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Levi-Civita-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 So 04.07.2021
Autor: Annkathrin20



Guten Mittag!

Ich versuche das Levi-Civita-Symbol im $n$ - dimensionalen zu verstehen. Wikipedia scheint da eine der wenigen Seiten zu sein, die die Verallgemeinerung behandeln. Daher orientiere ich mich daran. Auf Wikipedia werden drei Definitionen des Levi-Civita- Symbols vorgestellt, wobei ich mich für die dritte entschieden habe, da sie für mich kompakter und übersichtlicher ist. Ich habe aber die dritte Definition ein bisschen umgeschrieben, um die Definition so übersichtlich wie möglich stehen zu haben.

Ich hoffe, diese passt so:


Sei $n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Wir definieren die Mengen $N:= [mm] \{1, 2, \ldots, n \}, [/mm] P:= [mm] \{-1, 0 , + 1\}$ [/mm] und $Abb(N) := [mm] \{ \sigma\; \vert \; \sigma: N \rightarrow N \}$ [/mm]
Wir nennen dann die Abbildung  [mm] $\varepsilon: [/mm] Abb(N) [mm] \rightarrow [/mm] P, [mm] \sigma \mapsto \varepsilon_{(\sigma (i))_{i = 1}^{n}} [/mm] := [mm] \varepsilon(\sigma) [/mm] =  [mm] \begin{cases} sgn(\sigma), \; \text{falls}\; \sigma \in \mathbb{S}_{n} \\ 0, \; \text{falls}\; \sigma \in Abb(N) \setminus \mathbb{S}_{n} \\ \end{cases}$ [/mm] das Levi-Civita-Symbol.


Meine eigentliche Frage bezieht sich auf folgenden Abschnitt:


"Die Determinante einer [mm] $n\times [/mm] n-Matrix A = [mm] \left(a_{ij}\right)$ [/mm] kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden: $ [mm] \det A=\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{1j_{1}}\dots A_{nj_{n}}$. [/mm] Allgemeiner gilt der Zusammenhang [mm] $\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \det [/mm] A = [mm] \varepsilon_{j_1 \dots j_n} A_{i_1j_1} \dots A_{i_nj_n}$." [/mm]

Ich schreibe die letzte Gleichung etwas formaler auf:

Sei [mm] $\pi \in \mathbb{S}_{n}$. [/mm] Dann gilt die Gleichung [mm] $\varepsilon_{(\pi(i))_{i = 1}^{n}} \cdot [/mm] det(A) = [mm] \varepsilon_{(\sigma(i))_{i = 1}^{n}} \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(i) \sigma(i)} [/mm]


Ich möchte diese Gleichung gerne beweisen und zwar mit der Leibnizformel. Aber ich habe schon am Anfang des Beweises Probleme.

Sei [mm] $\pi, \sigma \in \mathcal{S}_{n}$. [/mm] Dann gilt [mm] $\varepsilon_{(\pi(i))_{i = 1}^{n}} \cdot [/mm] det(A)  = [mm] sgn(\pi) \cdot [/mm] det(A) = [mm] sgn(\pi)\left ( \sum\limits_{\delta \in \mathcal{S}_{n}} \left ( sgn(\delta) \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} \right )\right [/mm] ) = [mm] \sum\limits_{\delta \in \mathcal{S}_{n}} \left ( sgn(\pi \circ \delta) \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} \right [/mm] )$


Kann mir da jemand einen Tipp geben? Dachte, dass ich mit der Verkettungseigenschaft der Permutationen weiterkomme, aber mir fällt keine Idee ein, wie ich diese Summe vereinfachen soll.

Gruß, Anni



        
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Levi-Civita-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Di 06.07.2021
Autor: statler

Hi Anni!

Da hat man doch folgende Gleichungskette:

det(A) = [mm] \summe_{\sigma \in S_{n}}^{}sgn(\sigma) \cdot \produkt_{i=1}^{n}a_{i \sigma(i)} [/mm]  (Entwicklungssatz)

=  [mm] \summe_{\sigma \pi^{-1} \in S_{n}}^{}sgn(\sigma \pi^{-1}) \cdot \produkt_{i=1}^{n}a_{i \sigma \pi^{-1}(i)} [/mm]  (da [mm] \pi [/mm] feste Permutation ist)

= [mm] \summe_{\sigma \pi^{-1} \in S_{n}}^{}sgn(\sigma \pi^{-1}) \cdot \produkt_{j=1}^{n}a_{\pi(j) \sigma (j)} [/mm]  (für i = [mm] \pi(j), [/mm] Kommutativgesetz der Add.)

= [mm] sgn(\pi^{-1}) \cdot \summe_{\sigma \pi^{-1} \in S_{n}}^{}sgn(\sigma) \cdot \produkt_{j=1}^{n}a_{\pi(j) \sigma (j)} [/mm] (Distributivgesetz, Homomorphie der Signatur)

= [mm] sgn(\pi^{-1}) \cdot \summe_{\sigma \in S_{n}}^{}sgn(\sigma) \cdot \produkt_{j=1}^{n}a_{\pi(j) \sigma (j)} [/mm]  (da mit [mm] \sigma \pi^{-1} [/mm] auch [mm] \sigma [/mm] ganz [mm] S_{n} [/mm] durchläuft, wie oben)

Gruß
Dieter


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Levi-Civita-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Do 08.07.2021
Autor: Annkathrin20

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Guten Abend!

