Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe gerade ein großes Problem mit der Analysis, mit der wir vor kurzem angefangen haben. Im Grunde haben wir Grenzwerte in der Schule immer nur kurz abgehandelt, aber jetzt wird es so kompliziert (und wichtig) dass ich kaum was verstehe, aber verstehen muss :(
Wir haben Funktionen bekommen, die wir auf Konvergenz untersuchen sollen (gegen + unendlich).
Beispiel:
[mm] (3n^3 [/mm] - 7n + 1) / (2 - 5n² - [mm] 6n^3)
[/mm]
Was muss ich denn jetzt machen?
Ich habe aufgrund anderer Beispiele vemutet, man muss durch [mm] n^3 [/mm] teilen um möglichst viele Brüche zu erhalten. Dann die Brüche in Gedanken zu streichen, weil sie ja gegen Null gehen, aber dann noch 3 / (-6) übrigbleibt, also geht die Funktion gegen 3/-6?
Aber das kanns ja irgendwie nicht sein, bei der Umformung und Untersuchung auf Konvergenz nur Brüche zu formen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 23.11.2008 | | Autor: | moody |
Es reicht wenn du die n mit den höchsten Exponenten betrachtest:
[mm] \bruch{2n^3}{-6n^3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
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Das macht Sinn, danke.
Gilt das für alle solche Funktionen?
Die Aufgabe war zu untersuchen, ob die Folgen konvergent sind (gegen + unendlich) und dann ggf den Grenzwert zu bestimmen.
Bei 5n²+1/7-9n geht das ja nicht mehr so einfach, weil die Exponenten nicht gleich sind.
Oder bei [mm] 4^n [/mm] + 1 / 3*2^(2n+1) - 1
Bei der ersten Funktion hab ich -unendlich heraus und bei der zweiten 1. Aber mit dem Brucherstellen ist mir das irgendwie zu kompliziert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 23.11.2008 | | Autor: | moody |
> Das macht Sinn, danke.
>
> Gilt das für alle solche Funktionen?
Du betrachtest immer das Glied der Funktion mit dem größten Exponenten.
> Bei der ersten Funktion hab ich -unendlich heraus
Stimmt
> bei der zweiten 1. Aber mit dem Brucherstellen ist mir das
> irgendwie zu kompliziert.
Benutze doch bitte den Formeleditor, ist nicht schwer.
[mm] \bruch{4^n + 1}{3*2^{2(n+0.5)} -1}
[/mm]
wichtig ist nur:
[mm] \bruch{4^n}{3*4^{n+0.5}}
[/mm]
Das konvergiert gegen 0 weil der Nenner schneller wächst als der Zähler.
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Eigentlich meinte ich
$ [mm] \bruch{4^n}{3\cdot{}4^{n+1}} [/mm] $
Bleibt es dann trotzdem bei 0? Ich hatte jetzt 1 gedacht.
Sind denn alle 3 genannten Funktionen auch konvergent? Oder gibt es auch divergente Funktionen die einen Grenzwert gegen + unendlich haben?
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Noch schwieriger finde ich zb
(n+2^(-n)/ [(Wurzel aus n)+1*(Wurzel aus n)+2]. Hier habe ich ja gar keine Exponenten?
Genau wie bei der Wurzel aus (n²+n-n).
Ich hab bei der einen Wurzelfunktion als Grenzwert 1 und bei der letzten 0,5 - aber eben mit einem sehr komplizierten Lösungsweg.
Die beiden sind doch auch konvergent gegen +unendlich, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 23.11.2008 | | Autor: | Englein89 |
Tut mir leid ich komme noch nicht mit dem richtigen Funktionenschreiben klar. Ich arbeite dran!
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Hallo Englein,
> Eigentlich meinte ich
>
> [mm]\bruch{4^n}{3\cdot{}4^{n+1}}[/mm]
>
> Bleibt es dann trotzdem bei 0? Ich hatte jetzt 1 gedacht.
Weder noch, benutze die Potenzgesetze für eine kleine Umformung:
[mm] $\bruch{4^n}{3\cdot{}4^{n+1}}=\bruch{\red{4^n}}{3\cdot{}4\cdot{}\red{4^{n}}}=...$
[/mm]
Und das strebt gegen ...
>
> Sind denn alle 3 genannten Funktionen auch konvergent? Oder
> gibt es auch divergente Funktionen die einen Grenzwert
> gegen + unendlich haben? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Kannst du genauer erläutern, was du damit meinst?!
>
>
> ---
>
> Noch schwieriger finde ich zb
>
> (n+2^(-n)/ [(Wurzel aus n)+1*(Wurzel aus n)+2]. Hier habe
> ich ja gar keine Exponenten?
Was steht denn da? Dies: [mm] $\frac{n+2^{-n}}{(\sqrt{n}+1)\cdot{}(\sqrt{n}+2)}$ [/mm] ??
Klammere im Zähler n aus, multipliziere im Nenner die Klammern aus und klammere anschließend im Nenner auch n aus, dann n kürzen und den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen
Bedenke, dass [mm] $2^{-n}=\frac{1}{2^n}$
[/mm]
>
> Genau wie bei der Wurzel aus (n²+n-n).
>
> Ich hab bei der einen Wurzelfunktion als Grenzwert 1 und
> bei der letzten 0,5 - aber eben mit einem sehr
> komplizierten Lösungsweg.
>
> Die beiden sind doch auch konvergent gegen +unendlich,
> richtig?
Was ist denn Konvergenz gegen [mm] $\infty$ [/mm] ??
Das kenne ich unter divergent oder auch bestimmt divergent
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Folgen konvergent sind (n gegen unendlich), und berechnen Sie ggfs. die Grenzwerte:
1) 5n²+1/7−9n
2) 3n³ - 7n +1 / 2- 5n² -6n³
3) [mm] 4^n [/mm] + 1/ 3*2^(2n+1) -1
4) $ [mm] \frac{n+2^{-n}}{(\sqrt{n}+1)\cdot{}(\sqrt{n}+2)} [/mm] $
5) Wurzel aus (n2 + n − n) |
Ich versuche es nochmal
Meine Ergebnisse waren, dass alle konvergent sind und als Grenzwerte
1) - unendlich
2) -0,5
3) 1
4) 1
5) 0,5
Aber ich rechne sehr kompliziert, so wie wir das in der Vorlesung mal hatten, aber ich sehe ja, dass es auch einfacher geht, aber bei mir hat es nicht klick gemacht bisher :(
PS Sorry, aber das klappt bei mir einfach noch nicht besser mit dem Bruch darstellen. Hab jetzt 3 Mal korrigieren müssen. Ich bin dran..
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Hallo nochmal,
wenn du's mit dem Formeleditor nicht hinbekommst, setze wenigstens vernünftig Klammern, was ist da bei der letzten los? [mm] $\sqrt{n^2+n-n}=\sqrt{n^2}=n$
[/mm]
Also bitte mute uns nicht solch einen Augenkrampf zu ...
> Entscheiden Sie, ob die folgenden Folgen konvergent sind (n
> gegen unendlich), und berechnen Sie ggfs. die Grenzwerte:
>
> 1) 5n²+1/7−9n
Klammern setzen !!!!!!
> 2) 3n³ - 7n +1 / 2- 5n² -6n³
Klammern ????
> 3) [mm]4^n[/mm] + 1/ 3*2^(2n+1) -1
> 4) [mm]\frac{n+2^{-n}}{(\sqrt{n}+1)\cdot{}(\sqrt{n}+2)}[/mm]
> 5) Wurzel aus (n2 + n − n)
> Ich versuche es nochmal
>
> Meine Ergebnisse waren, dass alle konvergent sind und als
> Grenzwerte
>
> 1) - unendlich ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn der "GW" [mm] $\pm\infty$ [/mm] ist, spricht man nicht von Konvergenz, sondern von (bestimmter) Divergenz
> 2) -0,5
> 3) 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Auf dieses Ergebnis komme ich weder mit [mm] $4^{n+1}$ [/mm] noch mit [mm] $4^n+1$ [/mm] im Zähler ... rechne nochmal nach
> 4) 1
> 5) 0,5
Gemeint ist [mm] $\wurzel{n^2+n}-n$ [/mm]
Klicke mal drauf!!
>
> Aber ich rechne sehr kompliziert, so wie wir das in der
> Vorlesung mal hatten, aber ich sehe ja, dass es auch
> einfacher geht, aber bei mir hat es nicht klick gemacht
> bisher :(
>
> PS Sorry, aber das klappt bei mir einfach noch nicht besser
> mit dem Bruch darstellen. Hab jetzt 3 Mal korrigieren
> müssen. Ich bin dran..
Brüche gehen so: \bruch{3x^2+4x-1}{2^{-3n}+3} ergibt: [mm] $\bruch{3x^2+4x-1}{2^{-3n}+3}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Hallo,
ich möchte gern nochmal eine allgemeine Frage stellen, vielleicht ist das bei mir noch ein springender Punkt.
Wir haben heute für Folgen und Reihen zur Konvergenz- und Divergenzberechnung verschiedene "Schemen" kennengelernt, wie das Rechnen mit Minoranden und Majoranden, Wurzel- und Quotientenkriterium.
