Limes, Wurzel, Potenzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Für alle [mm] \alpha \in [/mm] (0,2), berechne man:
a) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1}
[/mm]
b) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n^{-\alpha}
[/mm]
c) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] /n |
Hallo
a)
Für [mm] 0<1\le \alpha [/mm] gilt:
[mm] \frac{1}{n+1} \le \frac{n^\alpha}{n+1} \le \frac{n^1}{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{n}}
[/mm]
[mm] \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1} [/mm] =0
Für 1 < [mm] \alpha [/mm] <2 denke ich wir haben Divergenz aber habe nicht geschafft meine Vermutung zu zeigen...
b) [mm] (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n^{-\alpha}= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{\alpha}} [/mm] = [mm] \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} [/mm] = [mm] \frac{n+1-n}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}= \frac{1}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}
[/mm]
Nun ist [mm] 0<\frac{1}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] < [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}
[/mm]
Daraus folgt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n^{-\alpha} [/mm] =0 für [mm] \alpha [/mm] >0
c) [mm] (1+2..+n)^\alpha [/mm] /n = [mm] \frac{(\sum_{k=1}^n k)^\alpha}{n}= \frac{\frac{(n^2+n)^{\alpha}}{2^\alpha}}{n}= \frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}
[/mm]
Für [mm] \alpha=1 [/mm] divergiert die Folge: [mm] \frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}=\frac{n^2+n}{2 n}=\frac{1+1/n}{2/n}\rightarrow \infty (n\rightarrow \infty) [/mm] Aber wie mache ich das allgemein für [mm] \alpha \in [/mm] (0,2) ?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Fr 17.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Für alle [mm]\alpha \in[/mm] (0,2), berechne man:
> a) [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1}[/mm]
> Für [mm]0<1\le \alpha[/mm] gilt:
> [mm]\frac{1}{n+1} \le \frac{n^\alpha}{n+1} \le \frac{n^1}{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{1+\frac{1}{n}}[/mm]
> [mm]\rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1}[/mm]=0
Warum folgt das? Du hast bis jetzt doch nur
$0 [mm] \le \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1} \le [/mm] 1$.
Für [mm] $0<\alpha<1$ [/mm] sollte [mm] $\frac {n^\alpha}{n+1}=\frac {\frac{1}{n^{1-\alpha}}}{1+\frac{1}{n}}$ [/mm] helfen.
[mm] $\alpha=1$ [/mm] muss auch berücksichtigt werden und sollte kein Problem darstellen.
Für [mm] $\alpha>1$ [/mm] sollte [mm] $\frac {n^\alpha}{n+1}=\frac {1}{\frac{1}{n^{\alpha-1}}+\frac{1}{n^\alpha}}$ [/mm] helfen.
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 17.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Für alle [mm]\alpha \in[/mm] (0,2), berechne man:
> c) [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha[/mm] /n
> c) [mm](1+2..+n)^\alpha[/mm] /n = [mm]\frac{(\sum_{k=1}^n k)^\alpha}{n}= \frac{\frac{(n^2+n)^{\alpha}}{2^\alpha}}{n}= \frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}[/mm]
>
> Für [mm]\alpha=1[/mm] divergiert die Folge:
> [mm]\frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}=\frac{n^2+n}{2 n}=\frac{1+1/n}{2/n}\rightarrow \infty (n\rightarrow \infty)[/mm]
> Aber wie mache ich das allgemein für [mm]\alpha \in[/mm] (0,2) ?
[mm] $\frac{\left(n^2+n\right)^\alpha}{2^\alpha\cdot n}=\left( \frac{n^2+n}{2\cdot n^{\frac{1}{\alpha}}} \right)^{\alpha}$
[/mm]
Jetzt wieder Zähler und Nenner durch die höchste Potzenz von n dividieren.
Daher sind jetzt die drei Fälle [mm] $\alpha=\begin{cases} <\frac 1 2 \\ =\frac 1 2\\>\frac 1 2 \end{cases}$ [/mm] zu unterscheiden!
Gruß RMix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:48 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Antwort,
a) ist mir nun klar.
c)
> $ [mm] \frac{\left(n^2+n\right)^\alpha}{2^\alpha\cdot n}=\left( \frac{n^2+n}{2\cdot n^{\frac{1}{\alpha}}} \right)^{\alpha} [/mm] $
> Jetzt wieder Zähler und Nenner durch die höchste Potzenz von n dividieren.
Fall 1) [mm] \alpha= [/mm] 1/2
[mm] ..=(\frac{1-1/n}{2})^{\alpha} [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-1/n}{2}= [/mm] 1/2
[mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] $ /n [mm] =\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}
[/mm]
Fall 2) [mm] \alpha [/mm] < 1/2 [mm] \iff \frac{1}{\alpha} [/mm] > 2
[mm] ..=(\frac{\frac{1}{n^{1/\alpha -2}}-\frac{1}{n^{1/\alpha -1}}}{2})^{\alpha} [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{n^{1/\alpha -2}}-\frac{1}{n^{1/\alpha -1}}}{2} [/mm] =0
[mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] $ /n =0
Fall 3) [mm] \alpha [/mm] > 1/2 [mm] \iff \frac{1}{\alpha} [/mm] < 2
[mm] ..=(\frac{1-\frac{1}{n}}{\frac{2}{n^{2-1/\alpha}}})^{\alpha} [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{\frac{2}{n^{2-1/\alpha}}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] $ /n =?
Hier bin ich etwas gehemmt, denn ich kann ja keine Potenz von unendlich bilden. Kann ich das eleganter machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Sa 18.04.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hier bin ich etwas gehemmt, denn ich kann ja keine Potenz von unendlich bilden. Kann ich das eleganter machen?
du könntest die Stetigkeit der Potenzfunktion nutzen, aber das bringt dich hier nicht weiter.
Du solltest aber wissen, was die Summe [mm] $1+2+\ldots+n$ [/mm] ist. Der arme Herr Gauß würde sich sonst im Grabe umdrehen......
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Sa 18.04.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Siehe mal den ersten Beitrag von mir, da kam Gauß schon zum Einsatz.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 19.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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