Vielen Dank für die Antwort. Ich denke, ich habe alles verstanden. Mich hat nur die Bemerkung "Kommutativität der Addition" verwirrt. Meinten Sie nicht zufällig die Kommutativität der Multiplikation? Denn die habe ich dann unten nochmal verwendet.

Ich habe den Beweis für mich etwas ausführlicher umgeschrieben. Sind meine Begründungen so in Ordnung?


Sei $\pi^{- 1} \in \mathbb{S}_{n}$ beliebig. Das Tupel $( \mathbb{S}_{n}, \circ)$ ist eine Gruppe. Wir bilden nun die zu $\pi^{-1}$ gehörende Rechtsnebenklasse von $ \mathbb{S}_{n}$ in $ \mathbb{S}_{n}$. Es gilt $ \left [\pi^{- 1} \right ]} = \mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1} =  \mathbb{S}_{n}$. Das heißt, ich kann in der Summe die Elemente von $\mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1}$  durchlaufen, anstatt die Elemente von $ \mathbb{S}_{n}$. Macht ja keinen Unterschied.

Wir erhalten also die Gleichheit  $\sum\limits_{\sigma \in \mathbb{S}_{n}} sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)}$


Nun existiert für jedes $i \in N$ genau ein $j_{i} \in N$ mit $\pi(j_{i}) = i$.

Wir erhalten also die Gleichheit:

$\sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \delta(\pi(j_{i}))} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \sigma(j_{i})}$

$ = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left (   a_{\pi(j_{1}), \sigma(j_{1})} \cdot  a_{\pi(j_{2}), \sigma(j_{2})} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(j_{n}), \sigma(j_{n})} \right ) = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left (   a_{\pi(1), \sigma(1)} \cdot  a_{\pi(2), \sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(n), \sigma(n)} \right )$

$ = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}$



$Sgn$ ist homomorph, d.h. es gilt $Sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) = Sgn(\sigma) \cdot Sgn(\pi^{- 1}) $ für alle $\sigma \in \mathbb{S}_{n}$.


Damit haben wir insgesamt


$\sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot  sgn(\pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma)  \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}$

$ = sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{\sigma  \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma)  \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}$


Gruß, Anni

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Levi-Civita-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Fr 09.07.2021
Autor: statler

Mahlzeit!

> Guten Abend!
>  
> Vielen Dank für die Antwort. Ich denke, ich habe alles
> verstanden. Mich hat nur die Bemerkung "Kommutativität der
> Addition" verwirrt. Meinten Sie nicht zufällig die
> Kommutativität der Multiplikation?

Du hast recht, genau genommen werden bei dieser Schreibweise sogar beide Kommutativitäten vorausgesetzt, da in der Summation die Reihenfolge ja nicht festliegt. Sonst müßte ich die Elemente der [mm] $S_{n}$ [/mm] auch noch indizieren, also [mm] $\delta_{k} [/mm] = [mm] \sigma_{k}\pi^{-1}$ [/mm] für k = 1, ... , n! Das gibt der Sache dann den Rest :)

> Denn die habe ich dann
> unten nochmal verwendet.
>
> Ich habe den Beweis für mich etwas ausführlicher
> umgeschrieben. Sind meine Begründungen so in Ordnung?
>  
>
> Sei [mm]\pi^{- 1} \in \mathbb{S}_{n}[/mm] beliebig. Das Tupel [mm]( \mathbb{S}_{n}, \circ)[/mm]
> ist eine Gruppe. Wir bilden nun die zu [mm]\pi^{-1}[/mm] gehörende
> Rechtsnebenklasse von [mm]\mathbb{S}_{n}[/mm] in [mm]\mathbb{S}_{n}[/mm]. Es
> gilt [mm]\left [\pi^{- 1} \right ]} = \mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1} = \mathbb{S}_{n}[/mm].
> Das heißt, ich kann in der Summe die Elemente von
> [mm]\mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1}[/mm]  durchlaufen, anstatt die
> Elemente von [mm]\mathbb{S}_{n}[/mm]. Macht ja keinen Unterschied.
>
> Wir erhalten also die Gleichheit  [mm]\sum\limits_{\sigma \in \mathbb{S}_{n}} sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)}[/mm]
>  
>
> Nun existiert für jedes [mm]i \in N[/mm] genau ein [mm]j_{i} \in N[/mm] mit
> [mm]\pi(j_{i}) = i[/mm].
>
> Wir erhalten also die Gleichheit:
>  
> [mm]\sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \delta(\pi(j_{i}))} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \sigma(j_{i})}[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left ( a_{\pi(j_{1}), \sigma(j_{1})} \cdot a_{\pi(j_{2}), \sigma(j_{2})} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(j_{n}), \sigma(j_{n})} \right ) = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left ( a_{\pi(1), \sigma(1)} \cdot a_{\pi(2), \sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(n), \sigma(n)} \right )[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}[/mm]
>  
>
>
> [mm]Sgn[/mm] ist homomorph, d.h. es gilt [mm]Sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) = Sgn(\sigma) \cdot Sgn(\pi^{- 1})[/mm]
> für alle [mm]\sigma \in \mathbb{S}_{n}[/mm].
>  
>
> Damit haben wir insgesamt
>
>
> [mm]\sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot sgn(\pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}[/mm]
>  
> [mm]= sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{\sigma \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}[/mm]

Ich habe nichts weiter zu bekritteln.
Gruß Dieter


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Levi-Civita-Symbol: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:47 Mo 12.07.2021
Autor: Annkathrin20

Super, vielen vielen Dank. Sie haben mehr sehr weitergeholfen :-)

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