Sind das die obligatorischen Regeln für solche Berechnungen? Das Problem bei den Aufgaben war schlichtweg, dass ich nicht wusste, nach welchem Schema ich hier verfahren soll. Kann es sein, dass man in der Regel mit diesem Schemen verfährt, wenn solche Fragestellungen nach Konvergenz und Divergenz von Reihen bzw Folgen auftauchen?
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Hallo Englein!
> Wir haben heute für Folgen und Reihen zur Konvergenz- und
> Divergenzberechnung verschiedene "Schemen" kennengelernt,
> wie das Rechnen mit Minoranden und Majoranden, Wurzel- und
> Quotientenkriterium.
>
> Sind das die obligatorischen Regeln für solche
> Berechnungen?
Ja!
> Das Problem bei den Aufgaben war schlichtweg,
> dass ich nicht wusste, nach welchem Schema ich hier
> verfahren soll.
Das kommt auf die einzelenn Reihen an. Dafür ist etwas Übung erforderlich, um das richtige Kriterium erkennen zu können.
> Kann es sein, dass man in der Regel mit
> diesem Schemen verfährt, wenn solche Fragestellungen nach
> Konvergenz und Divergenz von Reihen bzw Folgen auftauchen?
Ganz genau!
Gruß vom
Roadrunner
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Super, danke. Da wir das ziemlich zügig behandeln und die Formeln aus dem Skript teilweise ohne Beispiele kaum zu entziffern sind, muss ich erstmal ein Gefühl dafür bekommen.
Ich hab mir mal zwei Beispielaufgaben rausgesucht. Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen, wie ich bei solchen Aufgaben nun nach Grenzwertkriterium, Qurzelkriterium und der Berechnung mit Minoranden oder Majoranden auf ein Ergebnis komme?
Die Reihen [mm] \bruch{5^n}{n*3^n} [/mm] , n>=1 sowie [mm] \bruch{1}{\wurzel{(n^3)+n}+\wurzel{n+1}} [/mm] , n>=0 sollen auf Konvergenzverhalten überprüft werden.
Kann ich hier mit der Analyse der Monotonie beispielsweise schon auf Schlüsse kommen? (Nur als Zusatzfrage)
Was bedeutet eigentlich nun Konvergenz und Divergenz? Ich kann mir nichts darunter vorstellen, wenn man sagt, wenn der Grenzwert einen Wert erreicht oder nie erreicht (?).
Bei [mm] \bruch{n^2}{(3n^3)+2} [/mm] , n>=0 beispielsweise bin ich nach einem Beispiel aus der Vorlesung so vorgegangen, dass ich gesagt habe, nach dem Grenzwertkriterium ist 1/n divergent (aber verstanden hab ich es leider nicht richtig). Dann müsste ich ja eigtl noch dem Limes berechnen, aber außer dem Wurzelkriterium sehe ich kein genaues Schema, da die Beispiele nicht gerade für viele Fälle zutreffen
Welches Kriterium benutze ich eigentlich vorwiegend bei der Berechnung solcher Aufgaben am besten? Gibt es eine ungeschriebene Regel, womit man es am besten zuerst versucht?
Lieben Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
konvergieren heisst auf deutsch zulaufen. wenn eine Folge auf einen festen Wert zulaeuft heisst sie konvergent. wenn sie beliebig gross wir mit wachsenden n heisst sie bestimmt divergent, wenn sie wie etwa [mm] (-1)^n [/mm] zwischen mehreren werten hier -1 und +1 hin und her wackelt heisst sie divergent .
Besonders interessant sind die konvergenten folgen, weil man mit denen "neue" Zahlen wie e oder [mm] \pi [/mm] oder [mm] \wurzel{2} [/mm] konstruieren kann.
als erstes sollte man folgen leicht erkennen, die gegen 0 konvergieren. das sind alle Folgen der Form [mm] 1/n^k [/mm] k>0
alle Folgen der Form [mm] q^n [/mm] mit q<1
Wenn das schon mal klar ist hat man schon viel gewonnen.
etwa:$ [mm] \bruch{5^n}{n\cdot{}3^n} [/mm] $
[mm] \bruch{5^n}{n\cdot{}3^n} [/mm] =( [mm] \bruch{5^}{3})^n*\bruch{1}{n}
[/mm]
( [mm] \bruch{5^}{3})^n [/mm] divergiert,bestimmt, [mm] \bruch{1}{n} [/mm] geht gegen 0. also gehts nicht ganz einfach.
Also brauch ich ein anderes Kriterium. wie waechst diese folge? wird sie immer groesser oder immer kleiner?
wenn [mm] a_{n+1}/a_n<1 [/mm] ist werden die Folgenglieder immer kleiner also kann sie nicht gegen unendlich gehen also konvergiert sie. sonst divergiert sie.
Die zweite Folge sieht man direkt dass sie gegen 0 geht, weil sie ja kleiner ist als 1/n
Bei deinem 3 ten Bsp:
$ [mm] \bruch{n^2}{(3n^3)+2} [/mm] $
kuerzt man am besten [mm] n^2 [/mm] raus (grundsaetzlich bei solchen Bruechen immer durch die hoechste Potenz ueberhaupt alles teilen, oder durch die hoechst Potenz im Zaehler
also $ [mm] \bruch{n^2}{(3n^3)+2} =\bruch{1}{(3n)+2/n^2} [/mm]
dann kann man sagen [mm] 0<\bruch{1}{(3n)+2/n^2}
und deshalb konvergent gegen 0
Du hast geschrieben 1/n ist divergent, das ist einfach falsch! 1/n ist eine sog. Nullfolge.
Habt ihr vielleicht schon Reihen also [mm] S_n=\summe_{i=1}^{n}1/i
[/mm]
diese Summe ist divergent wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht!
Kann es sein, dass ihr schon Reihen behandelt? und nicht mehr nur folgen?
Denn die Begriffe die du nennst gehoern eigentlich zu Reihen, oder was dasselbe ist zu folgen von Summen. du fraegst aber hier nur nach gewoehnlichen folgen.
Gruss leduart
Gruss leduart
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Danke! Ich schaue es mir morgen nochmal genauer an!
Ich meine Reihen, habe ich auch davor geschrieben. Man sagte uns, dass zwischen Folgen und Reihen aber kein großer Unterschied besteht (?).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke! Ich schaue es mir morgen nochmal genauer an!
>
> Ich meine Reihen, habe ich auch davor geschrieben. Man
> sagte uns, dass zwischen Folgen und Reihen aber kein großer
> Unterschied besteht (?).
naja, von einem gewissen Standpunkt aus:
Jede Reihe läßt sich als Folge schreiben und jede Folge auch als eine gewisse Reihe. Zudem ist eine Reihe (z.B. der Art [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$) [/mm] zunächst mal nur ein Symbol für die Folge ihrer Teilsummen (hier: [mm] $\left(\sum_{k=0}^n a_k\right)_{n \in \IN_0}$), [/mm] und diese Teilsummenfolge untersucht man auf Konvergenz. Und falls sie konvergiert, schreibt man dann auch [mm] $\sum_{...}^\infty...$ [/mm] als Symbol für den Grenzwert (hier: [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$).
[/mm]
Da gibt es enge Zusammenhänge. Aber generell ist die Untersuchung, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert, meist etwas "problembehafteter" als die einer Folge, die "nicht so kompliziert" entsteht.
Bei Reihen gibt es daher viele andere nützliche Kriterien. Manche ergeben sich sehr einfach (z.B. Majorantenkriterium: beim Beweis zum Majo-Kr. kann man z.B. den Satz, dass monoton wachsende und nach oben beschränkte Folgen konvergent sind, benutzen), manche werden etwas "komplizierter".
Also in einem gewissen Sinne sind Folgen und Reihen doch wieder etwas, wo man sagen kann, dass es da keinen großen Unterschied gibt. (Eine Reihe ist erstmal die Folge ihrer Teilsummen; also ist eine Reihe erstmal quasi nur eine gewisse spezielle Folge. Und bei den Teilsummen sind auch schon wieder die Summanden Glieder einer Folge, also irgendwie ist eine Reihe etwas, wo man schonmal erst eine Folge haben muss und damit dann wieder eine neue, spezielle Folge (die Folge der Teilsummen) bildet...)
Andererseits sind Reihen wieder etwas "spezielle" Folgen, so dass man für diese auch "spezielle" Konvergenzaussagen/Kriterien zur Verfügung hat.
Also genauer z.B. so:
Sei [mm] $(a_k)_{k \in \IN_0}$ [/mm] (z.B.) eine Folge in [mm] $\IK$ [/mm] mit [mm] $\IK \in \{\IR,\;\IC\}$. [/mm] Dann heißt die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n a_k\;\;\;(n \in \IN_0)$$
[/mm]
die Folge der (mit [mm] $(a_k)_k$ [/mm] gebildeten) Teilsummen. Für die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] schreiben wir dann auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] und nennen sie auch die Reihe über die [mm] $a_k$ [/mm] oder die mit [mm] $(a_k)_k$ [/mm] gebildete Reihe.
Falls die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, d.h. falls [mm] $\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k$ [/mm] existiert, so setzen wir auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k:=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n a_k\,.$
[/mm]
So oder so ähnlich ist das (in gängiger Manier) definiert (siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) Definition 6.1 von hier).
