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| Aufgabe | Kurvendiskussion von
[mm] f(x)=\bruch{x^2-4}{x^2+2} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe einige Fragen bzgl. oben stehender Aufgabe:
Der Definitionsbereich schließt hier alle reellen Zahlen ein, wie berechne ich dann die Grenzwerte / Limes?
Normalerweise lässt man x dann ja gegen die Zahlen laufen, die nicht im Definitionsbereich liegen.
Auch bezüglich Limes möchte ich gern wissen ob das E das man einsetzt (x [mm] \pm [/mm] E) immer gegen Null läuft?
Es wäre auch gut zu wissen ob man das Ergebnis das man raushat irgendwie kontrollieren kann.
Ein weiteres Problem hat sich während der Berechnung der 3. Ableitung ergeben. Dort stand dann
[mm] (-144x^3 [/mm] - 96x) [mm] \* (x²+2)^{4}
[/mm]
Gibt es eine Möglichkeit dass auszurechnen ohne die 2. Klammer aufzulösen?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 04.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
Das Zauberwort für den Grenzwert heißt: "Satz von L'Hospital" wenn du den Grenzwert nach [mm] \pm\infty [/mm] haben willst.
Es ist nicht sinnvoll andere Grenzwerte auszurechnen, da (wie du schon gesagt hast) [mm] x^{2}+2 [/mm] niemals 0 wird, und die Funktion somit in ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist.
Wenn ich ma kurz im Kopf überschlage hast du en paar Zeichen bei deiner 2. Ableitung vergessen. Da muss irgend ein Term mit [mm] (x^{2}+2)^{-4} [/mm] am Ende hinkommen. Demnach brauchst du dort wie auch bei der 1. und 2. Ableitung die Quotientenregel!
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Danke für die schnelle Reaktion.
Wollte meine Ableitung eigentlich hier anhängen, finde aber keinen Button, also doch so:
f(x)= [mm] \bruch{x^2 - 4}{x^2 + 2}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{12x}{(x^2+2)^2}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{-36x^4 - 48x^2 + 48}{(x^2+2)^4}
[/mm]
Bei der 3. Ableitung stehe ich dann bei
f'''(x)= [mm] \bruch{(-144x^3 - 96) \* (x^2 + 2)^4 - ((8x (x^2 + 2)^3 ) \* (-36x^4 - 48x^2 + 48))}{(x^2+2)^6}
[/mm]
Wenn möglich möchte ich die 2. Klammer nicht auflösen da mir das mit ^4 zu mühselig erscheint.
Wenn es also keine Ausnahmen im Definitionsbereich gibt wird der Grenzwert gegen unendlich gerechnet?
Kann ich mein Ergebnis davon dann irgendwie kontrollieren? Also mit Taschenrechner (GTR) oder so?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 04.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
> Danke für die schnelle Reaktion.
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> Wollte meine Ableitung eigentlich hier anhängen, finde
> aber keinen Button, also doch so:
> f(x)= [mm]\bruch{x^2 - 4}{x^2 + 2}[/mm]
> f'(x)=
> [mm]\bruch{12x}{(x^2+2)^2}[/mm]
> f''(x)= [mm]\bruch{-36x^4 - 48x^2 + 48}{(x^2+2)^4}[/mm]
>
> Bei der 3. Ableitung stehe ich dann bei
> f'''(x)= [mm]\bruch{(-144x^3 - 96) \* (x^2 + 2)^4 - ((8x (x^2 + 2)^3 ) \* (-36x^4 - 48x^2 + 48))}{(x^2+2)^6}[/mm]
>
> Wenn möglich möchte ich die 2. Klammer nicht auflösen da
> mir das mit ^4 zu mühselig erscheint.
hinter der 96 fehlt noch ein x bei der 3. Ableitung. Sieht ansonsten richtig aus.
Brauchst du die 3. Ableitung überhaupt? Was willst du damit berechnen?
Da sie wohl eher nicht als Aufgabenteil gefordert ist, sondern du sie nur zur weiteren Berechnung des Wendepunktes brauchst, reicht das.
Ansonsten kommt es auf den Lehrer an.
Es gibt aber durchaus Verfahren ohne die dritte Ableitung um den Wendepunkt zu bestimmen.
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia erklärt einfach alles ;)
>
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> Wenn es also keine Ausnahmen im Definitionsbereich gibt
> wird der Grenzwert gegen unendlich gerechnet?
Der Grenzwert gegen unendlich sollte bei jeder Kurvendiskussion berechnet werden. Ein Ziel der ganzen Diskussion ist doch schließlich, dass du mit den Informationen den kompletten Graphen zeichnen kannst.
> Kann ich mein Ergebnis davon dann irgendwie kontrollieren?
> Also mit Taschenrechner (GTR) oder so?
Gib einfach sehr hohe Zahlen von x ein, dann bekommste einen Grenzwert gegen unendlich. Bei negativen (betrags-) hohen Zahlen den gegen minus unendlich.
(So hab ich das auch in der Schule zum kontrollieren gemacht ;) )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 So 04.09.2011 | | Autor: | donFabiano |
Es kommt doch immer auf den Lehrer an ;)
Die dritte Ableitung benötige ich nur für den Wendepunkt.
Ich würde aber trotzdem gerne wissen ob es eine Möglichkeit gibt das zu berechnen ohne die Klammer aufzulösen.
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Hoopy86 |
// Editierte Version! Lies dir die Antwort von Rex durch, ich glaub die hilft dir mehr ;)
da du ja nur einen Wert benötigst (im Normalfall) kannst du sie auch so stehn lassen, würde ich sagen...
Einfach einsetzen geht IMMER! Wird natürlich bei vereinfachten Gleichungeneinfacher (setze ein: $f(x) = [mm] \bruch{27}{3x}+12x-3x^{2}+4-3x+2x+3$ [/mm] ist komplizierter und unübersichtlicher als $f(x) = [mm] -3x^{2}+9x+7+\bruch{9}{x}$, [/mm] aber es kommt das gleiche (oder das selbe???) Ergebnis raus...
Allerdings wird deine 2. Ableitung eh nie = 0 und es gibt keine Wendepunkte, womit du dir die 3. Ableitung komplett sparen kannst ;)
Achso... Und natürlich kann man Produkt- und Quotientenregel so weit ineinander verschachteln wie man will, aber wenn man vorher vereinfacht sollte es leichter werden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 04.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ein kleiner Tipp noch.
Wenn du die Ableitungen nicht ausmultiplizierst, kannst du meist noch kürzen.
Hier also:
[mm] f'(x)=\bruch{12x}{(x^2+2)^2} [/mm]
[mm] f''(x)=\frac{12(x^{2}+2)^{2}-12x\cdot2\cdot(x-2)\cdot2x}{{(x^{2}+2)^{4}} [/mm]
[mm] =\frac{12(x^{2}+2)-12x\cdot2\cdot2x}{{(x^{2}+2)^{3}} [/mm]
[mm] =\frac{12x^{2}+24-48x^{2}}{{(x^{2}+2)^{3}} [/mm]
[mm] =\frac{24-36x^{2}}{{(x^{2}+2)^{3}} [/mm]
Damit wird das Ableiten meist leichter, denn die Exponenten bleiben kleiner.
Marius
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