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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | [mm] $(a_n)_{n\ge 0}$ [/mm] sei monoton fallend und [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ge [/mm] 0$
[mm] $(A_n)_{n\ge 0}$ [/mm] sei die zugehörige alternierende Reihe
Zeigen Sie, dass
a) [mm] $\liminf_{n \rightarrow \infty} A_n [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} A_{2n+1}$
[/mm]
b) [mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n= \lim_{n \rightarrow \infty} A_{2n}$
[/mm]
c) [mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n [/mm] - [mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} A_n= \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$
[/mm]
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Hallöchen.
Ich glaube, ein ganz kleines Puzzlestück dieser Aufgabe habe ich schon gelöst.
Erst einmal lautet die alternierende Reihe ja
[mm] $A_n [/mm] = [mm] a_0 [/mm] - [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] - [mm] a_3 [/mm] +.... + [mm] (-1)^n* a_n$
[/mm]
Es gibt nun eine Regel, die besagt, dass
[mm] $(A_{2n})_{n\ge 0}$ [/mm] monoton fallend
und
[mm] $(A_{2n+1})_{n\ge 0}$ [/mm] monoton steigend ist.
Aus der Monotonie kann ich ableiten, dass der Limes existiert.
Also definiere ich
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty}A_{2n}=:S
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty}A_{2n+1}=:S'
[/mm]
Nun steht mir ein riesen Fragezeichen im Gesicht.
Zu erst habe ich etwas mit dem Leibnizkriterium versucht, aber das geht ja nur, wenn der Grenzwert Null ist. Und in unserem Falle kann er auch größer als Null sein. Also geht das wohl nicht?
Das würde dann ja wohl lauten
$S-S' = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}(A_{2n}-A_{2n+1}) [/mm] = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}a_{2n+1}=0$
[/mm]
Da das so nicht hinhaut habe ich ganz wirrwarr definiert, dass [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert. Die Folge ist also beschränkt.
Damit gilt ja erst einmal [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty}A_n [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a$
[/mm]
Nun dachte ich eigentlich, dass die Teilfolge [mm] A_{2n} [/mm] auch gegen a konvergiert. Genau wie [mm] A_{2n+1}
[/mm]
Hilft mir aber alles irgendwie nicht weiter.
[mm] $B_n [/mm] = [mm] \sup\{A_{2k} : k \ge n\}$
[/mm]
[mm] $\beta_n [/mm] = [mm] \inf\{A_{2k+1} : k \ge n\}$
[/mm]
Ich glaube, damit verfehle ich aber irgendwie die Aufgabe
Das infimum von [mm] A_n [/mm] soll sein [mm] A_{2n+1}??
[/mm]
Wie weise ich das denn nach? Oder was kann ich von meinem Ansatz überhaupt verwerten? Wie löse ich die Aufgabe?
Grüße vom Rudy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Di 02.01.2007 | | Autor: | Rudy |
Hallo
ich wollte nur eben anmerken dass das nicht unbedingt mit dem leibniz kriterium gemacht werden muss, auch für andere vorschläge bin ich offen.Das war nämlich nur so eine Idee von mir.
Gruß,
Rudy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 01.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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