Das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] kann also zwei Bedeutungen haben:
[mm] $\bullet$ $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] steht erstmal nur für die oben definierte Folge der Teilsummen [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}\,.$ [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Falls [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, also wenn [mm] $(s_n)_n$ [/mm] konvergiert, dann steht [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] auch für [mm] $\lim_{n \to \infty}s_n\,.$ [/mm] Und wann dann die entsprechende Teilsummenfolge und wann der Grenzwert dieser Teilsummenfolge gemeint ist, sollte sich dann stets aus dem Zusammenhang ergeben.
Gruß,
Marcel
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Bei [mm] \bruch{5^n}{n\cdot{}3^n} [/mm] bekomme ich aber N/n+1 heraus, was wäre denn das?
Hab das Quotientenkriterium angewandt.
Irgendwann hab ich dann
[mm] \bruch{5^(n+1)*3n^n}{(n+1)3^(n+1)*5^n} [/mm] und dann müsste das gekürzt doch n/n+1 ergeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ist das jetzt einfach ne Folge, [mm] a_n [/mm] oder ist es ein Summand in der Summe? [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i
[/mm]
und willst du die Konvergenz der Summe oder der Folge zeigen?
2. was du geschrieben hast ist unlesbar. bitte schau deine posts mit Vorschau an, und ueberleg, ob man das lesen kann Ausser dem (n+1)/n muss da doch auch noch was von dem 5/3 sein?
Gruss leduart
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Es sind Reihen, die ich auf Konvergenz oder Divergenz untersuchen soll.
[mm] \summe_{n\ge1} [/mm] für mein erstes Beispiel und [mm] n\ge0 [/mm] für die anderen 3 Beispiele.
Ich soll anwenden: Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium, Minoranden, Majoranden-Berechnung (bzw ich kann es anwenden, sollte es jedenfalls können).
Es kann sein, dass ich bei der letzten Berechnung einen Rechenfehler gemacht hab, aber ich seh ihn gerade nicht. Indem ich das Quotientenkriterium benutze habe ich durch Umformung:
[mm] \bruch{5^n}{n\cdot{}3^n} [/mm] => [mm] \bruch{5^{n+1}*3^n}{(n+1)*3^{n+1)}*5^n}
[/mm]
Ich weiß gerade nicht warum er das nicht so darstellt, aber es soll lauten: 5 ^ (n+1) und 3 ^(n+1)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab dein post geaendert. Hochzahlen, die laenger als ein Zeichen sind muessen in geschweifte Klammern.
> Es sind Reihen, die ich auf Konvergenz oder Divergenz
> untersuchen soll.
>
> [mm]\summe_{n\ge1}[/mm] für mein erstes Beispiel und [mm]n\ge0[/mm] für die
> anderen 3 Beispiele.
>
> Ich soll anwenden: Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium,
> Leibnizkriterium, Minoranden, Majoranden-Berechnung (bzw
> ich kann es anwenden, sollte es jedenfalls können).
>
> Es kann sein, dass ich bei der letzten Berechnung einen
> Rechenfehler gemacht hab, aber ich seh ihn gerade nicht.
> Indem ich das Quotientenkriterium benutze habe ich durch
> Umformung:
>
> [mm]\bruch{5^n}{n\cdot{}3^n}[/mm] =>
> [mm]\bruch{5^{n+1}*3^n}{(n+1)*3^{n+1)}*5^n}[/mm]
Quotient nicht richtig:
[mm]\bruch{5^{n+1}*3^n*n}{(n+1)*3^{n+1)}*5^n}[/mm]
kuerzen [mm] ergibt:\bruch{5*n}{3*(n+1)}=\bruch{5}{3+3/n}
[/mm]
ob das groesser oder kleiner 1 ist kannst du jetzt selbst sehen
Gruss leduart
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Da bei der letzten Aufgabe ja das Quotientenkriterium angewandt wurde, muss ich ja jetzt noch einen Wert größer oder kleiner eins bekommen. Wie bekomme ich den nun? Ich hab mir die Potenzregeln nochmal genauer angeschaut, aber was darf ich denn nun kürzen, um auf einen bestimmten Wert zu kommen?
Wie funktioniert dan eigentlich das Grenzwertkriterium? Kürze ich dann einfach wie zB bei [mm] \bruch{n^2}{3n^3 + 2} [/mm] durch [mm] n^2, [/mm] weil es im Zähler die höchste Potenz ist und teile dann durch 1/n? Und verfahre dann beim kürzen und weiterrechnen wieder so lange, bis ich einen bestimmten Wert bekomme (ist das dann der Grenzwert?) und interpretiere ihn dann?
Wo ich noch ein großer Problem habe, ist der Bruch [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^3 + n}+ \wurzel{n+1}}. [/mm] Mit der Quotientenkriterium rechne ich ja elendig lange. Beim Grenzwertkriterium wüsste ich nicht, wie ich kürzen soll, um den Dividenden herauszubekommen. Aber ich habe ja noch das Qurzelkriterium und die Berechnung mit Minoranden und Majoranden kennengelernt, werde aber aus dem Skript nicht schlau. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Anhand von Beispielen wird mir das immer am meisten klar.
Wie ich bei [mm] \bruch{(7+ 1/n)^n}{7{^n+1}} [/mm] vorgehen könnte ist mir auch schleierhaft. :( Einen Tipp?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
1. Quotientenkriterium:
du musst a_{n+1}/a_n<q<1 haben, damit die reihe garantiert konvergiert.
z. Bsp.a_{n+1}/a_n= 3/5*(1+1/n)<4,5/5<1 fuer n>2 also waere das konvergenzkriterium erfuellt.
aber a_{n+1}/a_n=5/3*(1+1/n)>5/3 fuer alle n also nicht erfuellt, garantiert divergent
a_{n+1}/a_n=n/(n+1)<1 aber es gibt kein q,1 so dass fuer alle n>N der Ausdruck <q ist. also kein beweis fuer Konvergenz, aber auch keine garantierte divergenz. Hier muss man was anderes versuchen.
$ a_{n+1}/a_n=\bruch{n^2}{3n^3 + 2}=\bruch{1}{3n+2/n^2 $
hier sieht man direkt, dass es <q=1/3 ist fuer alle n>1
dabei hilft dir das kuerzen durch n^2 das zu sehen !
Sehr oft hilft das majorantenkriterium. Du zeigst, dass alle Summanden ab irgendeinem n kleiner sind als die Summanden einer bekannten konvergierenden Reihe. Die heisst dann Majorante, weil sie groesser (major) ist. wenn ne groessere Summe schon endlich bleibt, dann sicher die kleinere. Die haeufigste Reihe die man als majorante benutzt ist die geometrische, also \summe_{i=1}^{n}q^i q<1
und wenn man einmal bewiesen hat dass \summe_{i=1}^{n}1/n^r fuer alle r>1 konvergiert, dann auch die.
wenn ihr das bewiesen habt kannst du deine Wurzelsache mit r=3/2 Majorisieren.
bei Bruechen immer dran denken, wenn man den Nenner verkleinert, wird der Bruch groesser
Bei dem letzten such mal erst, ob die summanden ueberhaupt eine Nullfolge bilden! das sollte sowieso immer der erste Schritt sein, weil das ja das NOTWENDIGE Kriterium ist.
Gruss leduart
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Ok.
Anhand der Tipps habe ich schonmal ein paar Aufgaben gelöst mit den Kriterium die ich zur Bestimmung der Kovergenz von Reihen gelernt habe.
Bei [mm] \bruch{n^2}{3n^3 + 2} [/mm] habe ich das Quotientenkriterium angewandt und am Ende heraus [mm] \bruch{5n}{3n + 3}=5/3 [/mm] also größer 1 und damit divergent.
Ich habe es auch mit dem Minorantenkriterium versucht, also gesagt, dass die Reihe immer größer ist als 1/n und 1/n ist ja divergent.
Aber so ganz habe ich nicht verstanden, wieso 1/n? Aus einem anderen Beispiel habe ich das mal gefolgert, aber die Erklärung verstehe ich noch nicht ganz.
Bei [mm] \bruch{n^2}{3n^3 + 2} [/mm] habe ich das Grenzwertkriterium angewandt und heraus [mm] \bruch{1}{2n^3 + 3}=\bruch{1}{2} [/mm] . Ich habe durch 1/n geteilt, ich habe also mit der höchsten Potenz des Zählers gekürzt und dann 1/n herausbekommen und 1/n ist ja divergent.
Bei [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^3 + n} + \wurzel{n+1}} [/mm] habe ich das Grenzwertkriterium genommen und gesagt, dass [mm] 1/\wurzel{n^3} [/mm] konvergent ist und dann hatte ich am Ende 1 heraus, da [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+1/n^2} + \wurzel{1/n^2 + 1/n^3}} [/mm] = 1.
Ich hoffe ich hab das soweit richtig gemacht, mir fällt es leichter mit den Regen zu rechnen, da ich solche Dinge nicht auf Anhieb sehe (noch nicht vielleicht).
Gerade das Minoranten- und Majorantenkriterium sagt mir durch die allgemeine Form noch nicht wirklich viel. Vielleicht erklärt sich das ja, wenn mir bei der einen Aufgabe jemand sagen kann, wieso das gerade so gleichgesetzt wird.
Ein paar Reihen weiter hab ich noch folgende Aufgaben gefunden, wo ich nicht so recht wusste, womit ich das berechnen könnte.
