Leibniz Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Fr 11.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm] |
Hallo,
ich möchte wissen ob die obige Reihe konvergiert oder divergiert.
also ich weiß, dass die reihe alternierend ist. und ich weiß auch, dass ich hier das leibniskriterium anwenden muss. dieses kriterium besagt, dass eine reihe dessen folge eine nullfolge ist also gegen null konvergiert und monoton fallend ist (also der Betrag der Folge [mm] |a_{n}|) [/mm] konvergent ist.
allerdings weiß ich nicht wie ich hier die monotonie nachweisen soll und ich weiß nicht wie ich hier zeigen soll, dass die folge gegen 0 konvergiert.
danke schonmal.
grüße
ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Sa 12.01.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}[/mm]
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> Hallo,
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> ich möchte wissen ob die obige Reihe konvergiert oder
> divergiert.
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> also ich weiß, dass die reihe alternierend ist. und ich
> weiß auch, dass ich hier das leibniskriterium anwenden
> muss. dieses kriterium besagt, dass eine reihe dessen folge
> eine nullfolge ist also gegen null konvergiert und monoton
> fallend ist (also der Betrag der Folge [mm]|a_{n}|)[/mm] konvergent
> ist.
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> allerdings weiß ich nicht wie ich hier die monotonie
> nachweisen soll und ich weiß nicht wie ich hier zeigen
> soll, dass die folge gegen 0 konvergiert.
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> danke schonmal.
>
> grüße
> ali
Hallo,
[mm] \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}=\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n-1}}*\bruch{1}{-n}=(-1)^{n-1}*\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n-1}}*\bruch{1}{-n}=(-1)^{n-1}*(\bruch{n+1}{n})^{n-1}*\bruch{1}{-n}[/mm]
Das geht irgendwie gegen [mm]\pm\frac{e}{n}[/mm].
Gruß ABAKUS
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 12.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
danke abakus.
aber ich verstehe deine rechenschritte nicht so ganz. vor allem verstehe ich nicht wie ich da selbst drauf kommen soll und der klausur...
kann mir jemand eine einfachere antwort geben und mir erklären wie ich in der klausur bei solch einer aufgabe vorgehen soll?
danke schonmmal.
grüße
ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 12.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast im Z hoch (n-1) im N hoch n
also es ist einfacher wenn oben und unten der gleiche exponent stehen. dafuer 2 Wege:
a)1/n ausklammern und den Rest hoch n, der Wegim letzten post
oder mit (1+n) erweitern, dann hast du [mm] (\bruch{1+n}{n})^n*\bruch{1}{n+1}
[/mm]
in beiden Faellen kann man sehen,dass es eine Nullfolge ist.
und vor ner Klausur hat man ja ne Menge derartige Dinge geuebt und alle solche Tricks verinnerlicht!
Gruss leduart
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