Lemma von Fatou? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] (\Omega,\mathcal{A}) [/mm] und [mm] f_{n},g_{n} [/mm] seien [mm] \mu- [/mm] integrierbare Funktionen mit [mm] $|f_{n}| \le g_{n}$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$. [/mm] Es gelte [mm] $f_{n}(x) \to [/mm] f(x), [mm] g_{n}(x) \to [/mm] g(x)$ für [mm] \mu [/mm] -fast alle x und [mm] $\int g_{n} d\mu \to \int [/mm] g [mm] d\mu [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Zeige: [mm] $\int f_{n} d\mu \to \int [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe komme ich überhaupt nicht zurecht.
Uns wurde als Tipp gegeben, unter anderem das Lemma von Fatou zu verwenden:
LEMMA von FATOU:
Seien Y und Z [mm] \mu [/mm] - integrierbar und [mm] (f_{n}), n\in\IN [/mm] messbare Funktionen. Dann gilt:
[mm] $\forall n\in\IN: f_{n} \ge [/mm] Y$ [mm] \mu-f.s. $\Rightarrow \int (\liminf_{n\to\infty} X_{n}) d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int X_{n} d\mu$.
[/mm]
[mm] $\forall n\in\IN: f_{n} \le [/mm] Z$ [mm] \mu-f.s. $\Rightarrow \int (\limsup_{n\to\infty} X_{n}) d\mu \ge \limsup_{n\to\infty} \int X_{n} d\mu$.
[/mm]
Wir haben auch noch die Sätze von Beppo-Levi (monotone Konvergenz) und den der dominierten / majorisierten Konvergenz gehabt.
Allerdings kann ich meine Funktion [mm] f_{n} [/mm] aus der Aufgabenstellung doch nicht durch solche Z nach oben abschätzen (nach unten geht natürlich durch 0), oder?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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