Einmal die Reihe:
[mm] \bruch{(7+1/n)^n}{7^{n+1}} [/mm] (hier habe ich es mit dem Qurzelkriterium benutzt, kam aber nicht sehr weit, da ich dann ja wosohl Zähler als auch Nenner hätte mit ^1/n berechnen müssen)
und
[mm] \bruch{2^n + 3^n}{4^n + 5^n}, [/mm] wobei mir diese Reihe eigentlich ganz einfach scheint, aber trotzdem komme ich mit dem Quotientenkriterium nicht sehr weit, da ich hier dann sehr viele Terme hab, die ich aufwendig gegeneinander kürzen müsste.
Vielleicht könnte man hier nochmal das Minoranten oder Majorantenkriterium anwenden?
Ich hab es auch mit dem Tipp versucht zu schauen ob es eine Nullfolge ist, müsste die letzte Aufgabe nicht eine solche sein (notw. Bedingung)? Der Nenner wächst ja schneller als der Zähler.
Ich danke euch vielmals für eure Hilfe! Ihr helft mir wirklich weiter, danke für die Geduld. Mich macht es wahnsinnig das nicht zu verstehen, obwohl ich es will.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> Bei [mm]\bruch{n^2}{3n^3 + 2}[/mm] habe ich das Quotientenkriterium
> angewandt und am Ende heraus [mm]\bruch{5n}{3n + 3}=5/3[/mm] also
1. ist das = falsch und ich kann nicht sehen, wie du auf den Ausdruck kommst
> größer 1 und damit divergent.
> Ich habe es auch mit dem Minorantenkriterium versucht,
> also gesagt, dass die Reihe immer größer ist als 1/n und
> 1/n ist ja divergent.
Deine Worte sind falsch, vielleicht meinst du aber das richtige. die Reihe hat Summanden , hier [mm] a_n=\bruch{n^2}{3n^3 + 2} [/mm] wenn diese immer groesser sind als 1/n dann ist die Reihe groesser als die harmonische Reihe.
Aber du solltest zeigen, wie du das gemacht hast, denn mit 1/n ist es falsch. aber wenn du zeigen kannst dass alle Summandengroesser 1/4n sind, dann hast du als Minorante die harmonische reihe *1/4, die natuerlich auch divergiert.
>
> Aber so ganz habe ich nicht verstanden, wieso 1/n? Aus
> einem anderen Beispiel habe ich das mal gefolgert, aber die
> Erklärung verstehe ich noch nicht ganz.
ich fuehr dirs hier mal vor:
[mm] \bruch{n^2}{3n^3 + 2}=\bruch{1}{3n+2/n^2}>\bruch{1}{3n+n}
[/mm]
weil [mm] 2/n^2
Du musst also immer eine "Abschaetzung" aufschreiben, und kannst nicht einfach sagen kleiner 1/n.
> Bei [mm]\bruch{n^2}{3n^3 + 2}[/mm] habe ich das Grenzwertkriterium
Was soll das fuer ein GWkriterium sein?
> angewandt und heraus [mm]\bruch{1}{2n^3 + 3}=\bruch{1}{2}[/mm] . Ich
Das ist einfach falsch! und du kannst auch nicht = schreiben, wenn etwas nicht gleich ist! was du hier gemacht hast versteh ich nicht! siehe meine Rechnung oben
> habe durch 1/n geteilt, ich habe also mit der höchsten
> Potenz des Zählers gekürzt und dann 1/n herausbekommen und
> 1/n ist ja divergent.
>
> Bei [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^3 + n} + \wurzel{n+1}}[/mm] habe ich das
> Grenzwertkriterium genommen und gesagt, dass [mm]1/\wurzel{n^3}[/mm]
auch hier versteh ich wieder nicht was du verwendet hast.
> konvergent
habt ihr das mal bewiesen
> ist und dann hatte ich am Ende 1 heraus, da
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+1/n^2} + \wurzel{1/n^2 + 1/n^3}}[/mm] = 1.
versteh ich nicht.
> Ich hoffe ich hab das soweit richtig gemacht, mir fällt es
> leichter mit den Regen zu rechnen, da ich solche Dinge
> nicht auf Anhieb sehe (noch nicht vielleicht).
>
> Gerade das Minoranten- und Majorantenkriterium sagt mir
> durch die allgemeine Form noch nicht wirklich viel.
> Vielleicht erklärt sich das ja, wenn mir bei der einen
> Aufgabe jemand sagen kann, wieso das gerade so
> gleichgesetzt wird.
siehe oben Minorantenkrit.
> Ein paar Reihen weiter hab ich noch folgende Aufgaben
> gefunden, wo ich nicht so recht wusste, womit ich das
> berechnen könnte.
>
> Einmal die Reihe:
schreib bitte die Reihe mit [mm] a_n [/mm] gleich,, denn was da steht ist keine Reihe
> [mm]\bruch{(7+1/n)^n}{7^{n+1}}[/mm] (hier habe ich es mit dem
> Qurzelkriterium benutzt, kam aber nicht sehr weit, da ich
> dann ja wosohl Zähler als auch Nenner hätte mit ^1/n
> berechnen müssen)
hier kannst du leicht zeigen, dass alle [mm] a_n>1/7 [/mm] sind und deshalb dvergent.
Nochmal: der erste Schritt ist immer die notwendige Bed. bilden die [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge!
>
> und
>
> [mm]\bruch{2^n + 3^n}{4^n + 5^n},[/mm] wobei mir diese Reihe
> eigentlich ganz einfach scheint, aber trotzdem komme ich
> mit dem Quotientenkriterium nicht sehr weit, da ich hier
> dann sehr viele Terme hab, die ich aufwendig gegeneinander
> kürzen müsste.
hier musst du vergroessern und zeigen, dass es kleiner als ne geometrixhe Reihe ist.
Nenner verkleinern ( 4 statt 5) Zaehler vergroessern (3 statt 2)
Geh bitte genauer auf unsere posts ein. zitier sie, wenn du was nicht verstehst. man merkt nicht so recht, was du mit den Ratschlaegen anfaengst.
vielleicht ist es auch besser immer hoechstens 2 Aufgaben bis zu Ende zu machen, zeig genau, wie du sie geloest hast. Dann die naechstn.
So geht zuviel durcheinander.
Gruss leduart
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> Hallo
> >
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> > Bei [mm]\bruch{n^2}{3n^3 + 2}[/mm] habe ich das Quotientenkriterium
> > angewandt und am Ende heraus [mm]\bruch{5n}{3n + 3}=5/3[/mm] also
> 1. ist das = falsch und ich kann nicht sehen, wie du auf
> den Ausdruck kommst
Okay, wahrscheinlich hab ich mich da verrechnet. Kann ich hier nicht das n kürzen und schreiben 5/(3+3), also 5/6? Vielleicht mag die Schreibweise falsch sein, aber ich hab mich hier einfach an Beispielen orientiert, die wir gemacht haben und da schreiben wir das ähnlich. Also schreiben wir beispielsweise lim n->unendlich [mm] \bruch{1}{2 + 3/n^3}=1/2.
[/mm]
Das Grenzwertkriterium meint bei uns:
Sind [mm] \summe a_n [/mm] und /summe [mm] b_n [/mm] zwei Reihen mit positiven Gliedern und 0< lim n->unendlich [mm] a_n/b_n [/mm] < unendlich, so haben die beiden Reihen das gleiche Konvergenzverhalten.
> > größer 1 und damit divergent.
> > Ich habe es auch mit dem Minorantenkriterium versucht,
> > also gesagt, dass die Reihe immer größer ist als 1/n und
> > 1/n ist ja divergent.
> Deine Worte sind falsch, vielleicht meinst du aber das
> richtige. die Reihe hat Summanden , hier
> [mm]a_n=\bruch{n^2}{3n^3 + 2}[/mm] wenn diese immer groesser sind
> als 1/n dann ist die Reihe groesser als die harmonische
> Reihe.
> Aber du solltest zeigen, wie du das gemacht hast, denn mit
> 1/n ist es falsch. aber wenn du zeigen kannst dass alle
> Summandengroesser 1/4n sind, dann hast du als Minorante
> die harmonische reihe *1/4, die natuerlich auch
> divergiert.
Ich versteh die Erklärung leider nicht. Wir haben das bei den Beispielen einfach so gemacht, dass wir gesagt haben: Die Reihe ist konvergent, weil zB [mm] 1/n^2 [/mm] konvergent ist und dann haben wir den Quotienten berechnet. Da dieser zwischen 0 und unendlich liegt, schien es dann bewiesen.
> >
> > Aber so ganz habe ich nicht verstanden, wieso 1/n? Aus
> > einem anderen Beispiel habe ich das mal gefolgert, aber die
> > Erklärung verstehe ich noch nicht ganz.
> ich fuehr dirs hier mal vor:
> [mm]\bruch{n^2}{3n^3 + 2}=\bruch{1}{3n+2/n^2}>\bruch{1}{3n+n}[/mm]
>
> weil [mm]2/n^2
> Du musst also immer eine "Abschaetzung" aufschreiben, und
> kannst nicht einfach sagen kleiner 1/n.
>
> > Bei [mm]\bruch{n^2}{3n^3 + 2}[/mm] habe ich das Grenzwertkriterium
> Was soll das fuer ein GWkriterium sein?
s.o.
