Lenard-Jomes.Potential < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Do 11.06.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Zur Beschreibung der Wechselwirkung von Atomen wird oftmal das Lennard-Jones-Potential herangezogen.
[mm] V(r)=4\epsilon ((\bruch{\sigma}{r})^{12}-(\bruch{\sigma}{r})^{6}) [/mm] mit [mm] r=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. [/mm] Dabei sind Sigma und Epsilon molekülspezifische positive Konstanten der Dimension Energie bzw. Länge.
Enwickeln Sie das Potential um sein Minimum bis zur 2. Ordnung und geben Sie die Frequenz der Eigenschwingung an. |
Hey. Also ich hab als erstes das Minimum ausgerechnet. es ist [mm] r=2^{\bruch{1}{6}}\sigma [/mm] und entwickelt hab ich es auch schon um diesen Punkt! Für die Taylor-Reihe ergibt sich:
[mm] P_{V}(r)=(\bruch{72}{\wurzel[3]{2}}-1)\epsilon.
[/mm]
Und jetzt habe ich Probleme die Frequenz der Eigenschwingung auszurechnen. Ich weiß das [mm] \omega=2\pi [/mm] und auch das [mm] \omega=\wurzel{\bruch{k}{m}}. [/mm] Daraus folgt dann [mm] f=\bruch{1}{2\pi}\wurzel{\bruch{k}{m}}
[/mm]
Aber da fehlt mir ja noch k?! Irgenwo habe ich gelesen, das k die zweite Ableitung des Potential ist?! Stimmt das so? Wenn ja, wozu brauch ich den die Taylerentwicklung?! Kann mir einer weiterhelfen?
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Hallo!
Ganz unabhängig von der Art des Potentials ist dessen räumliche Ableitung die Kraft, die auf einen Körper im Potenzial wirkt.
Auf der Erde gilt E(h)=mgh , das kann man auch als Potenzial sehen. Die Ableitung ist die bekannte Kraft F=mg.
Genauso ist das Gravitationspotenzial [mm] V(r)\sim\frac{1}{r} [/mm] und die allgemeine Gravitationskraft daher [mm] \sim\frac{1}{r^2} [/mm] .
Um die Schwingung zu berechnen, würdest du grundsätzlich eine Bewegungsgleichung aufstellen und versuchen zu lösen:
[mm] $$m\ddot{x}+F_\text{Rücktreibend}(x)=0$$
[/mm]
Das [mm] F_\text{Rücktreibend} [/mm] ist die Kraft, die dein Potenzial hervorruft, es ist dessen erste räumliche Ableitung.
Das F ist aber in deinem Fall sehr ungewöhnlich abhängig von x, da wird die Lösung dieser Gleichung schwer. Du könntest das ganze einfach lösen, wenn die Kraft nur linear vom Weg abhängig wäre, das wäre ja eine harmonische Schwingung:
[mm] $$m\ddot{x}+Dx=0 [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$$
[/mm]
Aus dem Grund sollst du die Taylorreihe zur 2. Ordnung berechnen. Die Ableitung davon ist erster Ordnung, also linear in x. Damit kannst du das LJ-Potential also mit dem harmonischen Oszillator annähern.
Ich hab jetzt übrigens x genommen, das soll den Abstand zum Minimum darstellen.
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