Oft klappt es, wenn man [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] setzt.
Hoffe ich habe dir damit geholfen.
Allen einen guten Rutsch!
Baufux
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Di 02.01.2007 | | Autor: | jumape |
Danke erstmal für diese Antwort.
Jetzt stellt sich mir die Frage: Wenn ich jetzt ein Delta für einen Teil der Epsilon habe, das von Epsilon abhängt. Dann fehlt mir noch das andere. Man setzt doch Delta= min(a(Epsilon), b)
Wie kriege ich das b dazu raus. Kommst das von allein bei der Berechnung des ersten Delta oder brauche ich dazu eine weitere Rechnung und welche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 02.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
bei der epsilon-dalta-definition darf das Delta sowohl von Epsilon als auch von x abhängen (für die folgende definition:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] X: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0: [mm] \exists \delta [/mm] >0: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: |x-y| [mm] \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] )
Du kannst die definition was die Abhängigkeiten angeht von links nach rechts lesen... alles was rechts von etwas steht darf von dem abhängen (also zum beispiel das x vom Delta und das x und das Delta dem entsprechend vom Epsilon.
ich hoffe ich hatte deine frage dahingehend richtig verstanden
greets bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Do 04.01.2007 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also wenn du zu einem sehr kleinen [mm] \epsilon_{0} [/mm] ein [mm] \delta_{0} [/mm] an einem bestimmten Punkt x gefunden hast kannst du natürlich für alle [mm] \epsilon [/mm] > [mm] \epsilon_{0} [/mm] am gleichen Punkt x das gleiche [mm] \delta_{0} [/mm] verwenden. Mit < funktioniert das leider nicht, sonst wäre ja jede Funktion stetig.
Wenn du also für [mm] \epsilon [/mm] eine Nullfolge [mm] a_{n} [/mm] hernimmst solltest du im Idealfall für [mm] \delta [/mm] eine zweite Nullfolge [mm] b_{n} [/mm] finden (die bei "einfacher" Stetigkeit auch von x abhängen darf).
Zu Stoecki's Antwort:
Du hast ein < [mm] \delta [/mm] hinter deinem |x-y| vergessen.
Also für "einfache" Stetigkeit darf das [mm] \delta [/mm] sowohl von [mm] \epsilon, [/mm] als auch von x abhängen, wenn man aber gleichmäßige Stetigkeit nachprüfen will, darf es nur von [mm] \epsilon [/mm] abhängen.
Grüße Baufux
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