> > angewandt und heraus [mm]\bruch{1}{2n^3 + 3}=\bruch{1}{2}[/mm] .
> Ich
> Das ist einfach falsch! und du kannst auch nicht =
> schreiben, wenn etwas nicht gleich ist! was du hier gemacht
> hast versteh ich nicht! siehe meine Rechnung oben
> > habe durch 1/n geteilt, ich habe also mit der höchsten
> > Potenz des Zählers gekürzt und dann 1/n herausbekommen und
> > 1/n ist ja divergent.
> >
> > Bei [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^3 + n} + \wurzel{n+1}}[/mm] habe ich das
> > Grenzwertkriterium genommen und gesagt, dass [mm]1/\wurzel{n^3}[/mm]
> auch hier versteh ich wieder nicht was du verwendet hast.
>
> > konvergent
> habt ihr das mal bewiesen
Ja, wir haben das am Anfang mal bewiesen.
> > ist und dann hatte ich am Ende 1 heraus, da
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+1/n^2} + \wurzel{1/n^2 + 1/n^3}}[/mm] = 1.
> versteh ich nicht.
> > Ich hoffe ich hab das soweit richtig gemacht, mir fällt es
> > leichter mit den Regeln zu rechnen, da ich solche Dinge
> > nicht auf Anhieb sehe (noch nicht vielleicht).
> >
> > Gerade das Minoranten- und Majorantenkriterium sagt mir
> > durch die allgemeine Form noch nicht wirklich viel.
> > Vielleicht erklärt sich das ja, wenn mir bei der einen
> > Aufgabe jemand sagen kann, wieso das gerade so
> > gleichgesetzt wird.
> siehe oben Minorantenkrit.
> > Ein paar Reihen weiter hab ich noch folgende Aufgaben
> > gefunden, wo ich nicht so recht wusste, womit ich das
> > berechnen könnte.
> >
> > Einmal die Reihe:
> schreib bitte die Reihe mit [mm]a_n[/mm] gleich,, denn was da steht
> ist keine Reihe
ich meine zu ALLEN Aufgaben, dass es REIHEN sind. Es geht hier um die Konvergenz von Reihen, bei allen Aufgaben. und diese sind alle definiert für n größer gleich 0.
> > [mm]\bruch{(7+1/n)^n}{7^{n+1}}[/mm] (hier habe ich es mit dem
> > Qurzelkriterium benutzt, kam aber nicht sehr weit, da ich
> > dann ja wosohl Zähler als auch Nenner hätte mit ^1/n
> > berechnen müssen)
> hier kannst du leicht zeigen, dass alle [mm]a_n>1/7[/mm] sind und
> deshalb dvergent.
> Nochmal: der erste Schritt ist immer die notwendige Bed.
> bilden die [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge!
Vielleicht hapert es ja schon an der notwendigen Bedingung. Sollte ich mir da eventuell nochmal genau die gemotreische und harmonische Reihe angucken, oder wie ist das gemeint?
> >
> > und
> >
> > [mm]\bruch{2^n + 3^n}{4^n + 5^n},[/mm] wobei mir diese Reihe
> > eigentlich ganz einfach scheint, aber trotzdem komme ich
> > mit dem Quotientenkriterium nicht sehr weit, da ich hier
> > dann sehr viele Terme hab, die ich aufwendig gegeneinander
> > kürzen müsste.
> hier musst du vergroessern und zeigen, dass es kleiner als
> ne geometrixhe Reihe ist.
> Nenner verkleinern ( 4 statt 5) Zaehler vergroessern (3
> statt 2)
Wie meinst du das? Ich komme da nicht mehr mit, tut mir leid. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die notwendige Bedingun, damit eine Reihe konvergiert, ist dass die [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge bilden. konvergieren die summanden nicht gegen Null divergiert eine Reihe sicher. Das kannst du dir leicht vorstelen, denn dann werden ja unendlich viele Zahlen alle groesse q>0 addiert.
deshalb sieht man immer zu allererst nach, ob die [mm] a_n [/mm] ne nullfolge bilden. wenn etwa [mm] a_n=q^n [/mm] mit q>1 ist muss man nichts mehr untersuchen, oder [mm] a_n=(0.1+1/n^7) [/mm] auch hier keine nullfolge usw.
Deine Folge mit [mm] \bruch{(7+1/n)^n}{7^n} [/mm] ist auch so ein Beispiel alle [mm] a_n [/mm] sin groesser als 1 wenn im nenner [mm] 7^{n+1} [/mm] steht sind sie immer noch alle groesser 1/7
also werden unendlich viele glieder mindestens 1/7 addiert, also divergent!
Bei Minorante und Majorante:
Das was du sagst ist nicht falsch, aber du musst es jeweils wirklich angeben.
Majorante:
also alle deine Summanden $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^3 + n} + \wurzel{n+1}} [/mm] $ sind kleiner als [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^3}} [/mm] also ist die Summe auch kleiner als die Summe [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^3} } [/mm] deshalb muss sie konvergieren. das dividieren kannst du dann sparen.
naechster Fall:
[mm] a_n=$ \bruch{2^n + 3^n}{4^n + 5^n}, [/mm] $
wegen hoch n ist naheliegend deine geometrischr Reihe als majorante zu suchen. deshalb muss ich den Bruch vergroessen, bis ich eine geometrische Reihe habe.
Ein Bruch wird groesser, wenn ich den Nenner verkleinere, deshalb
$ [mm] \bruch{2^n + 3^n}{4^n + 5^n}< \bruch{2^n + 3^n}{4^n + 4^n}$
[/mm]
ein Bruch wird groesser, wenn man den Zaehler vergroessert
also
[mm] \bruch{2^n + 3^n}{4^n + 4^n}<\bruch{3^n + 3^n}{4^n + 4^n}=\bruch{2* 3^n}{2* 4^n}=(\bruch{3}{4})^n
[/mm]
d.h. du hast eine Geometrische Reihe [mm] a_n=(\bruch{3}{4})^n [/mm] gefunden, in der alle Summanden groesser sin, die aber konvergiert, also muss die Reihe, die kleinere Summanden hat auch konvergieren.
Ist es jetzt klar.
Wie man geschickt vergroessert oder verkleinert lernt man auf die Dauer durch Erfahrung. Es hilft wenn man ein Ziel vor Augen hat, hier die geometrische Reihe, davor die Reihe mit [mm] a_n=_1/n^r, [/mm] r>1
Gruss leduart
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Wir haben zwar die gemoterische, harmonische etc Reihe durchgenommen, aber damit nie Konvergenz bzw Divergenz bewiesen, sondern sollen dafür die genannten Kriterien nutzen (Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Minorante oder Majorante). Ich möchte mich eigentlich auch nicht mit noch mehr Möglichkeiten verunsichern :o/
Wäre es möglich die Reihe [mm] \bruch{2^n + 3^n}{4^n + 5^n} [/mm] und [mm] \bruch{(7+1/n)^n}{7^{n+1}} [/mm] mit den Kriterien zu lösen? Eventuell sogar mit Minorante und Majorante? Denn die beiden Kriterien sind und bleiben mir unerklärlich.
Vielen Dank für eure Geduld!
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Hallo Englein!
[mm] $$\bruch{\red{2}^n + 3^n}{4^n + 5^n} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \bruch{\red{3}^n + 3^n}{4^n + 5^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*3^n}{4^n + \blue{5}^n} [/mm] \ [mm] \blue{<} [/mm] \ [mm] \bruch{2*3^n}{4^n + \blue{4}^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*3^n}{2*4^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^n}{4^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{3}{4}\right)^n$$
[/mm]
Und was weißt Du über die geometrische Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^n$ [/mm] ?
[mm] $$\bruch{\left(7+\bruch{1}{n}\right)^n}{7^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(7+\bruch{1}{n}\right)^n}{7*7^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{7}*\left[\bruch{7+\bruch{1}{n}}{7}\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{7}*\left(1+\bruch{1}{7n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{7}*\left(1+\bruch{\bruch{1}{7}}{n}\right)^n$$
[/mm]
Wohin strebt dieser Term? Ist dies eine Nullfolge?
Was heißt das dann für die Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\left(7+\bruch{1}{n}\right)^n}{7^{n+1}}$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
nach welchen Regeln/Kriterien bist du da vogegangen, vor allem beim ersten?
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Hallo Englein!
Bei der 1. Aufgabe zielt es auf das Majorantenkriterium hin. daher habe ich den Term der gegebenen Reihe jeweils gegen etwas größers abgeschätzt, von dem ich am Ende weiß, dass diese Reihe konvergiert.
Bei der 2. Aufgabe habe ich zunächst ausschließlich unter Anwendung der  Potenzgesetze umgeformt.
Gruß vom
Roadrunner
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> [mm]\bruch{2^n + \red{3}^n}{4^n + 5^n} \ \red{<} \ \bruch{2^n + \red{2}^n}{4^n + 5^n} \ = \ \bruch{2*2^n}{\blue{4}^n + 5^n} \ \blue{<} \ \bruch{2*2^n}{\blue{5}^n + 5^n} \ = \ \bruch{2*2^n}{2*5^n} \ = \ \bruch{2^n}{5^n} \ = \ \left(\bruch{2}{5}\right)^n[/mm]
Warum sollte [mm] \frac{2^n + 3^n}{4^n+5^n} [/mm] < [mm] \frac{2^n + 2^n}{4^n + 5^n} [/mm] sein? Müsste dies nicht eher [mm] \frac{2^n + 3^n}{4^n+5^n} [/mm] < [mm] \frac{3^n + 3^n}{4^n + 5^n} [/mm] sein, und kommen somit hinterher auf die Geometrischereihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo stekoe!
Du hast selbstverständlich Recht ... da habe ich oben Mist geschrieben! Ich habe es gerade korrigiert.
Vielen Dank fürs Aufpassen und die Korrektur!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
es bleibt im Nenner komisch/falsch!
Die Abschätzung ist in die falsche Richtung, du musst doch den Nenner verkleinern
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
Du hast natürlich auch Recht ... vielleicht sollte ich nunmehr die Finger von dieser Aufgabe lassen (nachdem ich es nunmehr endlich richtig korrigiert habe!).
Gruß vom
Roadrunner
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Gut, also:
Dann wäre ja die erste Reihe kovergent da für q<1 die geometrische Reihe konvergiert, richtig?
Da hast du also umgeformt, bis du eine passende Majorante zu der Reihe gefunden hast.
Allerdings bin ich beim zweiten Term unschlüssig. Es ist ja keine Nullfolge, denn im Grunde summiere ich zu 1/7 ja immer etwas dazu es wird also immer größer. Aber was sagt mir das nun über Konvergenz und diergenz aus?
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Hallo stekoe!
Für die Konvergenz der Reihe [mm] $\summe_{n}^{\infty}a_n$ [/mm] ist es ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Also: [mm] $a_n [/mm] \ \ [mm] \text{ keine Nullfolge } [/mm] \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ [mm] \summe_{n}^{\infty}a_n [/mm] \ \ [mm] \text{divergent}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ich habe nun nochmal versucht auf eigene Faust zwei Aufgaben zu lösen, könnt ihr mir sagen, ob das so okay ist?
Einmal die Reihe [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 1}}. [/mm] Da habe ich nach einer Majorante gesucht und gesagt
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 1}} [/mm] < 1/n und da 1/n divergiert, ist nach Majorantenkriterium die Reihe [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2 + 1}} [/mm] auch divergent.
Aber die Regel besagt doch: Besitzt die Reihe a(n) eine konvergente Majorante, so ist die Reihe a(n) absolut konvergent und [mm] \summe [/mm] |a(n)| [mm] \le \summe [/mm] b(n). Wie muss ich das nun verstehen? Ich dachte bei dem Kriterium sucht man eine Reihe, von der man die Konvergenz bzw Divergenz kennt und setzt sie entweder größer oder kleiner als die Urprungsreihe. Und da die Urpsurngsreihe hier noch kleiner ist als die ohnehin schon divergente Reihe 1/n müsste die Reihe doch auch divergent sein?
Die zeite Reihe war [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^4 + 1}}. [/mm] Da hab ich das Quotientenkriterium angewandt und am Ende divergent heraus.
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Hallo englein,
> Ich habe nun nochmal versucht auf eigene Faust zwei
> Aufgaben zu lösen, könnt ihr mir sagen, ob das so okay
> ist?
Vllt. wäre es sinnvoll, wenn du einen neuen thread aufmachen würdest zu einer neuen Frage, dieser ist nun schon ellenlang und ziemlich unübersichtlich ...
>
> Einmal die Reihe [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 1}}.[/mm] Da habe ich
> nach einer Majorante
???
> gesucht und gesagt
>
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 1}}[/mm] < 1/n und da 1/n divergiert,
> ist nach Majorantenkriterium die Reihe
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2 + 1}}[/mm] auch divergent.
Nein, absoluter Unsinn!
Du hast eine divergente Majorante gefunden.
Also hast du eine größere Reihe gefunden, deren Wert nicht endlich ist.
Deine Ausgangsreihe ist aber kleiner (!!!) und kann damit doch einen endlichen Wert haben, wieso sollte die divergieren??
Diese Abschätzung bringt dir also nix
>
> Aber die Regel besagt doch: Besitzt die Reihe a(n) eine
> konvergente Majorante, so ist die Reihe a(n) absolut
> konvergent und [mm]\summe[/mm] |a(n)| [mm]\le \summe[/mm] b(n). Wie muss ich
> das nun verstehen? Ich dachte bei dem Kriterium sucht man
> eine Reihe, von der man die Konvergenz bzw Divergenz kennt
> und setzt sie entweder größer oder kleiner als die
> Urprungsreihe. Und da die Urpsurngsreihe hier noch kleiner
> ist als die ohnehin schon divergente Reihe 1/n müsste die
> Reihe doch auch divergent sein?
Wieso das denn?
Das Kriterium heißt doch "Majoranten-/Minorantenkriterium"
Für Konvergenz suchst du eine größere konvergente Reihe (=Majorante)
Die hat einen endlichen Wert, deine Ausgangsreihe ist kleiner, muss damit also auch einen endlichen Wert haben und konvergieren.
Für Divergenz suchst du eine kleinere divergente Reihe (=Minorante)
Die hat keinen endlichen Wert, divergiert also gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Deine Ausgangsreihe ist dann GRÖßer und muss folglich auch divergieren.
Die beiden Kriterien und die damit verbundenen Abschätzungsrichtungen solltest du tunlichst auseinanderhalten und nicht vermischen wie hier geschehen
Deine erste Reihe ist in der Tat divergent, finde also (ganz ähnlich zu deiner gefundenen Reihe) eine divergente Minorante, verkleinere also deine Reihe entsprechend ...
>
> Die zeite Reihe war [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^4 + 1}}.[/mm] Da hab ich
> das Quotientenkriterium angewandt und am Ende divergent
> heraus.
????? wie das? Rechne mal vor!
Hier hast du ein Paradebsp. für das Majorantenkriterium, finde eine größere Reihe, die bekanntermaßen konvergent ist
Die Ausgangsreihe ist doch von der "Größenordnung"
[mm] $\summe\bruch{1}{n^2}$ [/mm] was auf jeden Fall konvergent ist
Schätze also auch hier deine Reihe ab (dieses mal nach oben), vergrößere die Reihe also entsprechend, bis du eine konvergente Majorante hast
LG
schachuzipus
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Zu der zweiten Aufgabe, die ich mit dem Quotientenkriterium berechnet habe:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^4 + 1}} [/mm] divergent, da
lim n -> unendlich [mm] \bruch{\wurzel{n^4 + 1}}{\wurzel{(n+1)^4+1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2+1}{(n+1)^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{n^2+1}{n^2+2n+2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1+2/n+2/n²}
[/mm]
Und dann habe ich, wie wir das bei allen andren Beispielen aus dem Skript auch gemacht haben, alle Teile "ausgeschnitten", die ein n im Nenner haben => 2 und da das > 1 ist, ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium divergent.
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Hallo nochmal,
> Zu der zweiten Aufgabe, die ich mit dem Quotientenkriterium
> berechnet habe:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^4 + 1}}[/mm] divergent, da
>
> [mm] \lim\limits_{n\to\infty}[/mm] [mm]\bruch{\wurzel{n^4 + 1}}{\wurzel{(n+1)^4+1}}[/mm] = [mm]\bruch{n^2+1}{(n+1)^2+1}[/mm]
Was hast du hier gerechnet? Es ist [mm] $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$!!
[/mm]
Du müsstest schon die Klammer auflösen, etwa so:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=...=\sqrt{\frac{n^4+1}{n^4+4n^3+6n^2+4n+2}}$
[/mm]
Hier [mm] $n^4$ [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern, kürzen und dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen.
Das liefert dir schließlich [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$
[/mm]
Also ist mit dem QK keine Aussage bzgl. KOnvergenz/Divergenz möglich
> = [mm]\bruch{n^2+1}{n^2+2n+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{1+2/n+2/n²}[/mm]
>
> Und dann habe ich, wie wir das bei allen andren Beispielen
> aus dem Skript auch gemacht haben, alle Teile
> "ausgeschnitten", die ein n im Nenner haben => 2 und da das
> > 1 ist, ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium
> divergent.
S.o. du hast dich verrechnet
Nimm das Majorantenkriterium, vergrößere die Reihe (verkleinere dazu den Nenner)
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^4+1}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^4+1}} [/mm] \ < \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^4}}$ [/mm] Nenner verkleinert und damit die Reihe vergrößert:
[mm] $=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Und [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ [/mm] ist bekanntermaßen konvergent
Du hast also eine konvergente größere Reihe (Majorante) gefunden, deine Ausgangsreihe ist kleiner, also ebenfalls konvergent
LG
schachuzipus
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Okay, hört sich ganz logisch an (wenn man es kann und nicht selber rechnen muss), aber es ist und bleibt für mich einfach wahnsinnig kompliziert.
Eine Klammer mit ^4 aufzulösen geht über meine mathematischen Grenzen hinaus. Ich kann an manchen Stellen irgendwie nicht verstehen, wieso das so kompliziert gemacht wird.
Uns wurde gesagt, dies seien die einfachsten Reihen schlechthin, viel gerechnet sollte da nicht werden und im Grunde werden hier viele mathematische Tricks angewandt. Ich glaube nicht, dass das so gedacht war.
Wir haben nicht einmal an einem Beispiel besprochen was genau das Minoranten/Majorantenkriterium bedeutet, haben dementsprechend auch nie irgendwelche Zähler und Nenner verkleinert. Für mich bleibt da jegliche Systematik verborgen, ich höre sowas zum ersten Mal. Zum Beispiel glaube ich das jetzt an dem zweiten Beispiel verstanden zu haben, aber beim ersten fällt mir überhaupt kein Rechenweg ein.
Ich schaue mir das alles nochmal genau an, aber irgendwie herrscht da noch ziemlich viel Chaos in meinem Kopf. Ich beschäftige mich seit einer Woche mit nix anderem mehr und trotzdem stellt sich irgendwie kein Lernerfolg ein.
Ich würde jetzt einfach sagen, dass laut Minorantenkriterium die Reihe mit dem [mm] n^2 [/mm] unter der Wurzel divergent ist, weil ich mit 1/n eine divergente Minorante gefunden habe die größer gleich der Reihe ist. So zumindest gibt es ja die Definition vom Minorantenkriterium. Aber warum muss eine Minorante dann nicht kleiner sein als die Reihe?
Ich verstehe nicht wieso ich bei Minoranten und Majorantenkriterium eine größere Reihe suche. Es muss offensichtlich etwas mit den Betragsstrichen zu tun haben, die man ja beim Majorantenkriterium findet. Aber mir sagt das nix.
Da nämlich die Reihe 1/n größer ist als die Reihe mit dem [mm] n^2 [/mm] unter der Wurzel würde ich sagen, divergent. Und bei dem [mm] n^4 [/mm] unter der Wurzel (was sich nach auflösen ja genauso beim Quotientenkriterium verhalten wird wie die Aufgabe mit dem ^2 (wo ich die binomische Formel auf fein ausgerechnet hab) würde ich dann jetzt einfach sagen, dass die Reihe [mm] 1/n^2 [/mm] größer ist und da [mm] 1/n^2 [/mm] konvergent ist, ist die Reihe konvergent. Mehr weiß ich nicht..
Danke trotzdem soweit!
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Hallo nochmal,
> Okay, hört sich ganz logisch an (wenn man es kann und nicht
> selber rechnen muss), aber es ist und bleibt für mich
> einfach wahnsinnig kompliziert.
> Eine Klammer mit ^4 aufzulösen geht über meine
> mathematischen Grenzen hinaus.
Nana, ihr hattet bestimmt schon das Pascale'sche Dreieck, da kannst du die Koeffizienten der Binome [mm] $(x+y)^n$ [/mm] ablesen.
Vllt. hattet ihr auch schon den binom. Lehrsatz?
> Ich kann an manchen Stellen
> irgendwie nicht verstehen, wieso das so kompliziert gemacht
> wird.
> Uns wurde gesagt, dies seien die einfachsten Reihen
> schlechthin, viel gerechnet sollte da nicht werden und im
> Grunde werden hier viele mathematische Tricks angewandt.
> Ich glaube nicht, dass das so gedacht war.
Naja, das meiste Getrickse und Gefummel hast du ja selbst "verursacht" 
Wenn du das QK ansetzt, bleibt dir auch nix anderes ünrig, aber wenn du dir das nochmal in Ruhe anschaust, haben wir bei der ersten Aufgabe mit dem Minorantenkriterium genau eine klitzekleine Abschätzung gemacht und bei der anderen mit dem Majorantenkriterium ebenfalls.
Ich finde, das ist doch sehr ökonomisch
Schau's dir ganz in Ruhe nochmal an, dann wirst du das auch so sehen!
>
> Wir haben nicht einmal an einem Beispiel besprochen was
> genau das Minoranten/Majorantenkriterium bedeutet, haben
> dementsprechend auch nie irgendwelche Zähler und Nenner
> verkleinert. Für mich bleibt da jegliche Systematik
> verborgen, ich höre sowas zum ersten Mal. Zum Beispiel
> glaube ich das jetzt an dem zweiten Beispiel verstanden zu
> haben, aber beim ersten fällt mir überhaupt kein Rechenweg
> ein.
Hatten wir das nicht? Ich bin zu faul nachzugucken, also nochmal:
Wir setzen das Majoranten-/Minorantenkriterium (auch Vergleichskriterium an)
Vermutung ist: die Reihe ist ungefähr von der Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}$ [/mm] und die ist divergent.
So viele divergente Minoranten kennen wir nicht, oder? Versuchen wir gegen [mm] $\sum\frac{1}{n}$ [/mm] oder eine Variante abzuschätzen
Wir müssen also zur Ausgangsreihe [mm] $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}+1}$ [/mm] eine kleinere Reihe finden, die divergiert, wir müssen also unsere Reihe verkleinern.
Dazu können wir den Zähler verkleinern oder den Nenner vergrößern, versuchen wir letzteres:
[mm] $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2+\blue{1}}} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \sum\frac{1}{\sqrt{n^2+\blue{n^2}}} [/mm] \ \ [mm] \$ [/mm] Da haben wir den Nenner vergrößert [mm] (1\le n^2) [/mm] und damit die Reihe verkleinert
[mm] $=\sum\frac{1}{\sqrt{2n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Und wenn [mm] $\sum\frac{1}{n}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] abhaut, so tut es [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm] doch gewiss auch.
Damit haben wir unsere divergente Minorante mit [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm] gefunden
>
>
> Ich schaue mir das alles nochmal genau an, aber irgendwie
> herrscht da noch ziemlich viel Chaos in meinem Kopf. Ich
> beschäftige mich seit einer Woche mit nix anderem mehr und
> trotzdem stellt sich irgendwie kein Lernerfolg ein.
>
> Ich würde jetzt einfach sagen, dass laut
> Minorantenkriterium die Reihe mit dem [mm]n^2[/mm] unter der Wurzel
> divergent ist, weil ich mit 1/n eine divergente Minorante
> gefunden habe die größer gleich der Reihe ist.
eben genau nicht! Im Wort Minorante steckt doch schon "kleiner" drin
> So zumindest
> gibt es ja die Definition vom Minorantenkriterium. Aber
> warum muss eine Minorante dann nicht kleiner sein als die
> Reihe?
Das muss sie auch!! Siehe oben, da habe ich gegen eine kleinere Reihe, nämlich gegen eine Variante der harmonischen Reihe abgeschätzt
Die Reihe [mm] $\sum\frac{1}{n}$ [/mm] ist zwar auch divergent, aber GRÖßER als deine Ausgangsreihe, das hilft dir im Sinne des Kriterium nicht weiter, eine divergente Majorante bringt nix
>
> Ich verstehe nicht wieso ich bei Minoranten und
> Majorantenkriterium eine größere Reihe suche.
Du suchst nur beim Majorantenkriterium eine größere Reihe (die konvergent ist)
Beim Minorantenkriterium suchst du entsprechend eine KLEINERE Reihe (die divergent ist)
> Es muss
> offensichtlich etwas mit den Betragsstrichen zu tun haben,
> die man ja beim Majorantenkriterium findet. Aber mir sagt
> das nix.
>
> Da nämlich die Reihe 1/n größer ist als die Reihe mit dem
> [mm]n^2[/mm] unter der Wurzel würde ich sagen, divergent.
Das stimmt, bringt dir aber nix - s.o.
> Und bei dem [mm]n^4[/mm] unter der Wurzel (was sich nach auflösen ja genauso
> beim Quotientenkriterium verhalten wird wie die Aufgabe mit
> dem ^2 (wo ich die binomische Formel auf fein ausgerechnet
> hab) würde ich dann jetzt einfach sagen, dass die Reihe
> [mm]1/n^2[/mm] größer ist und da [mm]1/n^2[/mm] konvergent ist, ist die Reihe
> konvergent.
Genau das ist der entscheidende Punkt!
"Eine konvergente größere Reihe (Majorante)"
> Mehr weiß ich nicht..
> Danke trotzdem soweit!
LG
schachuzipus
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Nur kurz: Wir hatten das Pascalsche Dreieck oder den binomischen Lehrsatz nicht.
Offenbar habe ich dann das Majorantenkriterium verstanden. Nur beim Minorantenkriterium tu ich mir noch schwer, weil ich die zwei Formeln für die Kriterien nicht auseinanderhalten kann. Außer den Betragsstrichen tut sich ja nichts, aber ich weiß auch nicht, was die mir sagen soll. Denn laut Formel finde ich ja irgendwie immer eine größere Reihe. Aber das ist ja offenbar falsch.
Vom Vergrößern und Verkleinern habe ich nie etwas gehört, daher fällt es mir schwer das so anzuwenden. Gibt es keine andere Möglichkeit? Jemand anderes meinte, es würde auch reichen mit bekannten Reihen sozusagen zu "vergleichen", aber dann fehlt mir eben die nötige Kenntnis darüber, womit ich "vergleichen" muss, denn für mich sehen beide Formeln wahnsinnig ähnlich aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Sa 29.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Englein
1. "vergleichen heisst doch genau fesstellen ob was groesser oder kleiner ist.
Das Majorantenkriteriom ist doch auch leicht einzusehen:
Wenn du ne Reihe findest, die garantiert grösser ist und die konv. dann muss die kleinere Reihe doch konvergieren, weil sie eben kleiner ist.
um zu garantieren dass die Vergleichsreihe grösser ist muss jeder Summand (evtuell erst ab nem grösseren n) kleiner sein als die Summanden der Vergleichsreihe, genannt Majorante.
dazu musst du die Summanden "vergleichen" wenn du die majorante schon direkt siehst. Wenn du sie aber nicht direkt siehst vergrösserst du deine Summanden vorsichtig, bis du bei ner reihe ankommst die dir als konvergent bekannt ist.
Minorante ist ähnlich. Du ahnst, dass deine Reihe divergiert. dann kannst du direkt mit der bekanntesten divergenten Reihe a/n vergleichen und sehen, ob alle deine Summanden größer sind. dann muss deine Reihe auch divergieren.
Eigentlich gibts dabei keine Formeln ,die man auseinanderhalten muss sondern nur die Idee : such ne größere Reihe die konvergiert Majorante,
such ne kleinere Reihe die divergiert Minorante.
von verkleinern hast du garantiert schon gehört: jedesmal wenn du einkaufst verkleinert sich der Inhalt deines Geldbeutels oder Kontos!
Dass ein Bruch kleiner wird ,wenn man den Nenner vergrößert weisst du auch also 1/(4+1)<1/4
dass er groesser wird, wenn man den Zähler vergrößert auch :
(3+1)/7>3/7 also stell dich nicht dümmer als du bist.
wenn man sich selbst klein redet, wirds irgendwann wahr!
Gruss leduart
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> Das Majorantenkriteriom ist doch auch leicht einzusehen:
> Wenn du ne Reihe findest, die garantiert grösser ist und
> die konv. dann muss die kleinere Reihe doch konvergieren,
> weil sie eben kleiner ist.
Habe ich ja: [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^4+1}} [/mm] kleiner gleich 1/n² => konvergent
Ich habe hier doch eine Vergleichsreihe, dessen Konvergenz ich kenne und sie ist größer als meine Reihe.
> um zu garantieren dass die Vergleichsreihe grösser ist
> muss jeder Summand (evtuell erst ab nem grösseren n)
> kleiner sein als die Summanden der Vergleichsreihe, genannt
> Majorante.
Verstehe ich nicht ganz.
> dazu musst du die Summanden "vergleichen" wenn du die
> majorante schon direkt siehst. Wenn du sie aber nicht
> direkt siehst vergrösserst du deine Summanden vorsichtig,
> bis du bei ner reihe ankommst die dir als konvergent
> bekannt ist.
Das Problem: WOher weiß ich, welche die "richtige" Vergleichsreihe ist? Im Grunde könnte ich doch jede beliebige geometrische oder harmonische Reihe nehmen. Sie werden immer in einem bestimmten Verhältnis zu meiner Reihe stehen.
> Minorante ist ähnlich. Du ahnst, dass deine Reihe
> divergiert. dann kannst du direkt mit der bekanntesten
> divergenten Reihe a/n vergleichen und sehen, ob alle deine
> Summanden größer sind. dann muss deine Reihe auch
> divergieren.
Habe ich ja auch gemacht. [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2+1}} [/mm] kleiner gleich 1/n, aber angeblich muss ich hier ja dann wieder verkleinern, damit ich ein Ergebnis herausbekomme. Ich verstehe das System einfach nicht. Nach Definition passt es ja, aber nach der Definition mit a/n und b/n größer gleich müsste ich ja für jede Reihe eine GRÖ?ERE Vergleichsreihe finden. http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium => Da steht immer größer gleich.
> Eigentlich gibts dabei keine Formeln ,die man
> auseinanderhalten muss sondern nur die Idee : such ne
> größere Reihe die konvergiert Majorante,
> such ne kleinere Reihe die divergiert Minorante.
> von verkleinern hast du garantiert schon gehört: jedesmal
> wenn du einkaufst verkleinert sich der Inhalt deines
> Geldbeutels oder Kontos!
> Dass ein Bruch kleiner wird ,wenn man den Nenner
> vergrößert weisst du auch also 1/(4+1)<1/4
> dass er groesser wird, wenn man den Zähler vergrößert auch
> :
> (3+1)/7>3/7 also stell dich nicht dümmer als du bist.
> wenn man sich selbst klein redet, wirds irgendwann wahr!
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Habe ich ja: [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^4+1}}[/mm] kleiner gleich 1/n²
> => konvergent
Voellig richtig. du hast ne groessere Reihe gefunden, also ne Majorante die konvergiert.
> Ich habe hier doch eine Vergleichsreihe, dessen Konvergenz
> ich kenne und sie ist größer als meine Reihe.
Gut so, ja!
> Das Problem: WOher weiß ich, welche die "richtige"
> Vergleichsreihe ist? Im Grunde könnte ich doch jede
> beliebige geometrische oder harmonische Reihe nehmen. Sie
> werden immer in einem bestimmten Verhältnis zu meiner Reihe
> stehen.
Direkt sehen kann man das nicht ! Du musst nur irgendeine groessere Reihe finden, die konvergiert. 2 verschieden Leute koennten 2 verschiedene Reihen finden, Hauptsache sie finden irgendeine.
Aber weil der Vorrat an dir bekannten konvergenten Reihen ja nicht so riesig ist, musst du meist auch nicht so lange suchen.
Dein Vorrat :1. [mm] a*q^n [/mm] q<1 2. [mm] a/n^r [/mm] r>1 und dann hoerts schon auf! Deshalb muss man nie lange rumsuchennach Majoranten.
Fuer divergente Reihen hast du eigentlich nur a/n wenn ueberhaupt ne Nullfolge in der Summe steht. Also kannst du nur nach der Minorante suchen,
> > Minorante ist ähnlich. Du ahnst, dass deine Reihe
> > divergiert. dann kannst du direkt mit der bekanntesten
> > divergenten Reihe a/n vergleichen und sehen, ob alle deine
> > Summanden größer sind. dann muss deine Reihe auch
> > divergieren.
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> Habe ich ja auch gemacht. [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2+1}}[/mm] kleiner
> gleich 1/n,
Nein, hast du nicht gemacht! du hast gezeigt, dass 1/n ne Majorante ist, und das hilft nix!
Wenn du ne Minorante suchst, musst du zeigen dass deine summanden groesser sind!
hier :[mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2+1}}>\bruch{1}{\wurzel{n^2+n^2}}=[/mm][mm] 1/\wurzel{2}*1/n [/mm] also groesser als ne divergierend Reihe also auch divergent.
Nochmal: wenn du ne Minorante suchst, muss du zeigen, dass die gegebene Reihe groesser ist und deshalb erst recht divergiert.
Setz dich mal 5 minuten hin und mach dir ganz klar, was ne Minorante ist und was ne majorante. Ganz ohne formeln einfach im Kopf klar kriegen,
divergent = reich: wenn ich reicher bin als der sicher reichch bill gates bin ich sicher reich. Gates ist ne Minorante
konvergent= arm, Wenn ich aermer bin als ne Kirchenmaus bin ich sicher arm! Die Kirchenmaus ist ne Majorante.
>aber angeblich muss ich hier ja dann wieder
> verkleinern, damit ich ein Ergebnis herausbekomme. Ich
> verstehe das System einfach nicht. Nach Definition passt es
> ja, aber nach der Definition mit a/n und b/n größer gleich
> müsste ich ja für jede Reihe eine GRÖ?ERE Vergleichsreihe
> finden. http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium =>
> Da steht immer größer gleich.
Ich hoffe jetzt hast dus verstanden.
Gruss leduart
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Super, ja, jetzt habe ich es verstanden! Vielen, vielen Dank! Ich habe die Aufgaben mit meiner Lerngruppe besprochen und da herrscht leider genauso wenig Unwissenheit. Aber jetzt konnte ich es den anderen sogar erklären, prima!
Ist nur etwas schwer diese Formel aus dem Kopf zu kriegen, da wir die Ergebnisse anhand der Formel aufschreiben sollten.
Wie sähe das dann für die divergente Minorante aus? Denn für das Majorantenkriterium stimmt es ja mit dem größer gleich der Majoranten.
Schreibe ich dann die Umformung der Ursprungsreihe zur Minorante hin auf und sage dann, dass diese divergente Minorante einfach nur kleiner ist und daher divergent?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du schreibst zum Beispiel:
[mm] 1/\wurzel{n^2+1}>1/\wurzel{n^2+n^2}>1/\wurzel{2}*1/n
[/mm]
d.h. da die Reihe mit [mm] a_n=1/\wurzel{2}*1/n [/mm] als [mm] 1/\wurzel{2}*harmonische [/mm] Reihe divergiert, divergiert erst recht die gegebene Reihe mit den groesseren Summanden .
Gruss leduart
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da studiert wohl jmd auch bwl 1. semester in essen ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 So 30.11.2008 | | Autor: | Englein89 |
Erstes Semester und BWL nicht, aber Essen stimmt schon. Schlimm? ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Wenn der "GW" [mm]\pm\infty[/mm] ist, spricht man nicht von
> Konvergenz, sondern von (bestimmter) Divergenz
das ist mehr oder weniger Geschmackssache. Man kann sagen, dass die Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergiert oder bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert. Jedenfalls sind mir beide Ausdrucksweisen durchaus gängig (und schon öfters begegnet). Analoges natürlich auch für [mm] $-\infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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